金山中学高三数学上学期期中试题理科附答案.docx
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金山中学高三数学上学期期中试题理科附答案
2014-2015学年金山中学高三数学上学期期中试题(理科附答案)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合,,则=()A.B.C.D.2.已知角的终边均在第一象限,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数周期为,其图像的一条对称轴是,则此函数的解析式可以是()A.B.C.D.4.设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是()A.B.C.D.5.方程的根存在的大致区间是()A. B.C.D.6.已知向量的夹角为,且,,则()A.B.C.D.7.已知函数,若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是()A. B.C.D.8.设向量,,定义一种向量积:
.已知向量,,点P在的图象上运动,点Q在的图象上运动,且满足(其中O为坐标原点),则在区间上的最大值是()A.2B.C.D.4
第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:
(本大题共7小题,作答6小题,每小题5分,共30分.)
(一)必做题(9~13题)9.函数的定义域为。
10.图中阴影部分的面积等于.11.已知函数在是单调函数,则实数的取值范围是。
12.如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是.
13.已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立,则实数的取值范围为。
(二)选做题(14、15题,只能从中选做一题,两题都选只计算14题得分)14.(几何证明选讲选做题)如图,PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,,则=。
15.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为,曲线C的参数方程为(为参数),则点M到曲线C上的点的距离的最小值为。
三、解答题:
(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
0
000
(1)请写出上表的、、,并直接写出函数的解析式;
(2)将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象,、分别为函数图象的最高点和最低点(如图),求的大小.
17.(本小题满分12分)设函数
(1)求的最大值,并写出使取最大值时的集合;
(2)已知中,角的对边分别为若,求的最小值。
18.(本小题满分14分)已知函数,,图象与轴异于原点的交点处的切线为,与轴的交点处的切线为,并且与平行。
(1)求的值;
(2)已知实数,求的取值范围及函数的最值。
19.(本小题满分14分)已知数列的前项和为,且。
(1)求数列的通项公式;
(2)数列中,令,,求;(3)设各项均不为零的数列中,所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。
令(为正整数),求数列的变号数.
20.(本小题满分14分)如图,已知抛物线的准线为,焦点为,圆的圆心在轴的正半轴上,圆与轴相切,过原点作倾斜角为的直线,交直线于点,交圆于不同的两点,且。
(1)求圆和抛物线的方程;
(2)若为抛物线上的动点,求的最小值;(3)过直线上的动点向圆作切线,切点分别为,求证:
直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.21.(本小题满分14分)已知函数,,是常数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)若函数图象上的点都在第一象限,试求常数的取值范围;(3)证明:
,存在,使.
汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试理科数学参考答案
(2)将的图像沿轴向右平移个单位得到函数……………………7分因为、分别为该图像的最高点和最低点,所以…………………………8分所以…………………………………………………………………………………9分……………………………………………………………………………………………10分…………………………………………………………………11分所以……………………………………………………………………………………………12分
法2:
法3:
利用数量积公式,。
17.(本小题满分12分)解:
(1)……………………………………………………3分的最大值为…………………………………………………………………………………4分要使取最大值,故的集合为……………………………………………………………6分注:
未写“”扣1分;结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.
(2)由题意,,即化简得……………………………………………………………………………8分,,只有,………………………9分在中,由余弦定理,………………………10分由知,即,……………………………………………………11分当时,取最小值………………………………………………………………………12分注:
不讨论角的范围扣1分.
18.(本小题满分14分)解:
(1)图象与轴异于原点的交点,……………………1分图象与轴的交点,………………………3分由题意可得,即………………………………………………………4分,…………………………………………………………………………………………5分∴,…………………………………………………………6分
(2),当时,,……………………………………………7分∴在单调递增,………………………………………………………8分图象的对称轴,抛物线开口向上…………………………10分由有,即函数在上单调递增………………………………………11分………………………………………………………………………………12分……………………………………………………………………13分综上:
当时,;…………………………14分
19.(本小题满分14分)解:
(1),∴………………………………………………………………1分又当时,………………………………………………………………3分所以……………………………………………………………………4分
(2)∵,∴,………………………………………………………5分………………………………………………………………6分,∴…………………9分(3)解法一:
由题设……………………………………………………10分∵时,,∴时,数列递增…………………………………………………………………………12分∵,由,可知,即时,有且只有个变号数;又∵,即,∴此处变号数有个.……………13分综上,数列共有个变号数,即变号数为。
…………………………………………14分解法二:
由题设……………………………………………………………10分时,令;又∵,∴时也有.…………………………………………………13分综上得:
数列共有个变号数,即变号数为。
…………………………………14分
20.(本小题满分14分)
21.(本小题满分14分)解:
(1)……………………………………………………………………1分,……………………………………………………………………2分函数的图象在点处的切线为,即……………………………………………………………………………………4分
(2)①时,,因为,所以点在第一象限,依题意,…………………………………………………………………………5分②时,由对数函数性质知,时,,,从而“,”不成立………………………………………………………………6分③时,由得,设,
-
�K极小值�J
,从而,……………………………8分综上所述,常数的取值范围…………………………………………………………9分(3)直接计算知…………………………………………………10分设函数…………………………………11分,当或时,,因为的图象是一条连续不断的曲线,所以存在,使,即,使;…………………………………………………………………………12分当时,、,而且、之中至少一个为正,由均值不等式知,,等号当且仅当时成立,所以有最小值,且,此时存在(或),使。
…………………13分综上所述,,存在,使…………………………14分
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