高中数学指数与幂函数以及三角函数Word下载.docx
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在指数上加上一个数,图像会向左平移;
减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;
减去一个数,图像会向下平移。
即“上加下减,左加右减”
底数与指数函数图像:
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:
在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:
在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:
在y轴右边“底大图高”;
在y轴左边“底大图低”。
(如右图)》。
幂的大小比较:
比较大小常用方法:
(1)比差(商)法:
(2)函数单调性法;
(3)中间值法:
要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:
y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1.
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可
以利用指数函数图像的变化规律来判断。
y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;
3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。
如:
<
1>
对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
2>
在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。
那么如何判断一个幂与“1”大小呢?
由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。
即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如:
a〉1且x〉0,或0〈a〈1且x〈0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1.
〈3〉例:
下列函数在R上是增函数还是减函数?
说明理由.
⑴y=4^x
因为4>
1,所以y=4^x在R上是增函数;
⑵y=(1/4)^x
因为0<
1/4<
1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数
定义域:
实数集指代一切实数(-∞,+∞),就是R。
R值域:
(0,+∞)对于一切指数函数y=a^x来讲。
他的a满足a>0且a≠1,即说明:
①y≠0②y>0。
所以值域为(0,+∞)。
分式化简的方法与技巧
(1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分
(2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母
(3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破.
(4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化
指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系
(1)曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为(-∞,+∞).
(2)曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠
近X轴(x轴是曲线的渐近线)〈=〉函数的值域为(0,+∞)
(3)曲线过定点(0,1)〈=〉x=0时,函数值y=a0(零次方)=1(a>
0且a≠1)
(4)a>
1时,曲线由左向右逐渐上升即a>
1时,函数在(-∞,+∞)上是增函数;
0<
a<
1是,曲线逐渐下降即0<
1时,函数在(-∞,+∞)上是减函数.
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对数函数
一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>
0且a不等于1)叫做对数函数它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
对数的公理化定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,
底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1?
【在一个普通对数式里a<
0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是,根据对数定义:
logaa=1;
如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:
logaM^n=nlogaM如果a<
0,那么这个等式两边就不会成立(比如,log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4;
一个等于4,另一个等于-4)】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(commonlogarithm),并把log10N记为lgN。
另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828·
·
为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(naturallogarithm),并且把logeN记为InN.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a〉0,a≠1时,a^x=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
负数和零没有对数;
loga1=0logaa=1(a为常数)
对数的定义和运算性质
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
底数则要>0且≠1真数>0
对数的运算性质:
当a>
0且a≠1时,M>
0,N>
0,那么:
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M)(n∈R)
(4)换底公式:
log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>
0且b≠1)
(5)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)证明:
设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·
log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)
(6)对数恒等式:
a^log(a)N=N;
log(a)a^b=b
(7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M,
log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×
log(b)c×
log(c)a=1
对数与指数之间的关系
0且a≠1时,a^x=Nx=㏒(a)N
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数图像总是通过(1,0)点。
(4)a大于1时,为单调增函数,并且上凸;
a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
对数函数的常用简略表达方式:
(1)log(a)(b)=log(a)(b)
(2)lg(b)=log(10)(b)
(3)ln(b)=log(e)(b)
对数函数的运算性质:
如果a〉0,且a不等于1,M>
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M)(n属于R)
(4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R)
对数与指数之间的关系
当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x
log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R)
换底公式(很重要)
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lga
ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(约为2.718281828454590)
lg常用对数以10为底
对数函数的常用简略表达方式
(1)常用对数:
lg(b)=log(10)(b)
(2)自然对数:
ln(b)=log(e)(b)
e=2.718281828454590... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a的规定(a>
0且a≠1),同样适用于对数函数。
性质
定义域求解:
对数函数y=logax的定义域是{x︳x>
0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>
0且x≠1}。
{2x-1>
0,x>
1/2且x≠1},即其定义域为{x︳x>
1/2且x≠1}值域:
实数集R
定点:
函数图像恒过定点(1,0)。
单调性:
a>
1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸;
1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹。
奇偶性:
非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。
周期性:
不是周期函数
零点:
x=1
注意:
负数和0没有对数。
两句经典话:
底真同对数正
底真异对数负
三角函数
三角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数:
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中,三角函数也是常用的工具。
锐角三角函数
在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。
则定义以下运算方式:
sinA=∠A的对边长/斜边长,sinA记为∠A的正弦;
sinA=a/c
cosA=∠A的邻边长/斜边长,cosA记为∠A的余弦;
cosA=b/c
tanA=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/btanA记为∠A的正切;
当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。
sinA=cosBsinB=cosA
常见三角函数
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)。
在这个直角三角形中,y是θ的对边,x是θ的邻边,r是斜边,则可定义以下六种运算方法:
基本函数
英文
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sinθ=y/r
角θ的对边比斜边
余弦函数
Cosine
cosθ=x/r
角θ的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tanθ=y/x
角θ的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cotθ=x/y
角θ的邻边比对边
正割函数
Secant
secθ=r/x
角θ的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
cscθ=r/y
角θ的斜边比对边
在初高中教学中,主要研究正弦、余弦、正切三种函数。
注:
tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法。
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值;
实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理,
单位圆的方程是:
x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图像中的三角形确保了这个公式;
半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于等于2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:
对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是2π弧度或360°
;
正切或余切的基本周期是半圆,也就是π弧度或180°
。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角kπ附近变化缓慢,而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅速。
正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直渐近线。
这是因为在θ从左侧接进(k+1/2)π的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷。
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义。
特别
是,对于这个圆的弦AB,这里的θ是对向角的一半,sinθ是AC(半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义。
cosθ是水平距离OC,versinθ=1-cosθ是CD。
tanθ是通过A的切线的线段AE的长度,所以这个函数才叫正切。
cotθ是另一个切线段AF。
secθ=OE和cscθ=OF是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE是exsecθ=secθ-1(正割在圆外的部分)。
通过这些构造,容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散,而余割和余切在θ接近零的时候发散。
三角函数线
依据单位圆定义,
我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦、正切的值。
如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l。
那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值。
OP的延长线(或反向延长线)与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值。
向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负。
特殊角的三角函数
在三角函数中,有一些特殊角,例如30°
、45°
、60°
,这些角的三角函数值为简单单项式,计算中可以直接求出具体的值。
这些函数的值参见右图:
三角函数的特殊值
同角三角函数关系式
平方关系
sin^2(α)+cos^2(α)=1
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=1-2sin^2(α)=2cos^2(α)-1
sin(2α)=2sin(α)cos(α)
tan^(α)+1=1/cos^(α)
2sin^(α)=1-cos(2α)
cot^(α)+1=1/sin^(α)
积的关系
sinα=tanα×
cosα
cosα=cotα×
sinα
tanα=sinα×
secα
cotα=cosα×
cscα
secα=tanα×
cscα=secα×
cotα
倒数关系
tanα·
cotα=1
sinα·
cscα=1
cosα·
secα=1
商的关系
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等
k是整数
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
sec(2kπ+α)=secα
csc(2kπ+α)=cscα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
公式六:
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sec(3π/2+α)=csc
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