弹性直梁问题的变分原理及有限元素法Word格式.docx
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=口(wk)=n(w+Aw)=ri(w)+zn11(w,Aw)中n2(Aw)
其中:
Note:
iw,w满足基本边界条件,可得(功的互等定理)
广d2^wd2wd卫wdw
—2——+N
dxdxdxdx
功的互等定理:
第一组力在第二组位移上所做的功等于第二组力在第一组位移上所做
的功。
(真实力状态关于虚拟位移作功;
虚拟位移产生的虚拟力关于真实位移作功)此式表明:
口11(W,)=0
=n(Wk)=r[(w)+n2(Aw)
由n2qw)的算式,当N>
0时,n2(Aw)王0或
当N<
0(轴受压)未达到临界压力时,口2(Aw)>
0。
式中的等号只有在Aw为刚体位移时才能成立(即弹性能仅为零的情况)。
以上即是证明的最小势能原理。
上述的证明可普遍适用于其他类型的边界条件;
也适用于其他复杂弹性力学体系。
精确解既然是使总势能取最小值,那么必有:
迈(W)=0
即:
I
f.2\
Ejg
Idx丿
d2w
2
-N
-q!
6wdx+Ejw"
(I)+M丨bw'
(l)=0
—:
:
d2
dx2
/.2>
EJ'
2
.2
-N—T=q
EJw"
(I)+MI=0(正好补足了可能挠度尚未满足的边界平衡条件)所以,最小势能原理与平衡条件(边界及内部)完全等价。
说明:
尽管变分法与原问题的微分方程系统等价,但具体求解时,变分法涉及的导
数阶次要低(这是能量法的优点,求得的解可能满足微分方程的连续性要求,也可能不满足)。
(不是真解)不能满足力的自然边界条件(选取可能位移时一般很难取故一般情况有限元不能获得满足力边界条件的解)如果在满足力的边界条件的那些函数集合中选,
能量逼近解得满足力的边界条件,能是近似解。
当然,
(即更为逼近)。
强调三点:
上述证明的是真实挠度使系统势能取最小值。
又通过变分法证明了系统能量的极值曲线满足梁的微分控制方程(平衡方程)。
需
要深入认识的是:
系统能量泛函中要求的挠度为可能挠度(即满足连续性与位移边界条件的
曲线,但不满足微分方程);
变分的结果恰使极值曲线应满足微分方程及自然边界条件,补足了真实解的所需条件(理论上的等价性)。
微分方程解与能量泛函解对函数连续性的要求是不同的,故能量方法对函数的连续
性要求较放松。
以后在广义变分原理中会看到对解函数的连续性要求更低。
。
从这点上看,只则解的精度要大大提高
ii)用Ritz法求解梁的弯曲问题
考虑:
x=0端固支,
衡问题,求挠度函数(当
X=1端简支,变剖面梁在轴向拉力和横向载荷联合作用下的平EJ为变数时很难求解精确解)。
求解:
设挠度表达式为:
n
W=®
0+Z:
牛i
i二
式中,90是变形可能的某一特解,即
dcp
®
0和U是X的连续函数,且满足下列非齐次的位
dX
移边界条件:
在X=0处,W^W0,d^
“0
在X=1处,申^W,
d护
%为n个适当选定的变形可能的齐次解,即%和一-都是X的连续函数,并且满足
齐次的位移边界条件,即:
d半
在X=0处,®
j=0,「=0
在X=1处,%=0
Li是n个待定常数。
改成用矩阵表示(便于计算机运算及与有限元方法对比)
记:
「伴汽,…巴T莒…,匕畀WM0+®
哇
未定系数矢量匕由最小势能原理确定。
(1)
l1
代入能量泛函:
n(w)=jGEJ
e2w)1„
—1+-N
Idx丿2
Idx丿
2I
-qw»
代入w的计算举例:
=(%讯+半佰匕)^0+半订匕)
/.2
'
dx2」
=(%"
2+2半0半"
T匕+(申"
T匕申“T©
)
①
(申02代入积分式后成为常数,对变分无意义,故可在变分意义下忽略掉。
(cp”Ttcp”Tt)=2cp吿无誉j=E©
正④理Fj
jij
二rTQ二raE
二原式
同理得其他项的计算结果。
最终有:
=尹(K+NG)©
-fP
ld2®
MEJ
d2®
Tdxdx2
K=K(刚度矩阵)
ld®
dxdX
G=G(几何刚度矩阵)
0U'
dx2dx2
IId2申
=0q®
dx-M|A(I)-[(EJ
(3)计算
丁T1rj^TT
(FJUF)
疋rZNG"
忖(K+NgAf=0
注意求导运算的规则:
在行乘列的数中,对行变量求导,列向量不变;
对列向量求导得行向量的转置。
同时注意到上式中的矩阵对称性,即:
1T1
K+NG「-(K+NG?
