《经济数学》 教学大纲Word格式.docx
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会求函数的定义域,能根据经济问题建立经济函数模型,会求数列与函数的极限,会求函数的导数,会求简单的不定积分与定积分,会求随机事件的概率,会求随机变量的数字特征,会进行基本的统计运算,会进行矩阵的运算,会用初等变换求秩,会求解线性方程组。
2.思维能力:
能思考与分析极限变化过程中的各种问题,能分析与判断函数的连续性,对函数的求导问题与积分问题能进行分析并求解,对概率统计问题能进行分析求解,对线性方程组能进行判断求解,对不同的实际问题能判断采用恰当的知识与方法解决。
3.应用能力:
能利用极限、连续与导数的知识解释实际现象,能用导数的方法解决边际、弹性、最优等经济应用问题,能用积分的方法解决平面几何图形的面积问题与经济问题,能用概率统计方法解决经济中的问题,能用矩阵知识与方法解决一些实际问题。
(二)素质目标
1.学会思考:
通过本课程的学习,进一步学会思考,养成理性思考问题的习惯,会用辩证的思维方式思考学习、生活与实际问题中遇到的问题,并养成睿智、细致、坚毅的品格,具有一定的数学文化修养。
2.学会学习:
从本课程的学习中,学会进一步学习的方法,如知识的联系、方法的联想,不断地总结、归纳等,从而提高学习效率。
3.学会应用:
从本课程的学习中体会到数学来自实践,并且应用于实际,要学会运用数学的知识与方法分析与解决实际问题的能力。
三、课程内容与教学要求
本课程的教学内容分公共基础模块、专业应用模块和能力拓展模块三个部分。
1.公共基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求,内容为函数与常用经济函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、积分及其应用及相应的数学实验,教学时数为46学时。
2.专业应用模块是满足学生学习相关专业知识需要的限定选修内容,根据财务会计、融保险、投资理财、审计、税务等专业需要选择内容为概率统计初步、线性代数及其应用等,教学时数建议18学时。
3.能力拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容,内容为数学建模、数学文化等,教学时数不做统一规定,一般以专题讲座或课堂渗透的形式完成。
三、各章教学内容与要求
公共基础模块教学部分
第1章 函数与常用经济函数
(一)教学内容
**§
1.1函数的概念与性质
1.1.1函数的概念
1.1.2函数的性质
1.2初等函数
1.2.1基本初等函数
1.2.2复合函数
1.3.3初等函数
§
1.3常用经济函数模型
1.3.1需求函数与供给函数模型
1.3.2成本函数、收入函数与利润函数模型
1.3.3其他经济函数模型
(二)目的要求
1.理解函数的概念,能熟练地求函数的定义域与某点的函数值;
理解分段函数的表示,会作一些简单的分段函数图像。
2.了解函数的简单性质,会判断函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3.熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性。
4.了解复合函数的概念,理解与掌握复合函数的复合过程。
5.理解初等函数的概念,会分解初等函数为简单函数。
6.理解经济函数模型,能根据实际经济问题建立简单的经济函数模型。
7.培养学生分析问题与解决问题的能力,培养学生抽象思维与数学语言表达等数学能力。
(三)教学重点与难点
[重点]
1.函数的定义域
2.基本初等函数的图像与性质
3.复合函数的分解
4.常用经济函数
[难点]
1.函数的概念
2.分段函数的概念
3.复合函数的概念
4.建立经济函数关系式
(四)教法建议及说明
1.做好初等数学与高等数学的衔接。
2.以实际问题为背景阐述函数的概念,加深对函数的理解;
