第7章 投资组合理论Word格式.docx
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2.非系统性风险是一种与特定公司或行业相关的风险,它与经济、政治和其他影响所有金融变量的因素无关。
例如:
一个新的竞争者可能开始生产同样的产品,一次技术突破使一种现有产品消亡。
通过分散投资,非系统性风险能被降低;
而且,如果分散是充分有效的,这种风险还能被消除,因此,又称为可分散风险。
正由于此,在证券投资的风险中,重要的是不可避免的系统性风险。
后面我们将进一步讨论系统性风险和非系统性风险的问题。
第二节投资收益和风险的衡量
一、单个证券收益和风险的衡量
证券投资的收益有两个来源,即股利收入(或利息收入)加上资本利得(或资本损失)。
比如在一定期间进行股票投资的收益率,等于现金股利加上价格的变化,再除以初始价格。
假设投资者购买了100元的股票,该股票向投资者支付7元现金股利。
一年后,该股票的价格上涨到106元。
这样,该股票的投资收益率是(7+6)/100=13%。
因此证券投资单期的收益率可定义为:
(7.1)
其中:
R是收益率,t指特定的时间段,Dt是第t期的现金股利(或利息收入),Pt是第t期的证券价格,Pt-1是第t-1期的证券价格。
在公式(7.1)的分子中,括号里的部分(Pt-Pt-1)代表该期间的资本利得或资本损失。
由于风险证券的收益不能事先确知,投资者只能估计各种可能发生的结果(事件)及每一种结果发生的可能性(概率),因而风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示:
(7.2)
其中:
为预期收益率,Ri是第i种可能的收益率,Pi是收益率Ri发生的概率,n是可能性的数目。
预期收益率描述了以概率为权数的平均收益率。
实际发生的收益率与预期收益率的偏差越大,投资于该证券的风险也就越大,因此对单个证券的风险,通常用统计学中的方差或标准差来表示,标准差σ可用公式表示成:
(7.3)
标准差的直接含义是,当证券收益率服从正态分布时,三分之二的收益率在
±
σ范围内,95%的收益率在
2σ范围之内。
下面通过一个例子来说明预期收益率和标准差的计算。
表7-1某证券收益的概率、预期收益率和标准差
……………………………………………………………………………………………
预期收益率(
)计算方差(
)计算
可能的收益率Ri概率Pi…………………………………………………
(Ri)(Pi)(Ri-
)2(Pi)
………………………………………………………………………………………………
-0.100.05-0.005(-0.10-0.09)2(0.05)
-0.020.10-0.002(-0.02-0.09)2(0.10)
0.040.200.008(0.04-0.09)2(0.20)
0.090.300.027(0.09-0.09)2(0.30)
0.140.200.028(0.14-0.09)2(0.20)
0.200.100.020(0.20-0.09)2(0.10)
0.280.050.014(0.28-0.09)2(0.05)
标准差=(0.00703)0.5=0.0838=σ
在表(7-1)所示的可能收益率分布中,它的预期收益率等于9%,标准差为8.38%。
二、证券组合收益和风险的衡量
到目前为止,我们仅讨论了单项投资的风险和收益。
但实际上,投资者很少把所有财富都投资在一种证券上,而是构建一个证券组合,下面讨论证券组合收益和风险的衡量。
(一)双证券组合收益和风险的衡量
假设投资者不是将所有资产投资于单个风险证券上,而是投资于两个风险证券,那么该风险证券组合的收益和风险应如何计量呢?
假设某投资者将其资金分别投资于风险证券A和B,其投资比重分别为XA和XB,XA+XB=1,则双证券组合的预期收益率
P等于单个证券预期收益
A和
B以投资比重为权数的加权平均数,用公式表示:
P=XA
A+XB
B(7.5)
由于两个证券的风险具有相互抵消的可能性,双证券组合的风险就不能简单地等于单个证券的风险以投资比重为权数的加权平均数。
用其收益率的方差σP2表示,其公式应为:
σP2=XA2σA2+XB2σB2+2XAXBσAB(7.6)
式中σAB为证券A和B实际收益率和预期收益率离差之积的期望值,在统计学中称为协方差,协方差可以用来衡量两个证券收益之间的互动性,其计算公式为:
σAB=i(RAi-
A)(RBi-
B)Pi(7.7)
正的协方差表明两个变量朝同一方向变动,负的协方差表明两个变量朝相反方向变动。
两种证券收益率的协方差衡量这两种证券一起变动的方向和幅度。
表示两证券收益变动之间的互动关系,除了协方差外,还可以用相关系数ρAB表示,两者的关系为:
ρAB=σAB/σAσB(7.8)
相关系数的一个重要特征为其取值范围介于-1与+1之间,即-1≤ρAB≤+1。
因此公式(7.6)又可以写成:
σP2=XA2σA2+XB2σB2+2XAXBρABσAσB(7.9)
当取值为-1时,表示证券A、B收益变动完全负相关;
当取值为+1时,表示证券A、B完全正相关;
当取值为0时,表示完全不相关。
当0<
ρAB<
1时,表示正相关;
当-1<
0时,表示负相关。
如图7-1所示:
B的收益B的收益B的收益
...
