江苏省扬州市届高三数学第一次模拟考试试题及答案.docx
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江苏省扬州市届高三数学第一次模拟考试试题及答案
2018届高三年级第一次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=(xi-x)2,其中x=xi.
棱锥的体积V=Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.若集合A={x|1 2.若复数(a-2i)(1+3i)(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为________. 3.若数据31,37,33,a,35的平均数是34,则这组数据的标准差是________. 4.为了了解某学校男生的身体发育情况,随机抽查了该校100名男生的体重情况,整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2000名男生中体重在70~78(kg)的人数为________. (第4题)(第5题) 5.运行如图所示的流程图,输出的结果是________. 6.已知从2名男生2名女生中任选2人,则恰有1男1女的概率为________. 7.若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为________. 8.若实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________. 9.已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3a,则S3=________. 10.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________. 11.已知函数f(x)=sinx-x+,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为________. 12.已知正△ABC的边长为2,点P为线段AB中垂线上任意一点,Q为射线AP上一点,且满足·=1,则||的最大值为________. 13.已知函数f(x)=若存在实数k使得该函数的值域为[-2,0],则实数a的取值范围是________. 14.已知正实数x,y满足5x2+4xy-y2=1,则12x2+8xy-y2的最小值为________. 二、解答题: 本大题共6小题,计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,AC的中点. (1)证明: B1C1∥平面A1DE; (2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1,证明: AB⊥DE. 16.(本小题满分14分) 已知在△ABC中,AB=6,BC=5,且△ABC的面积为9. (1)求AC的长度; (2)当△ABC为锐角三角形时,求cos的值. 17.(本小题满分14分) 如图,射线OA和OB均为笔直的公路,扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中P,Q分别在射线OA和OB上.经测量得,扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN,分别与射线OA,OB交于M,N两点,并要求MN与扇形弧PQ相切于点S,设∠POS=α(单位: 弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计. (1)试将公路MN的长度表示为α的函数,并写出α的取值范围; (2)试确定α的值,使得公路MN的长度最小,并求出其最小值. 18.(本小题满分16分) 已知椭圆E1: +=1(a>b>0),若椭圆E2: +=1(a>b>0,m>1),则称椭圆E2与椭圆E1“相似”. (1)求经过点(,1),且与椭圆E1: +y2=1“相似”的椭圆E2的方程; (2)若m=4,椭圆E1的离心率为,点P在椭圆E2上,过点P的直线l交椭圆E1于A,B两点,且=λ, ①若点B的坐标为(0,2),且λ=2,求直线l的方程; ②若直线OP,OA的斜率之积为-,求实数λ的值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,a,b∈R. (1)若g(-1)=0,且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值: (2)若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围; (3)若对任意实数a,函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点,求实数b的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=a+an,数列{bn}满足b1=,2bn+1=bn+. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足cn=,求c1+c2+…+cn的值; (3)是否存在正整数p,q,r(p 若存在,求出所有满足要求的p,q,r的值;若不存在,请说明理由. 2018届高三年级第一次模拟考试(六) 数学附加题 (本部分满分40分,考试时间30分钟) 21.B.[选修42: 矩阵与变换](本小题满分10分) 已知x,y∈R,若点M(1,1)在矩阵A=对应的变换作用下得到点N(3,5),求矩阵A的逆矩阵A-1. C.[选修44: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且PQ=2,求实数m的值. 22.(本小题满分10分) 扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所. (1)求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率; (2)设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ). 