勾股定理复习.docx
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勾股定理复习.docx
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勾股定理复习
勾股定理复习
一勾股定理
(1)
知识领航
1.勾股定理:
如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
【例】如图所示,可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形.借助这个图形,你能用面积法来验证勾股定理吗?
这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法.
双基淘宝
◆仔细读题,选择最佳答案哟!
1.下列说法正确的是( )
A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
2.△ABC的三条边长分别是
、
、
,则下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是()
A.斜边长为25B.三角形周长为25
C.斜边长为5D.三角形面积为20
4.在
中,
,
(1)如果a=3,b=4,则c= ;
(2)如果a=6,b=8,则c= ;
(3)如果a=5,b=12,则c= ;
(4)如果a=15,b=20,则c= .
5.如图,三个正方形中的两个的面积S1=25,S2=144,则另一个的面积S3为________.
综合运用
6.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,验证:
c2=a2+b2.
7.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点,一共爬了多少厘米?
(小方格的边长为1厘米)
拓广创新
8.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:
a2+b2=c2.
c
D'
二勾股定理
(2)
知识领航
1.在直角三角形中,若已知任意两边,就可以运用勾股定理求出第三边.无直角时,可作垂线构造直角三角形.
2.勾股定理的作用:
(1)计算;
(2)证明带有平方的问题;(3)实际应用.
【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:
00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:
00,甲、乙二人相距多远?
还能保持联系吗?
双基淘宝
◆仔细读题,选择最佳答案!
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是
cm,则另一条直角边的长是()
A.4cmB.
cmC.6cmD.
cm
2.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为( )
A.42B.32C.42或32D.37或33
3.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动( )
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
4.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
第4题图
5.在△ABC中,∠C=90°,
(1)已知a=2.4,b=3.2,则c=;
(2)已知c=17,b=15,则△ABC面积等于;(3)已知∠A=45°,c=18,则a=.
6.一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,S△ABC=30cm2,则AB= .
8.等腰△ABC的腰长AB=10cm,底BC为16cm,则底边上的高为,面积为.
9.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为.
10.一天,小明买了一张底面是边长为260cm的正方形,厚30cm的床垫回家.到了家门口,才发现门口只有242cm高,宽100cm.你认为小明能拿进屋吗?
.
综合运用
11.如图,你能计算出各直角三角形中未知边的长吗
12.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?
13.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过
km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方
m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为
m,这辆小汽车超速了吗?
拓广创新
14.
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:
cm).
三勾股定理(3)
知识领航
1.利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段,也就可以在数轴上画出表示无理数的点.
2.领会和掌握数形结合的数学思想方法.
【例】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的,连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、DE、EF、FA,请说出这些线段中长度是有理数的是哪些?
长度是无理数的是哪些?
并在数轴上作出表示
、
、
、
、
的点.
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◆仔细读题,选择最佳答案!
1.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是()
A.0B.1C.2D.3
第2题图
第1题图
第4题图
2.如图所示,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是()
A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c
3.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.
4.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_______cm2.
5.在△ABC中,∠C=900,,BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发,以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点,需要分的时间.
6.第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1,请你先把图中其它8条线段的长计算出来,填在下面的表格中:
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
第6题图
综合运用
7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与门高.
8.已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
拓广创新
9.已知:
正方形的边长为1.
(1)如图(a),可以计算出正方形的对角线长为
.如图(b),求两个并排成的矩形的对角线的长.n个呢?
(2)若把(c)(d)两图拼成如下“L”形,
过C作直线交DE于A,交DF于B.若DB=
,求DA的长度.
四勾股定理的逆定理
(1)
知识领航
1.勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用的勾股数有3、4、5、;6、8、10;5、12、13等.
3.应用勾股定理的逆定理时,先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.
4.判定一个直角三角形,除了可根据定义去证明它有一个直角外,还可以采用勾股定理的逆定理,即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方,这是代数方法在几何中的应用.
【例】如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
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◆仔细读题,选择最佳答案!
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)3,4,5;
(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6.其中能构成直角三角形的有()
A.4组B.3组C.2组D.1组
2.三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2-b2(a、b都是正整数),则这个三角形是()
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
3.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的()
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
4.下列各命题的逆命题不成立的是()
A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b2
5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
ABCD
综合运用
6.如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.
7.一个零件的形状如左图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示,这个零件符合要求吗?