通过复习讲练巩固函数的定义域求法。
3.用实例讲解分段函数的概念,讲清分段函数的对应规则。
4.引导学生复习基本初等函数及其性质,关键是掌握基本初等函数表达式、图像。
5.通过实例复习复合函数的概念,加强复合函数的复合与分解(以分解为主)练习,明确复合函数构成的条件,归纳复合函数分解的基本思路。
6.以实例剖析的方法讲授经济函数模型的建立,适当介绍一些与专业有关的经济概念(如需求、供给、成本、利润和利息等),说明背景(指某一经济问题发生的条件、过程和目标等),帮助学生理解问题的要求,提高解决问题的能力,使学生了解建立数学模型的基本过程及意义。
7.通过介绍相关的生活或专业案例,提高学习兴趣,培养学生数学的应用意识和应用能力,提升数学素养。
第2章 极限与连续
2.1极限的概念
2.1.1数列的极限
2.1.2函数的极限
2.2无穷小量与无穷大量
**2.2.1无穷小量
**2.2.2无穷大量
*2.2.3无穷小量的比较
2.3极限的运算
**2.3.1极限的四则运算法则
2.3.2两个重要极限
2.4函数的连续性
2.4.1函数连续的概念
+2.4.2闭区间上连续函数的性质
1.理解极限的概念(只要求极限的描述性定义),理解函数左极限、右极限的定义,理解函数在一点处极限存在的充分必要条件,能判断极限是否存在。
2.理解无穷小量、无穷大量的概念,能判断无穷小量与无穷大量;
掌握无穷小量的性质,了解无穷小量与无穷大量的关系,了解无穷小量阶的比较。
3.掌握极限的四则运算法则,掌握两个重要极限,熟练掌握求极限的一般方法,能较熟练地求极限。
4.理解连续的概念,掌握判断连续性的方法,熟练掌握求函数间断点的方法,会求函数的间断点与连续区间;
理解初等函数的连续性,会用函数的连续性求初等函数的极限;
了解闭区间上连续函数的性质,能用零点定理证明方程根的存在性。
5.初步掌握极限的思想,能用辩证唯物主义的观点思考问题与分析问题。
1.极限的思想
2.无穷小量与无穷大量的概念
3.极限的运算
4.两个重要极限
5.连续的概念
1.极限的概念
2.连续的概念
3.分段函数分段点的极限与连续性的判断
4.闭区间上连续函数的性质
1.通过简单例子,对照图形变化趋势,概括出数列极限与函数极限的描述性概念,讲清从具体到抽象的分析过程,强调极限的变化过程,突出辨证思想,引导学生掌握观察法判断简单数学与函数的极限。
2.结合函数图形直观讲解左极限与右极限的概念,解释极限存在的充要条件,会讨论分段函数在分段点处的极限存在问题。
3.从两种特殊的极限结果角度,用例子进行分析对比方式讲授无穷小量与无穷大量的概念与性质及其关系。
无穷小量的阶是拓展选学内容,在讲解“微分”概念时要用到。
通过例子讲解在同一变化过程中,无穷小量趋于零的“快慢”程度,建立一些比较标准,将它们划分成相应的等级,便于理解高阶、低阶和同阶等概念。
4.以提问的方式讲授极限的四则运算法则,特别要强调使用的方法和条件,防止出现“
”的错误;
以表格分析的方法讲授两个重要极限,强调在注意它们的表面形式的同时,更重要的是要掌握它们的极限类型等内在特征,以正确运用它们计算有关极限;
极限的类型很多,求极限的方法也各不相同,只要求训练求数列、函数极限的基本思想与方法,并注意帮助学生及时总结求极限的思想方法,提高思维与运算能力,复杂的极限可以利用数学软件来解决,教学中注意不要讲的太多太深。
5.指明两个重要极限的特征及求解不定式极限的类型。
6.通过对现实生活及函数图形的观察,以数形结合的方法讲授函数连续性的概念及函数在一点连续的三个条件,训练求函数的连续区间与间断点的基本思想与方法,会利用复合函数及初等函数连续性求函数极限。
7.用几何图形直观说明闭区间上连续函数性质(不要求逻辑证明),通过例子讲解用零点定理证明方程实数根的存在性。
第3章 导数与微分
3.1导数的概念
3.1.1导数的定义
3.1.2导数的几何意义
+3.1.3函数可导与连续的关系
3.2导数的基本公式与四则运算法则
3.2.1导数的基本公式
3.2.2导数的四则运算法则
3.3复合函数与隐函数的导数