..….
A的收益A的收益......A的收益
…..
(a)完全正相关(b)完全负相关(c)不相关
图7-1相关系数的三种典型情况
从公式(7.6)至(7.9)可以看出,当ρ=1时,σP=XAσA+XBσB。
而当ρ<
1时,σP<
XAσA+XBσB。
特别地,当ρ=-1时,σP=XAσA-XBσB。
根据上面的分析可知,双证券组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险(用方差或者标准差表示),还取决于每两个证券之间的互动性(用协方差或相关系数表示)。
为了更好地理解分散化对于降低风险的作用,我们举个例子。
假设市场上有A、B两种证券,其预期收益率分别为8%和13%,标准差分别为12%和20%。
A、B两种证券的相关系数为0.3。
某投资者决定用这两只证券组成投资组合。
根据公式(7.5)和(7.6),组合的预期收益率和方差为:
B
σP2=XA212%2+XB220%2+2XAXB0.312%20%
=0.0144XA2+0.04XB2+0.0144%XAXB
表7.2显示了不同权重下组合的预期收益率和标准差。
从表中的第3和第6列可以看出,当证券A的权重从0逐步提高到1(相应地,证券B的权重从1逐步降低到0)时,组合的预期收益率从13%逐步降到8%,而组合的标准差也逐步从20%逐步降低后又回升到12%。
其中,当XA=0.82,XB=1-0.82=0.18时,组合的标准差最低,为11.45%。
权重的改变对组合预期收益率和标准差的影响如图8-2和8-3所示。
具体计算方法也可参阅本书所附光盘的Excel模板(标题为第9章两证券模型)。
表7-2不同相关系数下投资组合的预期收益率和标准差
给定相关系数下投资组合的标准差(%)
XA
XB
预期收益率(%)
ρ=-1
ρ=0
ρ=0.3
ρ=1
1
13
20
0.1
0.9
12.5
16.8
18.04
18.4
19.2
0.2
0.8
12
13.6
16.18
16.88
0.3
0.7
11.5
10.4
14.46
15.47
17.6
0.4
0.6
11
7.2
12.92
14.2
0.5
10.5
4
11.66
13.11
16
10
10.76
12.26
15.2
9.5
2.4
10.32
11.7
14.4
9
5.6
11.45
8.5
8.8
10.98
11.56
12.8
8
最小方差组合
0.625
0.7353
0.82
-
0.375
0.2647
0.18
9.875
9.3235
8.9
标准差(%)
10.2899
11.4473
表7-2还给出了不同的相关系数下组合的预期收益率和标准差。
从表中可以看出,相关系数对于组合的预期收益率水平是没有影响的。
图7-2也给出了不同相关系数下投资权重对组合标准差的影响。
从图7-2可以看出,除了完全相关(ρ=1)外,最低方差组合的标准差均低于A、B两种证券的标准差。
这充分说明了多样化的好处。
图7-2投资权重与组合的预期收益率
图7-3投资权重与组合的标准差
将图7-2和7-3结合起来看,我们可以得到一个能更直观地反映分散化效果的图形,如图7-4所示。
从图中可以看出,当ρ=1时,双证券A、B组合P的收益和风险关系落在AB直线上(具体在哪一点取决于投资比重XA和XB);
当ρ<
1时,代表组合P的收益和风险所有点的集合是一条向后弯的曲线,表明在同等风险水平下收益更大,或者说在同等收益水平下风险更小,ρ越小,往后弯的程度越大;
ρ=-1,是一条后弯的折线。
B
A
图7-4双证券组合收益、风险与相关系数的关系
(二)三个证券组合的收益和风险的衡量
假设X1、X2、X3分别为投资于证券1、证券2、证券3的投资百分比,X1+X2+X3=1,
1、
2、
3为其预期收益,σ12、σ22、σ32为方差,σ12、σ13、σ23为协方差,则三证券组合的预期收益率
P为:
P=X1
1+X2
2+X3
3(7.10)
三风险证券组合的风险为:
σP2=X12σ12+X22σ22+X32σ32+2X1X2σ12+2X1X3σ13+2X2X3σ23(7.11)
(三)N个证券组合收益和风险的衡量
1、N个证券组合的收益
由上面的分析可知,证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数,权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例,用公式表示:
(7.12)
Xi是投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数,
