高中数学 第一章 集合 12 集合之间的关系与运算 122 集合的运算自我小测 新人教B版必修1.docx
- 文档编号:19140459
- 上传时间:2023-04-24
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:229.46KB
高中数学 第一章 集合 12 集合之间的关系与运算 122 集合的运算自我小测 新人教B版必修1.docx
《高中数学 第一章 集合 12 集合之间的关系与运算 122 集合的运算自我小测 新人教B版必修1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 集合 12 集合之间的关系与运算 122 集合的运算自我小测 新人教B版必修1.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第一章集合12集合之间的关系与运算122集合的运算自我小测新人教B版必修1
2019-2020年高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算自我小测新人教B版必修1
1.若集合A={x|-2 A.{x|-1 2.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>4},则M∪N等于( ) A.{x|x<-5或x>-3}B.{x|-5<x<4} C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3或x>5} 3.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于( ) A.-1B.1C.0D.2 4.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( ) A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2} 5.已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的维恩(Venn)图,如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有( ) A.3个B.2个C.1个D.无穷个 6.设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若A∩B=,则A∪B等于( ) A.B.C.D. 7.已知集合A={x|x≥5},集合B={x|x≤m},且A∩B={x|5≤x≤6},则实数m等于________. 8.设S={(x,y)|x<0,且y<0},T={(x,y)|x>0,且y>0},则S∩T=______,S∪T=_______. 9.已知集合A=,集合B={m|3>2m-1},求A∩B,A∪B. 10.求满足集合A∪B={a,b}的集合A,B. 11.设方程x2-mx+m2-19=0的解集为A,x2-5x+6=0的解集为B,x2+2x-8=0的解集为C,且A∩B≠∅,A∩C=∅,试求m的值. 参考答案 1.解析: 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示, 由数轴可知,A∩B={x|0 答案: D 2.解析: 在数轴上分别表示出集合M,N,如图所示, 由数轴可知,M∪N={x|x<-5或x>-3}. 答案: A 3.解析: 由于A∪B={-1,0,2},则-1∈A或-1∈B.因为A={0},所以-1∉A.所以必有-1∈B.又B={2,m},则m=-1. 答案: A 4.答案: D 5.解析: M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素. 答案: B 6.解析: ∵A∩B=,∴∈A,∈B. 将分别代入方程2x2-px+q=0及6x2+(p+2)x+5+q=0,联立得 解得 所以A={x|2x2+7x-4=0}=, B={x|6x2-5x+1=0}=. 故A∪B=. 答案: A 7.解析: 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示, 由于A∩B={x|5≤x≤6},则m=6. 答案: 6 8.解析: 集合S是平面直角坐标系中第三象限内的所有点构成的集合,集合T是平面直角坐标系中第一象限内的所有点构成的集合,则S∩T=∅,S∪T={(x,y)|x>0,且y>0或x<0,且y<0}={(x,y)|xy>0}. 答案: ∅ {(x,y)|xy>0} 9.解: 解不等式组得-2 解不等式3>2m-1,得m<2,则B={m|m<2}, 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示, 则A∩B={x|-2 10.解: 对A的元素个数进行分类讨论. (1)若A=∅,则B={a,b}; (2)若A={a},则B={b}或B={a,b}; 若A={b},则B={a}或B={a,b}; (3)若A={a,b},则B={a}或B={b}或B={a,b}或B=∅. 11.解: 由已知可得,B={2,3},C={2,-4},再由A∩B≠∅及A∩C=∅可知,3∈A, 所以3是方程x2-mx+m2-19=0的根, 即9-3m+m2-19=0,解得m=5或m=-2. 但当m=5时,A={2,3}与已知矛盾; 所以m=-2,此时A={-5,3}. 故m=-2. 2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系教学设计新人教A版必修1 教学分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题: 在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与⊆的区别. 三维目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点 教学重点: 理解集合间包含与相等的含义. 教学难点: 理解空集的含义. 课时安排 1课时 导入新课 思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢? (让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探. 思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空: (1)0____N; (2) ____Q;(3)-1.5____R. 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? (答案: (1)∈; (2);(3)∈) 推进新课 (1)观察下面几个例子: ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; ②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合; ③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}. 你能发现两个集合间有什么关系吗? (2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别? (3)结合例子④,类比实数中的结论: “若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论? (4)升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看到的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示? (5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B. (6)已知A⊆B,试用Venn图表示集合A和B的关系. (7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗? (8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢? (9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 活动: 教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定: 如果A⊆B,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA). (3)实数中的“≤”类比集合中的⊆. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出: 为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论: 当A⊆B时,AB或A=B. (7)方程x2+1=0没有实数解. (8)空集记为,并规定: 空集是任何集合的子集,即⊆A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠). (9)类比子集. 讨论结果: (1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中. (2)例子①中A⊆B,但有一个元素4∈B,且4A;而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同. (3)若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图1所示表示集合A,如图2所示表示集合B. 图1 图2 (6)如图3和图4所示. 图3 图4 (7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解. (8)空集. (9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若AB,BC,则AC. 思路1 例1某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A,B,C均不是空集. (1)则下列包含关系哪些成立? A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A. (2)试用Venn图表示集合A,B,C间的关系. 活动: 学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A⊆B成立,否则A⊆B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生注意以下两点: (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合A,B,C间的关系来画出Venn图. 解: (1)包含关系成立的有: A⊆B,A⊆C. (2)集合A,B,C间的关系用Venn图表示,如图5所示. 图5 变式训练 课本本节练习3. 点评: 本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A,B之间是否有包含关系的步骤是: 先明确集合A,B中的元素,再分析集合A,B中的元素之间的关系,得: 集合A中的元素都属于集合B时,有A⊆B;当集合A中的元素都属于集合B,集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A,B互不包含. 例2写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 活动: 学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论. 解: 集合{a,b}的所有子集为,{a},{b},{a,b}.真子集为,{a},{b}. 变式训练 已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( ) A.4 B.3 C.2 .1 解析: 集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个, 又集合Q⊆P,所以集合Q有4个. 答案: A 点评: 本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考: 集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集? 多少个真子集? 解: 当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有两个元素的集合如{a,b}的子集为,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22.