福师大网络教育《复变函数》网络作业答案.docx
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福师大网络教育《复变函数》网络作业答案
复变函数作业一
一、判断(对的用T表示,错的用F表示)
1、如果存在,那么在解析。
(F)
2、。
(F)
3、当且仅当为实数时,为实数。
(F)
4、设在区域内是解析的,如果是实常数,那么在整个内是常数;如果是实常数,那么在内也是常数。
(T)
二、填空
1、=;=。
2、设是1的次根,,则=0。
3、在映射下,扇形区域的像区域为。
4、若,则=。
三、计算
1、计算下列函数值:
1);2)。
1)、
解:
主值,
2)、
解:
设3+4i的平方根是x+yi,x、y∈R,则有x2-y2=3,且2xy=4,
求得x=2,y=1,或x=-2y=-1,
故3+4i的平方根是2+i,或-2-i,
故答案为:
2+i,或-2-i
2、下列函数在复平面上何处可导?
何处解析?
1);2)。
1);
解:
因为f(z)=|z|当趋于0-时f(z)=|-1;当趋于0+时f(z)=|1;右极限不等于左极限。
所以f(z)=|z|在z=0处不可导,而在除0以外的其他地方都可导且解析。
2)。
解:
仅在直线上可导,在复平面上处处不解析。
3、函数是否为解析函数?
求出其导数。
解:
不是解析函数,因为满足条件的只有两个点,不成区域
4、已知,求。
解:
5、计算积分1);
解:
1);
2);
解:
在内只有一个极点,所以令,所以
3);
解:
4)。
解:
四、证明:
若积分路径不经过,则。
证明:
如果积分路径不经过,且不绕过,则由柯西定理得,
若积分绕z=转圈,则积分值为
若绕z=-i转圈,则积分值为
故在一般情况下,积分值为
五、证明:
设是的共轭调和函数,问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数?
判断并给出理由:
1)(为常数);
2)。
1)证明:
2)不是的共轭调和函数
证明:
因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部,反之,某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。
和不满足此条件,应该是2uv是的共轭调和函数。
综上所述,不是的共轭调和函数。
复变函数作业二
一、判断
1、在z=0收敛,在z=3发散。
(F)
2、在区域内解析,且在区间(-R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时,展开式的系数都是实数。
(T)
3、在圆环区域内不能展开成罗朗级数。
(F)
4、z=0是的本性奇点。
(T)
二、填空
1、的收敛半径为。
2、展开成z的幂级数的收敛半径=。
3、z=0是的3级零点。
4、以z=a为m级和n级极点,则z=a为的m+n级极点。
三、计算
1、求在处的泰勒展开式。
解:
2、求
解:
3、求在z=1处的泰勒展开式。
解:
当z=1时,此函数的泰勒展开式为:
(z-1)^3-(z-1)^2-3(z-1)
4、将在以为中心的圆环域内展开为罗朗级数。
解:
四、若为整函数,且,则是不高于n次的多项式。
证明:
当 时,令
当时,
复变函数作业三
一、判断题(对的用“T”表示,错的用“F”表示)
1、若在区域内单叶解析,则在内。
(F)
2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。
(T)
3、解析函数具有保形性。
(F)
4、函数在可去奇点处的留数为0。
(F)
二、填空题
1、方程在单位圆内有 6 个根。
2、关于的对称点为x²+(y-1)²=1。
3、,则=-4。
4、在点处的旋转角为 ,伸缩率为 20 。
三、计算题
1、
解:
设
f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)],
f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)],
f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)],
则答案为2πi[f1
(1)+f2
(2)+f3(48)]
2、
解:
3、
解:
4、求把平面的单位圆变为平面的单位圆,并使1成为不动点,使
变为无穷远点的线性变换。
解:
依题意得,设,因为1+i关于单位圆的对称点为,无穷远点关于单位圆的对称点是0,
5、求把平面的单位圆变为平面的单位圆的线性变换,使。
解:
设圆周内部一点Z=a()变为w=0,点a(a0)关于单位圆周对称点,应该变为w=0关于单位圆周的对称点,因此所求变换具有形式为:
其中为常数,
当时,,故取z=1,对应点w满足
因此令
从而所求的变换为
.
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