地震波动方程Word文档下载推荐.docx
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沁Ui1・2UiUy
X2dx2
以4秒的间隔画出1-33秒的图。
M=moviein(101);
dx=1;
dt=0.1;
tlen=3;
beta=4;
%UI=Zeros(101,1);
u2=u1;
u3=u1;
%u伪前一个时刻的各点的位移,为零
初始化变量,tlen为震源持续时间,beta为波传播的速度
u2为当前时刻的位移,u3为下一个时刻的位移值,开始均假定
t=0;
jj=O;
while(t<
=33)%模拟的最长时间为33秒
forii=2:
100
方程的解
rhs=betaA2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1)>
dxA2;
%
u3(ii)=dtA2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);
%对时间求导数
end
%左边为自由边界条件,右边为固定边界条件
u3
(1)=u3
(2);
%左边为自由边界条件
u3(101)=0.0;
%右边为固定边界条件
%左右两边为自由边界条件
%u3
(1)=u3⑵;
%左边为自由边界条件
%u3(101)=u3(100);
%右边为自由边界条件
%左右两边为固定边界条件
地震震源时间函数
时刻的更新
获得当前的图像
%u3
(1)=0.0;
%左边为固定边界条件%u3(101)=0.0;
%右边为固定边界条件if(t<
=tlen)
u3(51)=(sin(pi*Mlen)).A2;
%endforii=1:
101
u1(ii)=u2(ii);
u2(ii)=u3(ii);
%
Plot(u2);
%绘制目前的波形图
ylim([-1.21.2]);
M(:
jj+1)=getframe;
%t=t+dt;
%时间延长endmovie(M)%演示波形传播
3.1.2三维空间之振动方程式
推导三维空间之振动方程式的过程,与上节中所采用的一维空间讨论方式类似,如图3・2所
在y-z面上的作用力差为:
L-xxX■dx・ZxxXIdydZ在X-Z面上的作用力差为:
Lyxy-dy・;
「“y
IdXdZ在X・y面上的作用力差为:
lrzxZdA-czxZIdXdy
惯量为:
-2
dxdydz山
A2
得出
的两个下标(indexes)之定义,依序为面的方向与力的方向。
3-4式可推导得出三维空间之振动方程式
将QXX、Qyx及QZX与其对应的应变之矢系代入
如下:
其中九及卩为常数,而
宀2-■2•-2
'
、2为LaPlaCianOPerator,代一+—+—
-2-2-.2-XPy:
Z
U12Ufx
-t:
(3-5a)
以相同的方法,可以得出在y及z方向的振动方程式,若其位移量分別为v与w,
则其相对应之振动方程式可分別表示如下:
律二…I三7叩・fy(3-5b)
■:
t;
:
y
、『WJa'
2
2Wfz(3-5c)
ft;
Z
若以向量形式来统一表示3-5a、b、C式,可改写如下:
.2
U2一一
2graddivu:
匸?
