离散数学复习资料和试题.doc
- 文档编号:2008418
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOC
- 页数:13
- 大小:289.79KB
离散数学复习资料和试题.doc
《离散数学复习资料和试题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散数学复习资料和试题.doc(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
离散数学复习资料和试题
集合论
1.集合与集合之间的关系,元素与集合之间的关系
1.判别下列各题是否正确:
(1){1,2}Í{1,2,3,{1,2,3}}正确
(2){p,q,r}Í{p,q,r,{p,q,r}}正确
2.设有集合A={a,b,c},Æ为空集,则{a}ÍA
3.设S1=Æ,S2={Æ},S3=ρ({Æ}),S3=ρ(Æ),则:
S2∈S4为假命题
2.幂集:
ρ(A)就是集合A中子集所组成的集合
求下列集合的幂集:
(1){a,{a}}={Æ,{a},{{a}},{a,{a}}}
(2){Æ,a,{a}}={Æ,{Æ},{a},{{a}},{Æ,a},{Æ,{a}},{a,{a}},{Æ,a,{a}}}
3.集合的运算:
10组集合恒等式:
1)交换率:
A∪B=B∪A;A∩B=B∩A
2)结合律:
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
3)分配律:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
4)同一律:
A∪Æ=A;A∩E=A
5)零一律:
A∩Æ=Æ;A∪E=E
6)互补率:
A∪~A=E;A∩~A=Æ;~E=Æ;~Æ=E
7)双重否定率:
~~A=A
8)幂等率:
A∪A=A;A∩A=A
9)吸收率:
A∪(A∩B)=A;A∩(A∪B)=A
10)德摩根率:
~(A∪B)=~A∩~B;~(A∩B)=~A∪~B
交:
A∩B;并:
A∪B;差运算:
A—B(属于A不属于B);补运算:
~A;
对称差运算:
AÅB;笛卡儿乘积:
A×B={|a∈A,b∈B}
设A={a,b,c},B={b,d,e}则A—B={a,c},AÅB={a,c,d,e}
4.集合的计数问题:
|A|=2n(n是集合A的元素的个数)
|A∪B|=|A|+|B|—|A∩B|;|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|—|A∩B|—|A∩C|—|B∩C|+|A∩B∩C|
5.关系的性质:
①由图写出性质
②有性质画图
③由关系集合写性质
(自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性:
)P34##2.6
用图表示出来的在集合X={1,2,3}上的关系的6个图形,从图中可以清楚的看出:
(1)R1是自反的、对称的、又是传递的(它是一个全关系);
(2)R2是反自反的、反对称的
(3)R3不是反自反的、反对称的
(4)R4是自反的、反对称的
(5)R5是反自反的、对称的、反对称的、传递的(它是一个空关系)
6.映射与关系
6.设集合A={a1,a2,a3,a4},B={b1,b2,b3},σ={〈a1,b2〉,〈a2,b2〉,〈a3,b1〉,〈a4,b3〉}则σ是满射但不是单射
7.关系的闭包:
r(R)=R∪IA┎;s(R)=R∪~R;t(R)=R∪R1∪R2∪R3……∪Rn
1.设A={a,b,c},R1、R2是A上的二元关系:
R1={〈a,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈d,d〉}
R2={〈a,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈c,b〉,〈d,d〉}试证明R1是R2的何种闭包
解:
R1∪~R1={〈a,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈d,d},〈c,b〉}
即有R1∪~R1=R2根据对成闭包的定义及求解方法只R2是R1的对称闭包
2.设集合A={a,b,c,d},定义R={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉}求r(R),s(R),t(R)
解:
r(R)={〈a,a〉,〈b,b〉,〈c,c〉,〈d,d〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉}
s(R)={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,b〉,〈c,d〉,〈d,c〉}
t(R)={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,b〉,〈a,c〉,〈a,d〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,d〉}
3.由关系集合写性质
设A={a,b,c},R={〈a,a〉,〈b,b〉},具有反对称性
8.关系的运算(复合运算)R1R2
1.设X={0,1,2,3},X上有两个关系:
R1={〈i,j〉|j=i+1或j=i/2};R2={〈i,j〉|i=j+2}
求复合关系:
R1R2
R1={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,3〉,〈0,0〉,〈2,1〉},R2={〈2,0〉,〈3,1〉}则有:
R1R2={〈1,0〉,〈2,1〉}
2.设R1,R2是集合A={1,2,3,4}上的二元关系,其中R1={〈1,1〉,〈1,2〉,〈2,4〉},R2={〈1,4〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈3,2〉},试求:
R1R2
解:
R1R2=〈1,4〉,〈1,3〉}
9.特殊关系等价关系:
1.A={0,1,2,4,5,8,9},R为A上模为4的同余关系,求
(1)R的所有等价类
(2)画出R的关系图
解:
R={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉,……,〈9,9〉,〈0,4〉,〈4,0〉,〈1,5〉,〈5,1〉,〈4,8〉,〈8,4〉,〈5,9〉,〈9,5〉,〈0,8〉,〈8,0〉,〈1,9〉,〈9,1〉}
(1)[0]R={0,4,8}=[4]R=[8]R;[1]R={1,5,9}=[5]R=[9]R;[2]R={2}
(2)
2.A={a,b,c,d}A的等价关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈c,c〉,〈d,d〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈8,4〉,〈c,d〉,〈d,c〉}求
(1)图
(2)A的等价类(3)A/R(商集)
解:
(1)
(2)[a]R=[b]R={a,b}[c]R=[d]R={c,d}(3)A/R={{a,b},{c,d}}
3.A={,1,2,4,……,24}上定义R={
(1)写出R
(2)画图(3)证明R是等价关系
解:
(1)R={<1,1>,<2,2>,……<24,24>,<1,13>,<2,14>,……<12,24>,<24,12>}
(2)
(3)(定义法)若证明R为等价关系,只需证明R具有自反性,对称性,传递性
①自反性:
"x∈A,则
②对称性:
若
所以12|(y—x),故
③传递性:
如果
则x—z=(x—y)+(y—z)能被12整除,故12|(x—z),
所以R具有传递性
综上所述,R为等价关系
偏序关系
1.集合X={2,3,6,8},上的整除关系R={〈2,2〉,〈3,3〉,〈6,6〉,〈8,8〉,〈2,6〉,〈2,8〉,〈3,6〉}是偏序的,求其哈斯图
2.集合A={2,3,6,12,24,36}上的整除关系R是偏序的,它可用哈斯图表示
R={〈2,2〉,〈3,3〉,〈6,6〉,〈12,12〉,〈24,24〉,〈36,36〉,
〈2,6〉,〈3,6〉,〈6,12〉,〈12,24〉,
〈2,12〉,〈3,12〉,〈6,24〉,〈12,36〉
〈2,24〉,〈3,24〉,〈6,36〉,
〈2,36〉,〈3,36〉}
求特殊关系
1.设A={a,b,c}的幂集ρ(A)={Æ,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}上的“Í”是偏序关系,则
(1)B={{a,b},{b,c},{b},{c},Æ}
(2)B={{a},{c}},求8种特殊关系
解:
(1)不$y∈B,"y’Íy,故无罪最大元,最小元是Æ;
极大元为{a,b},{b,c};极小元为Æ;上界和上确界均{a,b,c};下界下确界均为Æ
(2)无最大最小元;极大元和极小元均为{a},{c};
上界为,{a,c},{a,b,c};上确界为{a,c};下界和下确界均为Æ;
2.集合A={2,3,6,12,24,36},其中“≤”为A上的整除关系R
1)画出一般的关系图和哈斯图2)设B1={6,12}B2={2,3}B3={24,36}B4={2,3,6,12}为A的子集试求出B1B2B3B48种元素
最大元
最小元
极大元
极小元
上界
下界
上确界
下确界
B1
12
6
12
6
12,24,36
2,3,6
12
6
B2
无
无
2,3
2,3
6,12,24,36
无
6
无
B3
无
无
24,36
24,36
无
2,3,6,12
无
12
B4
12
无
12
2,3
12,24,36
无
12
无
3.A={a,b,c,d,e,f,g,h},对应的哈斯图如下;令B1={a,b},B2={c,d,e},求B1B28种元素
解
B1
B2
最大元
无
无
最小元
无
c
极大元
a,b
d,e
极小元
a,b
c
上界
c,d,e,f,g,h
h
下界
无
a,b,c
上确界
c
h
下确界
无
c
代数系统
1.代数系统单位元逆元素零元素
1.在实数集R上定义二元关系“*”:
“”如下:
x*y=x+y—xy,xy=1/2(x+y)
(1)x*y是否满足结合律、交换率?
是否有单位元及逆元?
(2)xy是否满足结合律、交换率?
是否有单位元及逆元?
解:
因为
(1)(x*y)*z=(x+y—xy)*z=x+y—xy+z—xz—yz+xyz
x*(y*z)=x*(y+z—yz)=x+y—xy+z—xz—yz+xyz满足结合率
x*y=x+y—xy;y*x=y+x—xy满足交换率
x*0=x+0—x0=0+x—0x=x所以单位元是0
x*x—1=x+x—1—xx—1=0所以x—1=—x/(1—x)(x≠1)
所以对于R—{1}的所有x均有逆元素—x/(1—x)
(2)因为(xy)z=1/2(x+y)z=1/2(1/2(x+y)+z)=1/4x+1/4y+1/2z
x(yz)=x1/2(y+z)=1/4y+1/4z+1/2x所以不满足结合律
又因为xy=1/2(x+y),yx=1/2(x+y)所以满足交换率;不存在单位元素和逆元素
2.在代数系统
0
3.设A是非空集合<ρ(A),∪,∩>中,ρ(A)对运算∪的单位元是Æ,ρ(A)对运算∩的单位元是A
2.找子群证明交换群
1.试证阶为偶数的循环群中周期为2的元素个数一定是奇数
证明:
设(G,*)是阶为n的循环群,即|G|=n(n是偶数)。
任取a∈G,an=e(m>2),a的阶为m,a的逆元素a—1∈G,故(a—1)m=(am)—1=e—1=e,由群的性质,知a—1的阶也是m,则必定有a≠a—1
反证法,若a≠a—1,则a2=e,所以a的阶不大于2,这与m>2矛盾,所以a≠a—1,即当a的阶数大于2时,a与它的逆元素总是成对出现的
又因为群中唯一的单位元素e的阶为1,此时阶大于2的元素个数是偶数,加上单位元e,个数为奇数了,剩下的那些阶为2的元素个数必须是奇数,才能满足所给条件n是偶数,得证
2.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 离散数学 复习资料 试题