**3.3.1复合函数的导数
3.3.2隐函数的导数
3.4高阶导数
3.5微分
3.5.1微分的定义
3.5.2微分的基本公式与运算法则
3.5.3微分在近似计算中的应用
1.理解导数的概念及其实际意义,掌握导数的模型思想.了解左导数与右导数的定义,了解函数的可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数;
2.了解导数几何意义,会求曲线上一点处的切线方程与法线方程;
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则、复合函数求导法则,掌握隐函数的求导方法,能熟练地求函数的导数;
4.理解高阶导数的概念,了解高阶导数的实际意义,会熟练地求二阶、三阶导数,会求一些简单函数的
阶导数;
5.理解函数微分的概念,掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分;
6.了解近似计算公式,会进行简单的近似计算;
7.初步掌握逐步逼近的极限思想,学会将问题进行观察分析、归纳抽象、找出规律的数学思想方法。
1.导数的概念
2.导数的基本公式
3.求导法则
1.导数的定义
2.导数的几何意义
3.复合函数与隐函数的导数与微分
4.微分的概念
5.近似计算
1.通过几个实例引入与讲清导数的概念,这里要讲清从具体到抽象的分析过程。
讲清如何从一点的导数延伸到某一区间的导数,搞清一点的导数
与导函数
的之间关系。
2.适当介绍左右导数的概念,知道如何判断分段函数在分段点的可导性或如何求分段函数在分段点的导数;
从图形上讲清可导与连续的关系。
3.结合图形,讲清导数的几何意义,并适当介绍导数存在与切线存在之间关系,介绍几种特殊情况下的切线方程与法线方程。
4.从导数的定义,部分地推出导数的基本公式,对导数的基本公式重点应放在记忆上,而不是推导上。
5.讲授导数的四则运算法则,只需讲清规则与应用,无需对法则证明。
要强调的是积与商的导数,不应受习惯思维的影响,它不等于导数之积或导数之商,并通过边讲边练的方式训练学生掌握求导的基本思想与方法,特别强调求导方法的灵活性,绝对不死套公式与法则,能较方便地转化为和差形式的,尽量将积、商转化为和、差形式。
6.讲授复合函数求导法则时,首先强调的是要分清复合的层次,然后按照复合次序由外向里,层层求导,直到对自变量求导,千万不要遗漏。
7.隐函数的导数实际上是复合函数导数的应用,在求导的过程中,要交待清楚:
遇到
时一定要将
看成
的函数,遇到
的函数时,一定要先将
看成中间变量,最后
是
的函数。
8.从实际问题出发,讲授高阶导数的概念与求导方法,重点放在求函数的二阶导数上。
9.通过实例讲授微分的概念,讲清从具体到抽象的分析过程,并交待清楚导数与微分的关系;
一阶形式的不变性很重要,可通过复合函数求导法则讲清楚,同时反过来,利用它来求复合函数与隐函数的微分,并以讲练结合方式让学生掌握微分运算;
讲清微分的几何意义,并从数形结合的方式导出近似计算公式。
第4章 导数的应用
+§
4.1两大微分中值定理
4.1.1罗尔(Rolle)中值定理
4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理
4.2函数单调性与极值
4.3.1函数的单调性
4.3.2函数的极值
4.3.3函数的最值
4.3导数在经济中的简单应用
4.4.1最优问题
4.4.2边际问题
4.4.3弹性问题
*§
4.4洛必达法则
4.2.1
型不定式的极限
4.2.2
4.2.3其他类型不定式的极限
(二)教学要求
1.了解罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。
会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件,会求罗尔定理与拉格朗日中值定理的结论中的
;
2.理解与掌握函数单调性的判别方法.会利用导数判定函数的单调性,会求函数的单调区间,会利用函数的单调性证明一些简单的不等式;