2(Jf<
3-6)
其中U为位移向量,在x、y与Z方向的位移分量分別为u、V与W。
其中fx,fy,fz为体力,只有在研究震源时,才考虑该体力。
这是构成许多地震学理论基础的基本方
程,称之为连续介质方程或运动方程。
体力f通常包括重力项fg和震源项fs。
在正常模型地震
测到的典型波长范围,即在体波和面波的计算中,通常可被忽略。
在这本书后面我们将考虑震源项fs。
在没有体力的情况下,有齐次运动方程:
■U2-
2graddivUA7U(3-7)
・:
在场论中考虑到:
(3.8)
7■:
u-riu,2u
将其变为更常用的形式,即:
\IIU・Iu
将这个式子代入(3.12)得到:
-2-
2=,0graddivUI-LrOt(rotu)・:
U=,•2H11u-'
、U
上式决定了在震源区以外,地震波的传播。
解真实地球模型的上述方程是地震学的重要部分,这样的解给出了离震源某一距离的特定地点预期的地面运动,通常称为合成地震图。
3.1.3体波(纵波与橫波)之振动方程式
首先,我们考虑由介质伸缩所衍生的质点体积应变之振动方程式。
从上节所描述的
单一方向(X、y、Z)上之位移量(U、V、W)所导出的振动方程式,可以进一步地推求
体积应变■所引发的振动方程式,由'
的基本定义可以很自然的联想到分別将
以及3-4c三式分別对x、y与Z微分之后再相加,忽略体力,即可得到下式:
3-4a、3-4b
•21
其中括弧內的一■—项就是质点运动绕X轴的扭转角度。
CyCZ
参考图3-3,一个质点P(y、Z)向逆时针方向扭转到P,(y、z),扭转角度为cox,若其
扭转半径为r,根据几何尖系可得到:
y=rcos:
z=rsin:
其位移形变为
l/=-rxsin:
=_zx
w=rBxcos:
=yx
将其分別对y及Z微分且相加,得出
-zyzZ
(3-9)
其为典型之波动方程式。
根据
(3-10)
对3・8式而言,■・・4,可得出C=Vi==a
3・10可视为纵波(亦称为P波),因其质点运动方向与波的传播方向相同(如图3-4)
PartiClemotion
ARay
质点运动方向波传方向
Fig3-4
「24视为橫波(亦称为S波),因co为扭转应变,其质点的转动方向与波的传播方向成正交。
S波依其质点振动方向的不同可分为SV及SH,如图3・5所示。
SHWaVe
SVWaVe
//
波传方向
*Ray
Fig3-5
综合以上所得,在完全弹性介质中,当其受外力作用时,产生两种波相:
纵波与橫波。
由前节所述之各弹性系数的尖系'
我们可将3-10式以及3-11式写为:
Vi=
(V2<
Vi)
其他弹性系数与速度的尖系如下:
E—二M2
(3-12)
(3-13)
(3-14)
(3-15)
其中3・13式可化为
在地函內部,大部分的泊松比
若0=1/4,贝U
(3-16)
Q接近于
1/4。
V.=1.732V2
而且
L5M25M2
E二
62
..=5M25M2
93
——”=:
V,
3
若0=1/2,即介质为纯液体,则
参考弹性理
地震所产生之弹性波,穿过地球內部,藉由弹性波传播所产生的速度变化,论以及弹性系数尖系,我们可以探索地球内部的情況。
3.1.4地震波的势
位移u往往可以根据P波的标量势’和S波的矢量屮:
U=V护+VXC灯4=O(3.25)
那么有:
(3.26)
将其代入’,得到:
P
\|2・O
讥
(3.29)
P波的解由「的标量波动方程给出,S波的解由・・的矢量波动方程给出
3.3平面波
式(3.28)和(3.29)具有相同的形式,它们在直角坐标系可以
表示为:
-Z
我们用分离变量法来寻找X(X)Y(y)Z(z)T(t形式的解。
每个因子
是仅仅一个变量的函数。
由上式可得:
C2cbXC2cbYC2cbZ_1cbT
IV22—2A
XdX2Ydy2Zdz?
Tdb
这意味着是常数,令其为一•2可得:
Tdt?
同理,对于某常数kx,ky,有
dX2
dY
d^Z
dz2
dXkxx=0,x二ei嫁
+細电丫=帥
.-・HkZ
k;
ZZHe—z
=0,
2
应注意,k-2k;
・k:
,因此解可由二个量■,kx,ky,而不是
四个量来表示。
类似于一维形式的推导。
该方程可以有如下形式的通
解:
其中kx=A,ky=A,kz=匹门2+n?
+r)2=令nxxnyymz二n
CCC[r
XyZ
rixX+n『y+
F面我们看看审的物理意义。
令
nxXn『ynzZ
tConSt=
a
当t=ti时,nxxnyynzz=c(t,—a)
当t=t2时,nxxnyyirz=c(t2_a)
由平面解析几何知识可知第一式为离原点距离为c(ti-a)的平面,第二式为离原点距
们在波动方程中将其称之为速度的原
任意函数都可以写成简谐平面波叠加的形式
根据FoUrier叠加原理,可以把屋里上实际存在的平面波动,以数学形式分解成抽象的、覆盖整个频率范围的平面波的积分来表示:
由于c为波的传播速度,通常称■?
