高中立体几何证明方法及例题.docx
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高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离
在高考的立体几何试题中,求角与距离是必考查的问题,其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离,求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”,即在添置必要的辅助线或辅助面后,通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量,最后再计算。
2.立体几体的探索性问题
立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现,这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力,也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有:
(1)探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么?
(2)探索结论,即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法:
(1)先观察,尝试给出条件再证明;
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索,常从条件出发,再根据所学知识,探索出要求的结论是什么,另外还有探索结论是否存在,常假设结论存在,再寻找与条件相容还是矛盾。
(一)平行与垂直关系的论证
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:
低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化:
2.线线、线面、面面垂直关系的转化:
3.平行与垂直关系的转化:
4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。
”
5.唯一性结论:
1.三类角的定义:
(1)异面直线所成的角θ:
0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角:
0°≤θ≤90°
(3)二面角:
二面角的平面角θ,0°<θ≤180°
2.三类角的求法:
转化为平面角“一找、二作、三算”
即:
(1)找出或作出有关的角;
(2)证明其符合定义;
(3)指出所求作的角;
(4)计算大小。
(三)空间距离:
求点到直线的距离,经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关三角形中求解。
求点到面的距离,一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离,直线与平面的距离,面面距离都可转化为点到面的距离。
【典型例题】
(一)与角有关的问题
例1.
(1)如图,E、F分别为三棱锥P—的棱、的中点,=10,=6,=7,则异面直线与所成的角为()
A.60°B.45°C.30°D.120°
解:
取中点G,连结、,则
∴∠为与所成的角
在△中,由余弦定理,
∴与所成的角为180°-120°=60°
∴选A
(2)已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面,且与该正方体有相同的全面积,则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为()
解:
∴选A
①点P到平面的距离为定值;
②直线与平面所成的角为定值;
③二面角P——Q的大小为定值;
④三棱锥P—的体积为定值
其中正确命题的序号是。
解:
∴①对,②错
值,∴③对
综上,①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图,和是两条面对角线,请在图
(2)的正方体中将,画出来,并就这个正方体解答下列各题:
(1)求和所成角的大小;
(2)求四面体M—的体积与正方体的体积之比;
(3)求二面角M——P的大小。
解:
(1)如图②,作出、
∵∥,又△为正三角形
∴∠=60°
∴与成角为60°
即四面体M—的体积与正方体的体积之比为1:
6
(3)连结交于O点,则⊥
又⊥面,∴⊥,则⊥面
过O作⊥,连结,则⊥
∴∠为二面角M——P的平面角
在△中,·=·
设正方体的棱长为a
∴∠=60°
即二面角M——P的大小为60°。
例3.如图,已知四棱锥P—,⊥,侧面为边长等于2的正三角形,底面为菱形,侧面与底面所成的二面角为120°。
(1)求点P到平面的距离;
(2)求面与面所成二面角的大小。
解:
(1)作⊥平面,垂足为O,连结、、,与交于点E,连结
∵⊥,∴⊥(根据)
∵=,∴=
于是平分,点E为中点
∴⊥
∴∠为面与面所成二面角的平面角
∴∠=120°,∠=60°
即为P点到面的距离。
(2)由已知为菱形,及△为边长为2的正三角形
∴==2,又易证⊥
故取中点G,中点F
则⊥,∥
又⊥,∴⊥
∴∠为面与面所成的平面角
∵∥∥,∴∠=π-∠
连结,易证⊥平面
(2)解法2:
如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于
(二)与距离有关的问题
例4.
(1)已知在△中,=9,=15,∠=120°,它所在平面外一点P到△三个顶点的距离都是14,那么点P到平面的距离是()
A.13B.11C.9D.7
解:
设点P在△所在平面上的射影为O
∵==,∴O为△的外心
△中,=9,=15,∠=120°
长度为。
解:
(采用展开图的方法)
点评:
此类试题,求沿表面运动最短路径,应展开表面为同一平面内,则线段最短。
但必须注意的是,应比较其各种不同展开形式中的不同的路径,取其最小的一个。
(3)在北纬45°圈上有甲、乙两地,它们的经度分别是东经140°与西经130°,设地球半径为R,则甲、乙两地的球面距离是()
解:
(O1为小圆圆心)
∴△为正三角形(O为球心)
∴选D
例5.如图,四棱锥P—,底面是矩形,⊥平面,E、F分别是、中点。
(1)求证:
∥平面;
距离。
解:
G为中点,连结、
又∵F为中点
∴四边形为平行四边形
∴∥平面
(2)∵⊥,又⊥面
∴为在面上射影
∴⊥
∴∠为二面角P——B的平面角,且∠=45°
则△为等腰直角三角形
∴⊥,又⊥平面
∴⊥
∴⊥面
作⊥于H,则⊥
又∥,∴⊥
∴⊥面,∴为F到面的距离
在△中,·=·
方法2:
(体积法)
∵∥面,故只要求点A到面的距离d
易证⊥面,∴⊥面
∴⊥
(三)对命题条件的探索
例6.