3.了解函数极值与极值点的概念,搞清极值点和驻点的区别与联系,掌握极值存在的必要条件,熟练掌握求函数极值的方法(极值点的充分条件);
4.理解函数最值的概念,掌握函数最值的求法,熟练掌握简单的实际经济问题中最大值和最小值的求法;
5.深刻理解与熟练掌握边际与弹性的概念及经济意义,会利用导数讨论一些简单的经济问题。
6.了解洛必达法则,能正确运用罗必达法则求不定式的极限,重点掌握“
”和“
型,以及较简单的“
”、“
”型;
了解“
”型等。
1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间
2.函数极值、最值的求法及应用
3.边际与弹性的概念及实际应用
1.两大微分中值定理的理解
2.洛比达法则及运用
3.函数极值的求法与应用
4.边际的经济意义
5.弹性的概念及经济意义
1.以数形结合的方法讲清微分中值定理的条件与结论(不要求逻辑证明)。
2.结合图形与导数的几何意义讲清单调性的判定定理,通过训练学会求函数的单调区间,
3.利用图形讲授极值的概念;
求出函数的极值点是求函数极值的关键。
通过具体的事例说明函数极值点可能存在的范围,从而总结出求函数极值的步骤,与学生互动的方式讲授极值判定,并通过训练学会求函数的极值;
4.利用讲练结合的方式掌握函数最值的概念与求法,用实例掌握经济问题中的最优化问题,求实际问题的最值,难点在于建立实际问题的数学模型,通过对例子的分析,说明解决这类问题的方法。
5.通过实例讲清边际与弹性的概念,并弄清在实际经济问题中的应用,掌握边际、弹性的思想与应用。
6.重点讲授
与
型的洛比达法则。
并通过训练让学生掌握。
通过训练的方式让学生掌握
型与
型极限的求法。
第5章 积分及其应用
5.1定积分的概念与性质
5.1.1两个实例
5.1.2定积分的定义
5.1.3定积分的几何意义
5.1.4定积分的简单性质
5.2原函数与微积分基本定理
5.2.1原函数与不定积分的概念
5.2.2不定积分的基本公式与基本运算
5.2.3微积分基本公式
5.3 积分的换元积分法与分部积分法
5.3.1换元积分法
5.3.2分部积分法
5.4广义积分
+5.3.1积分区间为无穷区间的广义积分
*5.3.2被积函数无界的广义积分
5.5积分的应用
5.5.1积分在经济上的应用举例
+5.5.2定积分在几何上的应用
1.理解与掌握原函数和不定积分的概念和性质,熟记积分基本公式,掌握不定积分的直接积分法与凑微分法,能熟练地求较简单函数的不定积分;
2.理解定积分的概念与实际意义,掌握定积分的基本性质;
3.了解变上限积分函数的概念,掌握变上限积分函数求导的方法;
4.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式,熟练地利用牛顿—莱布尼兹公式进行简单的定积分计算,掌握定积分的换元积分法(代数换元)和分部积分法,并能利用上述方法熟练地进行定积分的计算;
5.了解无穷区间上有界函数的无穷积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念,掌握敛散性的判别方法与求无穷积分的计算方法;
6.掌握定积分的几何意义,能熟练地利用定积分的几何意义求平面几何图形的面积;
7.掌握不定积分与定积分在经济中的应用,能利用积分解决一些简单的经济应用问题。
8.掌握定积分的模型思想,树立以直代曲、逐步逼近的辩证观点。
1.原函数与不定积分的概念
2.定积分的概念
3.牛顿—莱布尼兹公式
4.积分的计算
5.积分的应用
1.定积分的概念及性质
2.换元积分法与分部积分法
3.无穷限积分的概念
4.用积分的思想解决实际问题
1.从计算实际问题不规则图形面积、由边际计算总量的思想方法(微元法),引入定积分的概念;
结合图形讲清定积分的一些基本性质,了解和式极限求定积分的方法。
2.以对求导数问题的逆向问题讨论,引入原函数、不定积分的概念。
通过例题理解并掌握不定积分的性质,知道基本积分公式的由来。