… 集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集. 思路2 例1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=________. 活动: 先让学生思考B⊆A的含义,根据B⊆A,知集合B中的元素都属于集合A,由集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为B⊆A,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论. 解析: ∵B⊆A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1. 答案: 1 点评: 本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证. 讨论两集合之间的关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式. 变式训练 已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围. 分析: 集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,则N=或N≠,要对集合N是否为空集分类讨论. 解: 由题意得M={x|x>2}≠,则N=或N≠.当N=时,关于x的方程ax=1无解,则有a=0;当N≠时,关于x的方程ax=1有解,则a≠0,此时x= ,又∵NM,∴ ∈M.∴ >2.∴0<a< .综上所得,实数a的取值范围是a=0或0<a< ,即实数a的取值范围是 . 例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数: ,{a},{a,b},{a,b,c}. (2)由 (1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集? 活动: 学生思考子集的含义,并试着写出子集. (1)按子集中所含元素的个数分类写出子集; (2)由 (1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 解: (1)的子集有: ,即有1个子集; {a}的子集有: ,{a},即{a}有2个子集; {a,b}的子集有: ,{a},{b},{a,b},即{a,b}有4个子集; {a,b,c}的子集有: ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集. (2)由 (1)可得: 当n=0时,集合M有1=20个子集; 当n=1时,集合M有2=21个子集; 当n=2时,集合M有4=22个子集; 当n=3时,集合M有8=23个子集; 因此含有n个元素的集合M有2n个子集. 变式训练 已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析: 对集合A所含元素的个数分类讨论. A=或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个. 答案: D 点评: 本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. 课本本节练习1,2. 【补充练习】 1.判断正误: (1)空集没有子集.( ) (2)空集是任何一个集合的真子集.( ) (3)任一集合必有两个或两个以上的子集.( ) (4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.( ) 分析: 关于判断题应确实把握好概念的实质. 解: 该题的4个命题,只有(4)是正确的,其余全错. 对于 (1), (2)来讲,由规定: 空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则xA时也必有xB. 2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集. 分析: 区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的集合的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合的元素,后找真子集. 解: 因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2, 即A={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}. 真子集: ,{1},{2},{0},{0,1},{0,2},{1,2},共7个. 3. (1)下列命题正确的是( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集 (2)以下五个式子中,错误的个数为( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2} ④∈{0,1,2} ⑤∈{0} A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( ) A.aMB.aM C.{a}∈MD.{a}M 解析: (1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D. (2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系. ①应是{1}⊆{0,1,2},④应是⊆{0,1,2},⑤应是⊆{0}. 故错误的有①④⑤. (3)M={x|3<x<4},a=π. 因3<a<4,故a是M的一个元素, 因此{a}是{x|3<x<4}的真子集,那么{a}M. 答案: (1)C (2)C (3)D 4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}. 解: (1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}, 故A,B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又x=4n=2·2n, 在x=2m中,m可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n中,2n只能是偶数. 故集合A,B的元素都是偶数,但B中元素是由A中部分元素构成,则有BA. 点评: 此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求. 5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足QP,求a所取的一切值. 解: 因P={x|x2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q={x|ax+1=0}=,QP成立.又当a≠0时,Q={x|ax+1=0}= ,要QP成立,则有- =2或- =-3,a=- 或a= .综上所述,a=0或a=- 或a= . 点评: 这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q为空集的情况,而当Q=时,满足QP. 6.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使AP⊆B,求满足条件的集合P. 解: A={x∈R|x2-3x+4=0}=, B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4}, 由AP⊆B知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为 {1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}. 点评: 要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A,B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件. 7.设A={0,1},B={x|x⊆A},则A与B应具有何种关系? 解: 因A={0,1},B={x|x⊆A}, 故x为,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故A∈B. 点评: 注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素. 8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若B⊆A,求实数m的取值范围; (2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数; (3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围. 解: (1)当m+1>2m-1即m<2时,B=满足B⊆A. 当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,需 可得2≤m≤3. 综上所得实数m的取值范围为m≤3. (2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, ∴A的非空真子集的个数为28-2=254. (3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立. 则①若B=即m+1>2m-1,得m<2时满足条件; ②若B≠,则要满足条件: 或 解之,得m>4. 综上有m<2或m>4. 点评: 此问题解决要注意: 不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用. 问题: 已知A⊆B,且A⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A共有多少个? 活动: 学生思考A⊆B,且A⊆C所表达的含义.A⊆B说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素. 思路1: 写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合,得满足条件的集合A; 思路2: 分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数. 解法1: 因A⊆B,A⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足A⊆B,有: ,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个). 又满足A⊆C的集合A有: ,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4},{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个). 其中同时满足A⊆B,A⊆C的有8个: ,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁. 解法2: 题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为求B,C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0,2,4,组成集合的子集有23=8(个). 点评: 有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛. 本节课学习了: ①子集、真子集、空集、Venn图等概念; ②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; ③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 课本习题1.1A组 5. 本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式. 【备选例题】 【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A,B,C,D,E分别是哪种图形的集合? 图6 思路分析: 结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 集合 12 集合之间的关系与运算 122 集合的运算自我小测 新人教B版必修1 之间 关系 运算 自我 新人 必修
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/19140459.html