i是证券i的预期收益率,n是证券组合中不同证券的总数。
2.N个证券组合的风险
证券组合的风险(用标准差表示)的计算就不能简单地把组合中每个证券的标准差进行加权平均而得到,其计算公式为:
(7.13)
n是组合中不同证券的总数目,Xi和Xj分别是证券i和证券j投资资金占总投资额的比例,σij是证券i和证券j可能收益率的协方差。
公式(7.13)也可以用矩阵来表示,双加号∑∑意味着把方阵(n×
n)的所有元素相加,假定n等于4,即该证券组合的方差为以下矩阵中各元素之和,该矩阵称为方差-协方差矩阵(Variance-CovarianceMatrix)。
第一列第二列第三列第四列
第一行X1X1σ1,1X1X2σ1,2X1X3σ1,3X1X4σ1,4
第二行X2X1σ2,1X2X2σ2,2X2X3σ2,3X2X4σ2,4
第三行X3X1σ3,1X3X2σ3,2X3X3σ3,3X3X4σ3,4
第四行X4X1σ4,1X4X2σ4,2X4X3σ4,3X4X4σ4,4
由上可知,证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差,而且还取决于各种证券间的协方差。
随着组合中证券数目的增加,在决定组合方差时,协方差的作用越来越大,而方差的作用越来越小。
这一点可以通过考察方差-协方差矩阵看出来。
在一个由两个证券组成的组合中,有两个加权方差和两个加权协方差。
但是对一个大的组合而言,总方差主要取决于任意两种证券间的协方差。
例如,在一个由30种证券组成的组合中,有30个方差和870个协方差。
若一个组合进一步扩大到包括所有的证券,则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。
现举例说明如何利用公式(7.13)计算证券组合的方差和标准差。
假定某一股票年预期收益率为16%,标准差为15%,另一股票年预期收益率为14%,标准差为12%,两种股票的预计相关系数为0.4,每种股票投资的金额各占一半,那么证券组合的预期收益率是:
=0.5×
16%+0.5×
14%=15%
证券组合的方差等于下面的方差-协方差距阵的所有元素的加总。
第1种股票第2种股票
第1种股票(0.5)2×
1.0×
(0.15)20.5×
0.5×
0.4×
0.15×
0.12
第2种股票0.5×
0.12×
0.15(0.5)2×
(0.12)2
因此
σ2=(0.5)2×
(0.15)2+2×
0.15+(0.5)2×
=0.012825
σ=[0.012825]0.5=11.3%
从上例可知,只要两种证券的相关系数小于1,证券组合的标准差就要小于两种证券的标准差的加权平均数0.515%+0.512%=13.5%。
实际上,不论证券组合中包括多少种证券,只要证券组合中每对证券间的相关系数小于1,证券组合的标准差就会小于单个证券标准差的加权平均数,这意味着只要证券的变动不完全一致,单个有高风险的证券就能组成一个只有中低风险的证券组合。
三、系统性风险的衡量
由于非系统性风险可以通过有效的证券组合来消除,所以当一个投资者拥有一个有效的证券组合时,他(或她)所面临的就只有系统性风险了。
那么如何衡量这个系统性风险呢?
如果我们把证券市场处于均衡状态时的所有证券按其市值比重组成一个“市场组合”,这个组合的非系统性风险将等于零。
这样我们就可以用某种证券的收益率和市场组合收益率之间的β系数作为衡量这种证券系统性风险的指标。
某种证券的β系数βi指的是该证券的收益率和和市场组合的收益率的协方差σim,再除以市场组合收益率的方差σm2,其公式为:
βi=σim/σm2(7.14)
由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消,因此一个证券组合的β系数βi等于该组合中各种证券的β系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占整个组合总价值的比重Xi,其公式为:
(7.15)
如果一种证券或证券组合的β系数等于1,说明其系统性风险跟市场组合的系统性风险完全一样;
如果β系数大于1,说明其系统性风险大于市场组合;
如果β系数小于1,说明其系统性风险小于市场组合;
如果β系数等于0,说明没有系统性风险。
第三节证券组合与分散风险
“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”,如果将这句古老的谚语应用在投资决策中,就是说不要将所有的钱投资于同一证券上,通过分散投资可以降低投资风险,这是一个非常浅显易懂的道理。
那么,应该将“鸡蛋”放在多少个“篮子”里最好呢?