为慢度矢量。
对不同的&
・
得
到任意函数形式的平面°
波。
引进平面波的概念很有帮助。
平面波是一个位移只在波的传播方向上变化,
在与波传播方向相互垂直的方向上,位移为常数的波动方程的解。
例如,沿X轴
传播的波,位移可表达为:
(3.30)
U(x,t)=f(t
这里C是波的速度,f是任意函数(矢量函数需表达出波的偏振),这波沿
■x或・x方向传播。
位移不随y或z变化。
在丫、z方向上,波无限扩展。
如果f(t)是离散
的脉冲,那么假定u有以平面波阵面传播的位移脉冲形式。
更普遍地
说,在位置矢量X处,平面波在单位矢量S?
方向传播的位移可表达为:
u(x,t)=f(t-?
xt)
(3.31)
(3.32)
这里S=?
/c是慢度矢量,它的值是速度的倒数。
由于地震能量通常由局部的震源辐射出来,地震波阵面总有某种程度的弯曲。
然而,在离震源足够大的距离,波阵面平坦到足以使平面波的近似在局部上是正确的。
因此,许多解地震波动方程的方法总是把整个解表达为不同传播角度的平面波的和。
往往通过变换到频率域,从方程中去掉与时间的依赖矢系。
在这种情况下,可以把特定角频率■■的位移表达为:
Ux,te)2X(3.33)
=Ag)eALWx)(3.34)
这里k=-s=CS叫做波数矢量。
在这本书中,我们将用复数来表示谐波。
其详细情况在附录
k=k=o7c,频率
2中作了复习。
把谐波称为单色的平面波,有时也把它叫做调和的或稳态平面波解。
用来描述
这样的波的其他参数是波数
fV2二,周期f和波长=CT°
波数为单位长度內波的震动次数。
在波的传播过程中,某一振动状态(周相)在单位时间内传播的距离为波速C,因此波速又叫做相速。
应注意介质中各质点的振动速度和波的传播速度C是两个完全不同的概念。
振动速度由震源确定,它是周期性变化的,而波速的大小只与介质性质有矢。
将不同的谐波参数归纳于表3.1O
表3.1谐波参数
2兀
角频率oo■=2戊f-Ck
T
频
率
f
cof_丄
2二T
12”
A
周
期
T=
——
fU)
c
速
度
C=
k
±
=CT
3.4P波和S波的偏振
考虑沿X方向传播的P波,根据(328)式有:
J
(3.35
)
可以把(3.35)式的解写成:
=oU\
(3.36
这里减号相应于沿X方向传播,加号相应于沿・X方向传播。
因为「,故有:
UX=x:
Uy=O
(3.37
uz=o
注意对沿X方向传播的平面波,在y和Z方向没有变化,所以空间导数;
y和rZ为零。
对P波仅在沿X轴波的传播方向上有位移。
这样的波叫做纵波。
而且因为'
・0,运动是不旋转的,或“无旋”的。
由于P波使介质体积发生变化,
所以P波也叫“压缩”波或“膨胀”波。
然而,要注意的是P波包括剪切和压缩,这是为什
运动可以用图3.2来说明。
图3.2沿页面水平传播的谐振平面P波(上面)和S波(下面)的位移。
S波纯剪切,没有体积变化。
而P波包括材料体积的变化和剪切
(形状变化)。
相对于地球实际的应变,这里应变被放大。
现在考虑沿正X方向传播的S波,矢量势为:
W-糸/(3-38)
位移为:
Uxrwx屮?
