超详细导数重点知识点归纳及应用完整版文档格式.docx
- 文档编号:19154964
- 上传时间:2023-01-04
- 格式:DOCX
- 页数:50
- 大小:23.69KB
超详细导数重点知识点归纳及应用完整版文档格式.docx
《超详细导数重点知识点归纳及应用完整版文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《超详细导数重点知识点归纳及应用完整版文档格式.docx(50页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
x|
lim
f′(0)=0
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线
y=f(x)在点p(x0,
f(x0))处的切线的斜率。
也就是说,曲线
y=f(x)在点
p(x0,f
(x0))处的切线的斜率是
f’(x0)。
/
相应地,切线方程为
y-y0=f(x0)(x-x0)。
在函数y
x3
的点中,坐标
8x的图象上,其切线的倾斜角小于
4
为整数的点的个数是
(
)
A.3
B.2
C.1
D.0
切线的斜率为
3x2
8
k
又切线的倾斜角小于
,即0
1
故0
3x2
或
3
解得:
故没有坐标为整数的点
3.导数的物理意义
如果物体运动的规律是
s=s(t),那么该物体在时刻
t的瞬间速度
v=s
(t)。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是
v=v(t),则该物体在时
第2页,共14页
刻t的加速度a=v′(t)。
例。
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把
这一过程中汽车的行驶路程
s看作时间
t的函数,其图像可能是(
s
t
O
A.
B.
C.
D.
答:
A。
练习:
已知质点M按规律
2t2
3做直线运动(位移单位:
cm,时间
单位:
s)。
s;
(1)当t=2,
0.01时,求
(2)当t=2,
0.001时,求
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案:
(1)8.02
cm
(2)8.002
;
(3)8cm
二、导数的运算
1.基本函数的导数公式
:
①C
0;
(C为常数)
xn
nxn
1;
③(sinx)
cosx;
④(cosx)
sinx;
⑤(ex)
;
e
⑥(ax)
alna;
1;
⑦
lnx
第3页,共14页
loge.
⑧
logx
a
:
例
下
列
求
导
运
算
正
确
的
是
xln2
A.(x+
2x)′=
.(log
B
2
C.(3)′=3log
.(xcosx)′=-2xsinx
3e
D
1)
x2
A错,∵(x+
正确,∵(log
C错,∵(3)′=3ln3
D错,∵(xcosx)′=2xcosx+x(-sinx)
例2:
设f0(x)
=sinx,f1(x)=f0′(x),f
2(x)=f
1′(x),
,fn+
1(x)=fn′(x),n∈N,则f2005(x)=
A.sinx
.-sinx
cosx
.
C
D.-cosx
f0(x)
=
sinx,f1(x)=f
0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=
-sinx,
f3(x)=f2′(x)=-
cosx,f
4(x)
f3′(x)=sinx,循环了
则f2005(x)=f1(x)=cosx
2.导数的运算法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和
(或
第4页,共14页
差),
即:
(
v)'
u'
v'
.
u
法则
2:
两个函数的积的导数
等于第一个函数的导数乘以第二个函
数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
(uv)'
'
uv
uv.
若C为常数,则(Cu)'
C'
u
Cu'
.即常数与函数的积的导数
等于常数乘以函数的导数:
(Cu)'
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分
v
u'
v
v2
uv'
(v
母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
0)。
设
、g(x)分别是定义在
上的奇函数和偶函数
当
x<0
R
时,
(x)>0.且
则不等式
f(x)g(x)<0的解集
g(3)=0.
f(x)g(x)
f(x)g
A.
∪(3,+∞)
∪(0,3)
(-3,0)
C.
(-∞,-
3)∪(3,+
∞)
3)∪(0,
3)
∵当x<0时,
f(x)g(x)>0
,即[
f(x)g(x)]/
∴当x<0时,f(x)g(x)
为增函数,
又g(x)是偶函数且
g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0
故当
3时,f(x)g(x)
<0,又f(x)g(x)是奇函数,
当x>
0时,f(x)g(x)
为减函数,且
f(3)g(3)=0
故当0
3时,f(x)g(x)
<0
故选D
第5页,共14页
3.复合函数的导数
形如y=f
的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
(x)
分解——>
求导——>
回代。
法则:
y'|=y'|
·
u'|或者f[
)*(x).
(x)]
f(
X
U
求下列各函数的导数:
5
xx
sinx;
(1)
(2)y
(x
1)(x
2)(x
3);
(3)y
(4)
2cos2
sin
sinx
sinx,
解:
(1)∵
2)
∴y′
(xsinx)
3x2
2x3sinx
2cosx.
(x
y=(x+3x+2)(x+3)=x+6x+11x+6,∴y′=3x+12x+11.
cos
1sinx,
(3)∵y=sin
(sinx)
1cosx.
∴y
(1
x)
(4)
,
x)(1
2(1
x)2
(1x)2
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)设函数
(x)在某个区间(a,b)可导,如果f(x)
0,则
f
f(x)
在此区间上为增函数;
如果
(x)0,则f(x)在此区间上为减函数。
(2)如果在某区间内恒有
0,则f(x)为常数。
函数f(x)
1是减函数的区间为
第6页,共14页
A.(2,
B.(
.(
.(0,2)
2)
0)
由
6x<
0,得
0<
x<
∴函数
1是减函数的区间为(
0,2)
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为
0,极值点处的导数为
0;
曲线在
极大值点左侧切线的斜率为正,
右侧为负;
曲线在极小值点左侧切线
的斜率为负,右侧为正;
函数
ax
9,已知
3时取得极值,则
a=
3x
f(x)在x
A.2
.3
.4
.5
∵
3,又
3时取得极值
(x)
2ax
∴f
(3)
30
6a0
则a=5
3.最值:
在区间[a,b]上连续的函数
f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。
但
在开区间(
a,b)内连续函数
f(x)不一定有最大值,例如
(1,1)。
x,x
(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整
个区间上所有函数值中的最大值,
最小值必须在整个区间上所有函数
值中的最小值。
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,
第7页,共14页
函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。
函数的极值可以有
多有少,但最值只有一个,
极值只能在区间内取得,最值则可以在端
点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为
最值,最值只要不在端点处必定是极值。
1在闭区间
[-3,0]上的最大值、最小值分别
由f
(x)
3=0,得x
1,
当x
1时,f
/(x)>
0,当
(x)<
0,当x
1时,f(x)>
0,
故f(x)的极小值、极大值分别为
3、f
(1)
f
(1)
而
17、f(0)
f(3)
故函数f(x)
1在[-3,0]上的最大值、最小值分别是
3、-17。
●经典例题选讲
例1.
