重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题.docx
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重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题
2019重庆中考数学题位复习系统之
几何图形折叠问题
典例剖析
例1(2018•重庆)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为 6+4 厘米.
【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可.
【解答】解:
∵把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,
∴BE=AE,AG=GC,
∵∠AGE=30°,AE=EG=2厘米,
∴AG=6,
∴BE=AE=2,GC=AG=6,
∴BC=BE+EG+GC=6+4,
故答案为:
6+4,
【点评】此题考查翻折问题,关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答.
例2(2018•重庆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,计算AE的长度等于 .
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长.
【解答】解:
由题意可得,
DE=DB=CD=AB,
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB,
∵DE∥AC,∠DCE=∠DCB,∠ACB=90°,
∴∠DEC=∠ACE,
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°,
∴∠ACD=60°,∠CAD=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴AC=CD,
∴AC=DE,
∵AC∥DE,AC=CD,
∴四边形ACDE是菱形,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,∠B=30°,
∴AC=,
∴AE=.
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
跟踪训练
1.(2018•阜新)如图,将等腰直角三角形ABC(∠B=90°)沿EF折叠,使点A落在BC边的中点A1处,BC=8,那么线段AE的长度为 5 .
【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E,可设AE=A1E=x,则BE=8﹣x,且A1B=4,在Rt△A1BE中,利用勾股定理可列方程,则可求得答案.
【解答】解:
由折叠的性质可得AE=A1E,
∵△ABC为等腰直角三角形,BC=8,
∴AB=8,
∵A1为BC的中点,
∴A1B=4,
设AE=A1E=x,则BE=8﹣x,
在Rt△A1BE中,由勾股定理可得42+(8﹣x)2=x2,解得x=5,
故答案为:
5.
【点评】本题主要考查折叠的性质,利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键,注意勾股定理的应用.
2.(2018•崇明县二模)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D是BC的中点,将△ABD,将△ABD沿AD翻折得到△AED,联结CE,那么线段CE的长等于 .
【分析】如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.首先证明AD垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形,求出BC、BE,在Rt△BCE中,利用勾股定理即可解决问题.
【解答】解:
如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中,∵AC=8,AB=6,
∴BC==10,
∵CD=DB,
∴AD=DC=DB=5,
∵BC•AH=AB•AC,
∴AH=,
∵AE=AB,
∴点A在BE的垂直平分线上.
∵DE=DB=DC,
∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形,
∴AD垂直平分线段BE,
∵AD•BO=BD•AH,
∴OB=,
∴BE=2OB=,
在Rt△BCE中,EC===,
故答案为
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用面积法求高,属于中考常考题型.
3.(2018•马鞍山二模)如图,△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,将△ABC折叠,使A点落在BC的中点A'处,折痕分别交边AB、AC于点D、点E,则AD= .
【分析】连接AA′交DE于点M,过点A′作A′N⊥AB于点N,根据折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质可求出AD的长度.
【解答】解:
连接AA′交DE于点M,过点A′作A′N⊥AB于点N,如图所示.
∵AC=BC=4,∠C=90°,A′为线段BC的中点,
∴A′C=A′B=2,A′N=BN=,AA′==2,AB=4,
∴AN=AB﹣BN=3.
∵将△ABC折叠,使A点落在BC的中点A'处,折痕分别交边AB、AC于点D、点E,
∴AM=AA′=.
∵∠DAM=∠A′AN,∠AMD=∠ANA′=90°,
∴△ADM∽△AA′N,
∴=,即=
∴AD=.
故答案为.
【点评】本题考查了折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质,证明△ADM∽△AA′N是解题的关键.
4.(2018•沙坪坝区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,连结CD,将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,连结AE.若AC=6,CD=5,则线段AE的长为 .
【分析】连接BE,延长CD交BE与点H,作CF⊥AB,垂足为F.首先证明DC垂直平分线段BE,△ABE是直角三角形,利用三角形的面积求出EH,得到BE的长,在Rt△ABE中,利用勾股定理即可解决问题.
【解答】解:
如图,连接BE,延长CD交BE与点H,作CF⊥AB,垂足为F.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,CD=5,
∴AD=DB=CD=5,AB=10.
∵AC=6,
∴BC==8.
∵S△ABC=AC•BC=AB•CF,
∴×6×8=×10×CF,解得CF=.
∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,
∴BC=CE,BD=DE,
∴CH⊥BE,BH=HE.
∵AD=DB=DE,
∴△ABE为直角三角形,∠AEB=90°,
∴S△ECD=S△ACD,
∴DC•HE=AD•CF,
∵DC=AD,
∴HE=CF=.
∴BE=2EH=.
∵∠AEB=90°,
∴AE===.
故答案为.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),直角三角形斜边上的中线的性质,勾股定理,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用面积法求高,属于中考常考题型.
5.(2018•双滦区一模)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为 108 度.
【分析】连接OB、OC,根据角平分线的定义求出∠BAO,根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判断出点O是△ABC的外心,根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等角求出∠COE,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【解答】解:
如图,连接OB、OC,
∵∠BAC=54°,AO为∠BAC的平分线,
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣54°)=63°,
∵DO是AB的垂直平分线,
∴OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=27°,
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°,
∵AO为∠BAC的平分线,AB=AC,
∴△AOB≌△AOC(SAS),
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上,
又∵DO是AB的垂直平分线,
∴点O是△ABC的外心,
∴∠OCB=∠OBC=36°,
∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,
∴OE=CE,
∴∠COE=∠OCB=36°,
在△OCE中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°.
故答案为:
108.
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,难度较大,作辅助线,构造出等腰三角形是解题的关键.
6.(2018•盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,点M、N分别在线段AC、AB上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为 或 .
【分析】依据△DCM为直角三角形,需要分两种情况进行讨论:
当∠CDM=90°时,△CDM是直角三角形;当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角形,分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质,即可得到折痕MN的长.
【解答】解:
分两种情况:
①如图,当∠CDM=90°时,△CDM是直角三角形,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,
∴∠C=30°,AB=AC=,
由折叠可得,∠MDN=∠A=60°,
∴∠BDN=30°,
∴BN=DN=AN,
∴BN=AB=,
∴AN=2BN=,
∵∠DNB=60°,
∴∠ANM=∠DNM=60°,
∴∠AMN=60°,
∴AN=MN=;
②如图,当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角形,
由题可得,∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,
∴∠BDN=60°,∠BND=30°,
∴BD=DN=AN,BN=BD,
又∵AB=,
∴AN=2,BN=,
过N作NH⊥AM于H,则∠ANH=30°,
∴AH=AN=1,HN=,
由折叠可得,∠AMN=∠DMN=45°,
∴△MNH是等腰直角三角形,
∴HM=HN=,
∴MN=,
故答案为:
或.
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键.折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
7.(2018•乌鲁木齐)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为 3或 .
【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的性质得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论:
当∠AFB′=90°时,则∴BF=cos30°=,则EF=﹣(4﹣x)=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2(x﹣),解方程求出x得到此时AE的长;当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则B′H=(4﹣x),EH=(4﹣x),接着利用勾股定理得到(4﹣x)2+[(4﹣x)+2]2=x2,方程求出x得到此时AE的长.
【解答】解:
∵∠C=90°,BC=2,AC=2,
∴tanB===,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=4,
∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F
∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,
设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,
当∠AFB′=90°时,
在Rt△BDF中,cosB=,
∴BF=cos30°=,
∴EF=﹣(4﹣x)=x﹣,
在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°,
∴EB′=2E
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- 重庆 中考 数学题 复习 系统 几何图形 折叠 问题