23.(本小题满分10分) 二进制规定: 每个二进制数由若干个0,1组成,且最高位数字必须为1.若在二进制中,Sn是所有n位二进制数构成的集合,对于an,bn∈Sn,M(an,bn)表示an和bn对应位置上数字不同的位置个数.例如当a3=100,b3=101时,M(a3,b3)=1;当a3=100,b3=111时,M(a3,b3)=2. (1)令a5=10000,求所有满足b5∈S5,且M(a5,b5)=2的b5的个数; (2)给定an(n≥2),对于集合Sn中的所有bn,求M(an,bn)的和. 2018届扬州高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 1.{2} 2.-6 3.2 4.240 5.94 6. 7. 8. 9. 10. 11.(2,3) 12. 13. 14. 15.解析: (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,四边形B1BCC1是矩形,所以B1C1∥BC.(2分) 在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点, 故BC∥DE,所以B1C1∥DE.(4分) 又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE, 所以B1C1∥平面A1DE.(7分) (2)在平面ABB1A1内,过点A作AF⊥A1D,垂足为F. 因为平面A1DE⊥平面A1ABB1,平面A1DE∩平面A1ABB1=A1D,AF⊂平面A1ABB1,所以AF⊥平面A1DE.(11分) 又DE⊂平面A1DE,所以AF⊥DE. 在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,所以A1A⊥DE. 因为AF∩A1A=A,AF⊂平面A1ABB1,A1A⊂平面A1ABB1,所以DE⊥平面A1ABB1. 因为AB⊂平面A1ABB1,所以DE⊥AB.(14分) 16.解析: (1)因为S△ABC=AB×BC×sinB=9,又AB=6,BC=5,所以sinB=.(2分) 又B∈(0,π), 所以cosB=±=±.(3分) 当cosB=时, AC===.(5分) 当cosB=-时, AC===. 所以AC=或.(7分) (2)由△ABC为锐角三角形得B为锐角, 所以AB=6,AC=,BC=5, 所以cosA==. 又A∈(0,π),所以sinA==,(9分) 所以sin2A=2××=, cos2A=-=-,(12分) 所以cos=cos2Acos-sin2Asin=.(14分) 17.解析: (1)因为MN与扇形弧PQ相切于点S, 所以OS⊥MN. 在Rt△OSM中,因为OS=1,∠MOS=α,所以SM=tanα. 在Rt△OSN中,∠NOS=-α,所以SN=tan, 所以MN=tanα+tan=,(4分) 其中<α<.(6分) (2)因为<α<,所以tanα-1>0. 令t=tanα-1>0,则tanα=(t+1), 所以MN=,(8分) 由基本不等式得MN≥·=2,(10分) 当且仅当t=,即t=2时等号成立.(12分) 此时tanα=,由于<α<, 故α=,MN=2千米.(14分) 18.解析: (1)设椭圆E2的方程为+=1,代入点(,1)得m=2, 所以椭圆E2的方程为+=1.(3分) (2)因为椭圆E1的离心率为,故a2=2b2, 所以椭圆E1: x2+2y2=2b2. 又椭圆E2与椭圆E1“相似”,且m=4, 所以椭圆E1: x2+2y2=8b2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线l1: y=kx+2, ①方法一: 由题意得b=2,所以椭圆E1: x2+2y2=8,将直线l: y=kx+2,代入椭圆E1: x2+2y2=8得(1+2k2)x2+8kx=0, 解得x1=,x2=0,故y1=,y2=2, 所以A.(5分) 又=2,即B为AP中点, 所以P,(6分) 代入椭圆E2: x2+2y2=32得+2=32, 即20k4+4k2-3=0,即(10k2-3)(2k2+1)=0,所以k=±, 所以直线l的方程为y=±x+2.(8分) 方法二: 由题意得b=2,所以椭圆E1: x2+2y2=8,E2: x2+2y2=32, 设A(x,y),B(0,2),则P(-x,4-y), 代入椭圆得解得y=, 故x=±,(6分) 所以k=±, 所以直线l的方程为y=±x+2.(8分) ②方法一: 由题意得x+2y=8b2,x+2y=2b2,x+2y=2b2, ·=-,即x0x1+2y0y1=0, 因为=λ,所以(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x1,y2-y1),解得(12分) 所以+2=2b2, 则x+2(λ-1)x0x1+(λ-1)2x+2y+4(λ-1)y0y1+2(λ-1)2y=2λ2b2, (x+2y)+2(λ-1)(x0x1+2y0y1)+(λ-1)2(x+2y)=2λ2b2, 所以8b2+(λ-1)2·2b2=2λ2b2,即4+(λ-1)2=λ2,所以λ=.(16分) 方法二: 不妨设点P在第一象限,设直线OP: y=kx(k>0),代入椭圆E2: x2+2y2=8b2, 解得x0=,则y0=, 因为直线OP,OA的斜率之积为-,所以直线OA: y=-x,代入椭圆E1: x2+2y2=2b2, 解得x1=-,则y1= 因为=λ,所以(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x1,y2-y1), 解得 所以+2=2b2,则x+2(λ-1)x0x1+(λ-1)2x+2y+4(λ-1)y0y1+2(λ-1)2y=2λ2b2, (x+2y)+2(λ-1)(x0x1+2y0y1)+(λ-1)2(x+2y)=2λ2b2, 所以8b2+2(λ-1)[·+2··]+(λ-1)2·2b2=
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