已知函数y
xf(x)的图象如图所示(其中
(x)是函数
f(x)的
导函数),下面四个图象中
f(x)的图象大致是
第8页,共14页
由函数
(x)的图象可知:
xf
1时,
xf(x)<
0,(x)>
0,此时
f(x)增
当
xf(x)>
(x)<
f(x)减
当0
x1时,
0,f
0,f(x)>
0,此时f(x)增
故选
例2.设
f(x)ax3
x恰有三个单调区间,试确定
a的取值范围,并求
其单调区间。
3ax2
若a
0,f(x)
0对
)恒成立,此时
f(x)只有一个单调区
间,矛盾
0,f
),f(x)也只有一个单调区间,
矛盾
3|a|
),此时(x)恰有三个
3a(x
单调区间
0且单调减区间为
),单调增区间为
)和(
第9页,共14页
3.已知函数
bx2
d的图象过点
P(0,2),且在点
1,f
(1))处的切线方程为
M(
70.
6x
(Ⅰ)求函数
f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数
f(x)的单调区间.
(Ⅰ)由f(x)的图象经过
P(0,2),知d=2,
所以
bx2
2,
cx
2bx
c.
由在
1))处的切线方程是
0,知
M(1,f(
7
6
0,即f
(1)
1,f
(1)
6.
2b
b
c
6,
3,
1.
解得b
3.
0,
故所求的解析式是
3x
2.
(Ⅱ)
令3x
0,即x
(x)
6x
2x
0.
解得
2,x2
2,或x
2时,f
x1
当1
故
2)内是增函数,
2在(
1
在(1
例4.
2)内是减函数,在
)内是增函数
2,1
2,
设函数
cx(xR),已知g(x)
(x)是奇函数。
(Ⅰ)求
解:
(Ⅰ)∵
b、c的值。
(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值。
bx
c)=
cx,∴
cx(3x2
c。
从而
fx
(b3)x2
g(x)
(c2b)x
一个奇函数,所以
0得c
0,由奇函数定义得
b3;
g(0)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
g(x)3x
6x,从而
6,由此可知,
2)和(
)是函数g(x)是单调递增区间;
是函数
2)
g(x)是单调递减区间;
第10页,共14页
g(x)在
2时,取得极大值,极大值为
2时,取得极小值,极小值为
2,
2。
2时,都取得极值。
例5.
已知f(x)=x3
ax2
c在
x=1,x=
(1)求a、b的值。
1恒成立,求
(2)若对
[1,2],都有
c的取值范围。
(1)由题意
f(x)=3x2
b的两个根分别为
1和
2=
2a,b
由韦达定理,得:
1
1,b
则a
1x2
c,f(x)=3x2
(2)由
(1),有f(x)=x3
2x
1,)时,
1)时,
0,当x
(x)0,当
(1,2]时,
[
0,
2时,
22
27
c,
f(x)有极大值
c,f
(2)
1)
∴当
[1,2],f(x)的最大值为
f
(2)
f(x)恒成立,∴
对x
1,2],都有
解得0
21,或c
1,
例6.已知x
1是函数
mx
3(m1)x
1的一个极值点,其中
nx
R,m0,
m,n
(I)求m与n的关系式;
(II)求f(x)的单调区间;
(III)当
1,1时,函数
f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒
大于3m,求m的取值范围.
(I)
f(x)3mx
n因为
1是函数f(x)的一个极值点,
6(m
1)x
0,即3m
0,所以
n
3m
f
(1)
6(m
第11页,共14页
m
(II
)由(I)知,f
(x)3mx
3m6=3m(x
当m
0时,有1
,当x变化时,
f(x)与
(x)的变化
如下表:
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知,当
m0时,
f(x)在
单调递减,
1)单调递增,在
)上单调递减.
(1,
(III
)由已知得
f(x)3m,即
2(m
(m
(m
又m0所以
0即
0,x
1,1
)x
设g(x)
,其函数开口向上,由题意知①式恒成
立,
g
(1)
g
(1)
解之得
m又m
0
即m的取值范围为
例7:
(2009天津理20)已知函数
ax2a
3a)e(x
R),其中
(1)当a
0时,求曲线
f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率;
第12页,共14页
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)当
时,求函数
f(x)的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、
导数的运算、利用导数研究函数的
单调性与极值等基础知识,
考查运算能力及分类讨论的思想方法。
满
分12分。
(I)当a
x2ex,f'
(x)
(x2
2x)ex,故f'
(1)
0时,f
3e.
所以曲线
yf(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率为
(II)
2a2
4aex.
f'
(a
2)x
2.由a2知,2a
令f'
0,解得x
2a,或x
以下分两种情况讨论。
(1)若a>2,则2a<a3
下表:
2.当x变化时,
(x),f(x)的变化情况如
2a,a
2,
2a
—
+
↗
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 详细 导数 重点 知识点 归纳 应用 完整版