8.如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=
BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问△AEF是什么三角形?
请说明理由.
五勾股定理的逆定理
(2)
知识领航1.应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,建立数学模型.
2.体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化,培养转化、推理的能力.
【例】如图,南北向MN为我国领域,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里;反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
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◆仔细读题,选择最佳答案!
1.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是()
A.7,24,25B.3
4
5
C.3,4,5D.4,7
8
2.在下列说法中是错误的()
A.在△ABC中,∠C=∠A一∠B,则△ABC为直角三角形.
B.在△ABC中,若∠A:
∠B:
∠C=5:
2:
3,则△ABC为直角三角形.
C.在△ABC中,若a=
c,b=
c,则△ABC为直角三角形.
D.在△ABC中,若a:
b:
c=2:
2:
4,则△ABC为直角三角形.
3.有六根细木棒,它们的长度分别为2,4,6,8,10,12(单位:
cm),从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这根木棒的长度分别为()
A.2,4,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12
4.将勾股数3,4,5扩大2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你也写出三组基本勾股数,,.
5.若三角形的两边长为4和5,要使其成为直角三角形,则第三边的长为.
6.若一个三角形的三边之比为5:
12:
13,且周长为60cm,则它的面积为.
综合运用
7.如图,已知等腰△ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长.
8.如图,三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,求修这条公路的最低造价是多少?
9.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.
拓广创新
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
《勾股定理》专项练习
18.1勾股定理
考点一、已知两边求第三边
1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为_____________.
2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________.
3.在一个直角三角形中,若斜边长为5cm,直角边的长为3cm,则另一条直角边的长为().
A.4cmB.4cm或
C.
D.不存在
4.在数轴上作出表示
的点.
5.一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为2.5㎝,
高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做多长?
考点二、利用列方程求线段的长
1.把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是9㎝2,那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好.
2.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则EB的长是().
A.3B.4
C.
D.5
3.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
4.如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,
又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离.
考点三、综合其它考点的应用
1.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为7
,8
,则以斜边为边长的正方形的面积为_________
.
2.如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外
壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm
3.小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架,由于四边形容易变形,需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形,则斜拉杆最长需________cm.
4.小杨从学校出发向南走150米,接着向东走了360米到九龙山商场,学校与九龙山商场的距离是米.
5.如图:
带阴影部分的半圆的面积是多少?
(
取3)
6.已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.
求①AD的长;②ΔABC的面积.
7.在直角ΔABC中,斜边长为2,周长为2+
,求ΔABC的面积.
8.已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E,BD=4cm.求AC的长.
9.已知:
如图,△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的高.
求证:
AB2-AC2=BC(BD-DC).
10.已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高.
11.小明想测量学校旗杆的高度,他采用如下的方法:
先降旗
杆上的绳子接长一些,让它垂到地面还多1米,然后将绳子
下端拉直,使它刚好接触地面,测得绳下端离旗杆底部5米,
你能帮它计算一下旗杆的高度.
12.有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12米,高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢.那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起.
13.如图∠B=90º,AB=16cm,BC=12cm,AD=21cm,CD=29cm
求四边形ABCD的面积.
14.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时
梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置
上,测得BD长为0.5米,求梯子顶端A下落了多少米?
15.在加工如图的垫模时,请根据图中的尺寸,求垫模中AB间的尺寸.
18.2勾股定理的逆定理
考点四、判别一个三角形是否是直角三角形
1.若△ABC的三个外角的度数之比为3:
4:
5,最大边AB与最小边BC的关系是_________.
2.若一个三角形的周长12
cm,一边长为3
cm,其他两边之差为
cm,则这个三角形
是______________________.
3.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是().
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形
4.下列命题中是假命题的是().
A.△ABC中,若∠B=∠C-∠A,则△ABC是直角三角形.
B.△ABC中,若a2=(b+c)(b-c),则△ABC是直角三角形.
C.△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D.△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
5.在△ABC中,
,那么△ABC是( ).
A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.如图,四边形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,
且
.你能说明∠AFE是直角吗?
考点五、开放型试题
1.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=_______.
2.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3.
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?
(不必证明)
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、S3之间的关系?
.
3.图示是一种“羊头”形图案,其作法是,从正方形1开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形2,和2′,…,依次类推,若正方形7的边长为1cm,则正方形1的边长为__________cm.
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