于是得:
.•.李=(K+NG$-F=0
=(K+NG?
=F
上面的计算推导显粗,细做:
令:
K+NG
ZqKijJ-送F&
i
ji
Kronec记号
若级数的前n项已颇接近精确解,级数的后几项只起“修正”作用,那么少取几项也能解决问题。
反之,级数的前n项与精确解相差颇远,则加重了后面各项的“修正”负担,那么级数项只好取得多一些。
iii).有限元素法求解梁的弯曲问题
基本步骤:
先将梁分割成若干个(如n个)有限单元。
构造单元的无量纲局部坐标系(用于几何构造)
取第e个元素分析(如右图)le=Xj—X
取无量纲局部坐标系:
0°
"
le^—X)'
Pe
OSe,Pe兰1
=£
(X—X)
le
线性构造几何坐标:
X=Xae+XjPe=SXkU(后者为规范式)
局部坐标实际上为坐标基函数(也称形状函数,或参数坐标)。
从坐标的观点来理解,参
数坐标并不是独立的,也不具有描述一个任一向量的最小数目。
构造位移(挠度)函数(有限元不要对整个梁的挠度作假设,而仅在每一个元素上进行
假设构造,显然简单易行)
对梁类单元如果构造成线性挠度,即:
W=WiP+Wja过分简化,无法满足梁变形的连
续性。
因为:
a.由线性假设,梁的曲率为零,计算不出梁的应变能,故需要梁的挠度函数构造满足二
阶导存在,即W忘C1Xi,xj
b.两个相邻元在公共节点上给出不相等斜率(一阶导在单元内为常数)
性的要求矛盾,同样要求W忘/〔且不能在单元内为常数。
,这与位移连续
由此,对梁元素的挠度函数必须是三次的函数。
如用三次函数,可取:
W=WiH0(P)+WHi1(P)+WjH;
(P)2jH;
(P)=NTUe
H的上标代表节点号(相当于i,j)下标0对应于节点挠度;
1对应节点斜率(转角);
还应注意到上述插值表达式中的系数为单元节点的位移及一阶导(未知量)。
Hn可看成由对应于节点的要素所引起的单元内部挠度关系。
h0(p)=1-3p2+2p3"
2®
+3p)h0'
(P)=-6(P-P2)
在两节点上一阶导都为零。
H,P)=1—2P2+P3"
2P
H,P)=1-4P+3P2=ot(a-2P)
1'
H1(P)=-2(2-3p)=-2(2a-P)
在两节点上函数值都为零。
H<
2(P)=3P2—2p'
=p2(3a+p)
H;
,(P)=6(P-p2)=6aP
Hf'
(P)=6(1—2P)=-6(a-P)
Hi2(P)=—P2+P3=已2'
(P)=—2p+3p2=_P(2a-P)
H
(P)=-2(1-3P)=2(a-2P)
注意:
上式插值的奥妙之处在于保障了在单元间节点上函数值及其一阶导的连续性,二阶导并
不连续(仅是存在)。
这从能量泛函的积分式中可以看出已满足了积分条件;
如果二阶导也连续,则过于连续了(过协调单元,这样的解反倒由于计算误差而导致精度下降)。
上述插值函数的构成在单元内场函数连续性要高(单元内二阶导连续),而在单元间的
节点上,要低一阶(一阶导连续,二阶导存在)。
这是分段(片)插值函数的共同特征
(可比较样条函数的特性)。
上述的坐标基函数具有内嵌性(规范性),即直接在节点上满足函数本身及一阶导连续
的特性。
样条函数需要外加节点导数连续性的要求。
④计算势能泛函
有限元中已对w按元素分段进行插值,故能量泛函也应分段计算,即:
p-2
二送^知:
卑曰(穿2+扣(竽r—qwjdx
ezt
dw、2
.2>
rEjf2的U
Xi
dx2e)2dX<
Ue
x'
dx2EJdx2
eJ(,2
)dXUe
J
T[ffeTD〔B]dx]ue
举例:
当每个单元都很短时,通常认为各单元中的EJ是一个常数,这使得有限元法考虑
变弹性刚度的梁问题更易处理。
作法相同于Ritz法,代w的插值表达式,细致计算得:
(元素的广义载荷列阵,转换成节点的等效载荷)
⑤总势能的和
n1T
“「乞ulK+NGUe-FU
b.取各单元的矩阵:
k②1
k②J对号求和放入总矩阵相应位置;
兀=-UT(K+NG)U-FtU
C.