TZ=O
UyA“JZ-X=JZUZhM>八Z=JX-:
T厂・■这里我们再(3.39)
用7=0,即给出:
(3.40)
运动在y和z方向,垂直于传播方向。
s波的实际运动往往可以分成两个分量:
在含传播矢量的垂直面里的运动(SV波)和取向与这个面垂直的水平运动(SH波)。
因为可(7=习0乂屮)=0,运动是纯剪切的,没有任何的体积变化(因此
叫做剪切波)。
在垂直方向偏振的剪切谐波(SV波)的质点运动如图3.2所示
3.5球面波
如果我们假定球对称,P波势中的标量波动方程(3.28)就可能有另外的解。
(3.41)
(3.42)
(3.43)
在球坐标系里,拉普拉斯方程为:
于忆)二丄£
〔『空】
rJr_:
r
因为球对称,这里去掉角的偏导数,由表达式(3.28),即得到:
1,一」L_0
r2o:
r:
2;
t2
在点r=0以外,方程的解可表达为:
f%士)r,t
注意到除了丄因子外,这与平面波方程(3.30)是相同的。
分别用+和■号表示向
所以在正常
内和向外传播的波。
因为这个表达式通常用来模拟从点源辐射的波,
情况下,1项表示波的振幅随距离衰减的几何扩散因子,在第6章将进一步的探
讨。
在r=0时,(3.43)不是方程(3.42)的正确的解。
然而,这表明(例如Aki
和RiChardS,4.1节),(3.43)可能是以下非齐次方程的解:
【2|■二2=—ft
(3.44
a?
建2
这里r函数在r=0以外的任何地方都为零,它的体积积分为1。
因子
4二lrft表示在震源时间函数。
在第9章讨论震源理论时,我们将回到这个方程上来。
平面波的反射和折射
地壳及地球内部是成层结构,内部有不少分界面。
地表也可看作一个界面,震源在各向同性的均匀介质中产生的地震波波阵面是成球形的一层一层向外传播,称为球面波。
因此,严格来讲,我们应该讨论球面波遇到分界面时的情况。
但当距离震源足够远时,也就是说震源到接
收点的距离比波长大得多时,作为一
种近似,可讨论平面波在分界面上的行为。
同时当「:
「(,为分界面的曲率半径),也可以将分界面看作平面,这样可使讨论大大简化而不影响对许多现象本质的揭示。
同时,球面波在理论上可以看作是许多不同方向的均匀或不均匀的平面波的叠加,因而先弄清了平面波在分界面上的行为,也比较容易讨论球面波在分界面的行为。
P波、SV波
设平面波(指均匀的平面波)的传播方向在XZ平面内,传播方向就是波阵面的法线方向,波的位移场可以表示为:
U=Up・Us八■(P
(1)
其中「满足压缩波的波动方程,满足剪切波的波动方程.
由于均匀平面波波阵面上的'
‘X,V,'
z为常数,而这里平面波传播方向在XZ
平面内,因此垂直于XZ平面的直线上的各点必在同一波阵面内,也就是:
CCPMX选二邑=0
y・y;
y7y
P波产生的位移为:
Up=(Upx=tX
ex
Vp=Upy=O
Wp=Upz=—
GZ
弓p=2Fzy,
.-z
SV波的位移
yu刖z魂
usv=usx:
Vsv=UsyX
Wsv=Usz
zx
IEZCX丿・T+TCZCKJ
-ZXSVcZySVAJeZy->
将上面两式代入
(1)式得:
砂C屮
U=UpUs_=
Ty云
V=VpVsX[z
W=WpWs
-Z-X
分析界面条件,界面应力为:
ozy=2•bzy二」|—丁—=l—
cy)cz
界面条件为界面两边应力相等,位移连续,即:
•-zz=TZZX=-ZZXZy=zy*
U=u*,V=v'
W=w'
分析位移场在y方向的分量v,v=vP乂二乂,也就是u全部为横波场的分量。
再由界面应力条件看,u只出现匚冷的表达式中,而u,w只出现在二zzqzx的表达式中。
因此,
SH波和P-SV波产生的波场是分离的。
地球表面是一个特殊的分界面,它将无限介质划分为两个半空间,地面以上空气介质,其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。