以基本积分公式为基础,通过变量替换不改变公式“结构”引入第一换元积分法。
通过例题讲解提高学生领悟“凑微分法”的思想方法,掌握一些常见“凑微分”类型的积分。
3.以曲边梯形面积随区间变动的图示引入变上限的定积分函数,证明此函数即为连续的被积函数的一个原函数,从而教给学生将定积分的计算公式-牛顿莱布尼兹公式。
通过例题、课堂练习让学生掌握用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分。
4.以例子引入定积分的换元积分法与分部积分法。
强调定积分换元积分与分部积分的注意事项。
通过例题讲解、课堂练习让学生掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
5.通过回顾曲边梯形面积的计算问题,引入微元法思想解决平面封闭图形面积的计算问题。
通过例题使学生掌握处理这类问题的思想方法及计算步骤。
通过实例由边际求总量的问题。
专业应用模块教学部分
第6章概率统计初步
6.1随机事件与概率
**6.1.1随机事件及其相互关系
**6.1.2概率
**6.1.3加法公式、条件概率与乘法公式
6.1.4全概率公式与逆概率公式
6.1.5独立试验序列概型
6.2随机变量及分布
**6.2.1随机变量及其分布函数
**6.2.2离散型随机变量及其分布
6.2.3连续型随机变量及其分布
6.3随机变量的数字特征
6.3.1随机变量的数学期望
6.3.2随机变量的方差
6.4统计初步
6.4.1统计量
+6.4.2参数估计
*6.4.3线性回归
1.了解随机试验和随机事件的概念,掌握随机事件的关系及其运算;
2.理解概率的统计定义和古典定义,能熟练地用古典概型的概率公式进行简单的概率计算;
3.理解与掌握概率的加法公式和乘法公式、条件概率公式和贝努里试验序列概型,并能正确选用以上公式进行随机事件概率的计算;
4.理解与掌握全概率公式与逆概率公式,并能用上述公式进行随机事件概率的计算;
5.了解随机变量的定义,了解随机变量分布函数的概念与性质,会利用分布函数进行简单的概率计算;
6.解离散型随机变量的概念,掌握其离散型随机变量的分布列的概念与性质,会求某离散型随机变量的分布列与分布函数;
7.熟练掌握两点分布、二项分布、泊松分布等几种常见的离散型分布,并能利用它们解决实际问题;
8.理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念,掌握连续型随机变量的概率密度函数的性质,会求某连续型随机变量的概率密度函数或分布函数;
9.熟练掌握均匀分布、正态分布、指数分布等几种常见的连续型分布,并能利用它们解决实际问题;
10.理解随机变量的数学期望与方差等重要数字特征的意义,会计算随机变量的数学期望和方差;
11.熟练掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布等几种常见分布的数学期望和方差,并能利用它们解决实际问题;
12.理解总体、样本、均值、及方差、标准差的概念,了解统计量的概念,掌握几种常见统计量的分布;
13.掌握频率直方图,会根据实际数据作频率直方图,并能进行分析;
+14.理解与掌握点估计与区间估计的概念与方法,对简单的统计问题初步能进行点估计与区间估计;
*15.理解与掌握假设检验的方法,能对具体问题进行检验;
*16.了解线性回归的概念,会进行简单的求线性回归方程,并会进行相关性检验。
17.初步掌握数据处理的方法,能用概率统计知识解决一些实际问题,培养学生应用的思想与能力。
1.随机事件概率的计算
2.离散型随机变量及其分布列
3.连续型随机变量及其分布
4.常见的典型分布
5.随机变量数字特征的概念及计算
6.统计量与统计方法
1.随机事件的关系
2.条件概率与独立试验序列概型
3.随机变量的概念
4.分布函数的概念
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