Un
uT=Uju2
K=2;
AjKeAe
e
G=2AjKeAe
单元④:
L0
⑥求系统势能的最小值
甘0
(K+NG)U=F
remark:
求解刚度方程的作用是确定近似的位移形态。
⑦说明:
i.刚度方程是一个节点力的平衡方程。
是在假设的位移形态下,连续体平衡方程经能量变分原理转换成的节点力平衡方程。
ii.这个平衡方程是虚拟的(只有在桁架或刚架结构中真实;
连续体结构实际不存在),
只是在能量意义下的“笼统”的平衡关系(连续体的能量=离散节点体系的能量)。
节
点力为能量意义上的等效节点力。
iii.(如果仅取一个单元)若在梁各固支节点上加一集中反力(广义力)-F,那么这个―
F正好与原有载荷产生的等效节点载荷F相抵消,从而U=0,这说明-F就是结构力
学中常见的固定端反力,即能使节点无挠度无转角所需的集中反力和反力矩。
上面介绍的方法实质上就是求固定端反力的近似方法。
对于等剖面的梁且无轴向载荷作用,上面计算的F公式是精确的。
(说明虚拟的节点载荷应是固支端的支反力)。
iv.若梁为等剖面的且在均布载荷作用下,由材料力学知,其挠度是三次曲线。
因此,位移形状函数的假设是精确的,所以最后求得的解是精确解。
V.在构造位移形状函数时,并没有注意到边界条件的满足,要使边界处单元在支持端位移条件恰好与支持端节点位移一致,必须在解总刚度方程前,置入这些支持端节点上的边界条件,再进行线性代数方程组的求解。
Vi.从另一角度看,在未置入边界条件的总刚方程中,总刚方程代表了一个平衡关系,当节点位移有刚体运动时,这个平衡关系仍然成立,因此未置边界条件的总刚方程是不
定的或说有无穷个解,即
K+NG=0(总刚方程是奇异的)。
当置入了边界条件后,
(不可能有刚体位移发生)才能获得唯一位移解,这说明置入边界条件后的总刚方程是适定的,而且对于获得的位移解,总能使系统势能(二次型)大于零。
故说此时的总刚矩阵是正定的。
(无置入边界时是称为半正定的)。
置边界条件的两种方法:
①划行划列法
边界条件的置入,应使代数方程组的求解与给定的节点位移(一般是支持端)上一致。
这是最终的目的,但方法上可以多样化。
划行划列法实际上是在总刚度方程中取消这些与已知节点位移相关的量。
若X2
=U代入上述方程,并移项后得(此时P2应为未知量,否则三个方程解两个未知量本
身就是矛盾的,应多消掉一个方程)
大家可能担心,所求解不满足原第二个方程。
的确如此,因为置入了特定解条件,就改变了
原方程特解(其实,原方程有无限个未知量,本身就不可解;
只有外加一个条件式,这样通过原方程才能获得唯一解)。
对比Ritz法,有限元优点更突出些:
(1)选取插入函数(位移形状)比较简单有把握;
EJ为一常数,若设取成线性关系就非常
(2)所需的积分运算简单,因为在每一个元素中设接近真实情况了;
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