将“鸡蛋”放在什么样的不同篮子里最好呢?
如前所述,证券组合的风险不仅取决于单个证券的风险和投资比重,还取决于两个证券收益的协方差或相关系数,而协方差或相关系数起着特别重要的作用。
因此投资者建立的证券组合就不是一般的拼凑,而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。
当我们利用长时期的历史资料比较一个充分分散的证券组合和单一股票的收益和风险特征时,就会发现有个奇怪的现象。
例如,在1989年1月至1993年12月间,IBM股票的月平均收益率为-0.61%,标准差为7.65%。
而同期标准普尔500(S&
P500)的月平均收益率和标准差分别为了1.2%和3.74%,即虽然IBM收益率的标准差大大高于标准普尔500指数的标准差,但是其月平均收益率却低于标准普尔500指数的月平均收益率。
为什么会出现风险高的股票其收益率反而会低的现象呢?
原因在于每个证券的全部风险并非完全相关,构成一个证券组合时,单一证券收益率变化的一部分就可能被其他证券收益率反向变化所减弱或者完全抵消。
事实上,可以发现证券组合的标准差一般都低于组合中单一证券的标准差,因为各组成证券的总风险已经分散化而大量抵消。
只要通过分散化就可以使总风险大量抵消,我们就没有理由使预期收益率与总风险相对应;
与投资预期收益率相对应的只能是通过分散投资不能相互抵消的那一部分风险,即系统性风险。
根据证券组合预期收益率和风险的计算公式可知,不管组合中证券的数量是多少,证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会影响到组合的收益率。
但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。
各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明显。
当然,在现实的证券市场上,大多数情况是各个证券收益之间存在一定的正相关关系,相关的程度有高有低。
有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合,以保证在一定的预期收益率水平上尽可能降低风险。
从理论上讲,一个证券组合只要包含了足够多的相关关系弱的证券,就完全有可能消除所有的风险,但是在现实的证券市场上,各证券收益率的正相关程度很高,因为各证券的收益率在一定程度上受同一因素影响(如经济周期、利率的变化等),因此,分散投资可以消除证券组合的非系统性风险,但是并不能消除系统性风险。
韦恩韦格纳(WayneWagner)和谢拉劳(SheilaLau)根据1960年7月标准普尔的股票质量分级把200种在纽约证券交易所上市的股票样本分成六组,最高质量等级A+构成第一组,依次类推,从每一组股票中随机抽取1至20只股票组成证券组合,计算每一组合从1960年7月至1970年5月十年间的每月收益率,这一工作连续进行十次以减少对单一样本的依赖,然后对十个数值进行平均①。
表7-3随机抽样A+质量股票组合的风险和分散效果
(1960年6月至1970年5月)
组合中股票数量
平均收益率
(%/月)
标准差
与市场的
相关系数R
决定系数R2
0.88
7.0
0.54
0.29
2
0.69
5.0
0.63
0.40
3
0.74
4.8
0.75
0.56
0.65
4.6
0.79
0.62
5
0.71
0.68
4.2
0.85
0.72
15
4.0
0.77
0.67
3.9
0.89
0.80
资料来源:
Wagner,W.,andS.Lau,1971,“TheEffectofDiversificationonRisks,”FinancialAnalystJournal,November–December,P53.
表7-3中的决定系数R2为相关系数的平方值,其取值范围从0到1,它用以衡量证券组合的收益率变动(用方差表示)中可归因于市场收益率的比例,剩下的风险是组合所特有的风险,因此,一个证券组合的R2越接近1,这个组合越得到了充分地分散。
从表中的数据可知:
1.一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只数无关,证券组合的风险随着股票只数的增加而减少。
当股票组合从一只扩大到十只股票时,证券组合风险的下降很明显,但是随着组合中股票只数的增加,降低风险的边际效果在迅速递减,特别是当持有的股票超过10只时,下降的风险变得微乎其微。
2.平均而言,由随机抽取的20只股票构成的股票组合的总风险降低到只包含系统性风险的水平,单个证券风险的40%被抵消,这部分风险就是非系统性风险。
3.一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市场收益率的走向密切相关。
其波动性或不确定性基本上就是市场总体的不确定性。
投资者不论持有多少股票都必须承担这一部
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