(1)如图已知矩形中,=3,=a,若⊥平面,在边上取点E,使⊥,则满足条件E点有两个时,a的取值范围是()
解:
∵⊥面,⊥
由三垂线定理的逆定理知的射影⊥
所以满足条件的点E是以为直径的圆与的交点,要有两个交点,则
>2=6
∴选A
(2)如图,在三棱柱-A'B'C'中,点E、F、H、K分别为'、'、A'B、B'C'的中点,G为△的重心,从K、H、G、B'中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面平行,则P为()
A.KB.HC.GD.B
分析:
从题目中的“中点”条件,联想到“中位线”。
而平面中,为定直线,连'则F为'中点
考虑到若P为K点,则还有'、'、'都平行于
即它们也都平行于平面,不合题意。
同理P也不能为H点,若P为B'点时,与B'A'共面也不符合题意(这时只有一条棱平行于平面),可见只能取G点。
故选C
例7.
置;若不存在,说明理由。
置;
解:
(1)(用反证法)
∴不存在点P满足题目条件
(2)过B作⊥于H,连
即∠是二面角C——B的平面角
∴∠=30°
下面求Q点的位置。
(四)对命题结论的探索
例8.
并且总保持⊥1,则动点P的轨迹是()
分析:
从条件⊥1出发,可知必在过A点且与1垂直的平面B1上
∴点P必在B1C上
∴选A
(2)如图,斜三棱柱—A1B1C1中,∠=90°,1⊥,则C1在底面上的射影H必在()
A.直线上B.直线上
C.直线上D.△内部
解:
连结1
∵⊥,又⊥1
∴⊥面1
则C在面上的射影必在交线上
∴选A
例9.在四面体中,⊥,⊥,⊥,且==1。
(1)求证:
平面⊥平面;
(2)是否存在这样的四面体,使二面角C——B的平面角为30°?
如果存在,求出的长;如果不存在,请找出一个角θ,使得存在这样的四面体,使二面角C——B的平面角为θ。
解:
(1)∵⊥,⊥
∴面⊥面
(2)设=x,在面内作⊥于E
由
(1)知平面⊥面,且为交线
∴⊥平面
作⊥于F,连结,则⊥
∴∠为“二面角”C——B的平面角,且∠=30°
又在△中,·=·
又∵⊥,又为在面上射影
∴⊥
则在△中,·=·
故不存在这样的四面体,使二面角C——B的平面角为30°
故θ可以取45°~90°之间的任意角。
点评:
本题是一道存在性的探索问题。
常常假定结论成立,再判断它与已知条件是否符合。
【模拟试题】
一.选择题。
1.、、是从P引出的三条射线,两两成60°,则与平面所成角的余弦值是()
A.B.C.D.
2.在边长为1的菱形中,∠=60°,将菱形沿对角线折起,使折起后=1,则二面角B——D的余弦值为()
A.B.C.D.
3.三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面上一点到三个侧面的距离分别是2,3,6,则这个点到三棱锥顶点的距离是()
A.B.C.7D.
4.已知A、B、C是球面上的三点,且=6,=8,=10,球心O到平面的距离为,则球的表面积为()
A.B.C.D.
5.△边上的高线为,,且,将△沿折成大小为θ的二面角B——C,若,则三棱锥A—的侧面△是()
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.形状与a,b的值有关的三角形
6.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面积)超过39,则该塔中正方体的个数至少是()
A.4B.5C.6D.7
二.填空题。
7.如图,在三棱锥P—中,,且,则与底面所成角的大小为。
8.如图,矩形中,,沿把△折起,当四面体的体积最大时,直线与平面所成角的正弦值是。
9.如图,正方体棱长为1,M、N分别为中点,则点C到截面的距离是。
三.解答题。
10.如图,正三角形的边长为3,过其中心G作边的平行线,分别交、于,将沿折起到的位置,使点在平面上的射影恰是线段的中点M,求:
(1)二面角的大小;
(2)异面直线与所成角的大小。
(用反三角函数表示)
11.如图,已知正方形和矩形所在的平面
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- 高中 立体 几何 证明 方法 例题