地球表面可以看成是一个弹性半空间表面,表面下面视为理想弹性介质,表面上面为空气,这种界面称为自由界面,自由界面上的应力作用为零。
本节中将介绍弹性波在自由表面上的反射。
P波在自由界面的反射
SV%(AJ
如图所示,取XOy平面为自由表面,设有一P波自下部介质入射到自由表面上,由于自由表面以上不存在介质,所以当波遇到自由表面时,只可能折回到原来的介质,而不会透过它,即只存在反射被而不存在透射波。
当P波入射到自由表面上时,为满足自由表面处的边界条件,反射波中会同时产生P波和SV波两
种成分,此时,SV波称为转换波。
但是‘由于SH波的振动方向与P被和SV
设入射P波为平面简谐波,入射面为XoZ平面,法线为Z轴,入射P波的入射角为id,
反射SV波的反射角为is,由图中各波的传播方向与坐标轴方向的矢系,它们的波函数可以写
Be©
/)
式中,
由边界条件可知,在Z=o处,方程为时5乙肩®
」“詬屮叫声的线性
组合(其中由于z=O,指数因子中的Z因子全为零)。
所以必有kx=kx=kx,因此必有:
Sinid_SinidSinL
这就是Snell定律,回忆一下几何光学,可见上式与几何光学中的折射定律和反射定律完全一致,这是由于它们在本质上(波动性)有相同之处。
而折射反射定律正是反映了物质的波动相矢的一种规律。
在光学中是从光学实验或惠更斯原理得到了折射反射定律,而这里我们从波动方程和边界条件出发也得到了它。
我们在以后的推导中令上式为常数PO
则波函数可以写为:
icoft_px;
心}iQ^t-px—n-z|
*=Ae<
a>
2=A2elaby=Be卩
则:
Up二-iQp®
Wp=Up[
P波产生的应力为
2CO
z
2.
222CQSId
2•
2CQSId:
Ct
SACQSJA+2kcosdd〔
ot
p/..~~艺cos2id2sin2id_2、sirvid
OE
Tpl-SirvisJp?
根据边界条件,可得:
对于正应力:
cz
对于剪应力:
将入射波反射波的势的表达式代入可得:
2P2(A,+A2)+2PP2pcQ尹B=O
2Pppcosk(A・AAP(1・2BpB=0
2CoSId
B2PPAx
由第二个式子可得:
B=—詁』竺,代入第一式得到折射系数:
Ai(1—20P)IAi丿
4p2cosiscosid_i・2十22
反射系数为:
4.2pCOSAA22p2
Ai
可得到:
俨sin2idSin2is■口2cos22ispzsin2idSin2is+^cos^is—2“Sin2idCOs2is
不具有实际物理意义,下面讨论作为位
2Sin2idSin2isn.t2COS22is
位移位的振幅并不表示质点的振幅,移振幅比的反射系数。
对于稳态传播的P波,位移振幅为:
势振幅一;
对于稳态传播的S波振幅CL
为:
势振幅二。
我们可以举例说明上面的式子成立‘如对于上面所表示的入射波:
=upx=
VP=UPy=O
.cosL
Wp=upz=T■
其合成振幅为:
JUp2+WP2-詈忆
对于上面提到的SV波:
•y
.z
d-i-py
y|Usv|+WSV=可Oy
由此可知,入射P波在做自由界面上的反射P波位移反射系数与势反射系
数相同,而反射SV波的反射系数为势反射系数的I倍,即
a2_p2sin2idSin2is-a2cos2isa,俨sin
2idSin2is+a2COS22isb・2:
八
*sin2idcos2is
a,:
^Sin2idSin2is]cos^L
假定SV波入射到自由表面上,其势振幅为A,入射角为is,反射SV波的势
振幅为B
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- 地震 波动 方程