中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明1Word格式文档下载.docx
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(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD关于点O中心对称,
∵点A(-4,2),B(-1,-2),
∴点C(4,-2),D(1,2).
(2)线段AB到线段CD的变换过程是:
绕点O旋转180°
(或向右平移5个单位).
(3)由
(1)得:
点A到y轴距离为4,点D到y轴距离为1,点A到x轴距离为2,点B到x轴距离为2,
∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积,
∴S▱ABCD=5×
4=20.
4.如图,在▱ABCD中,若AB=6,AD=10,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长.
(第4题图)
(第4题图解)
如解图,∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC=6,AD=BC=10,AB∥DC.
∵AB∥DC,
∴∠1=∠3,
又∵BF平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴BC=CF=10,
∴DF=CF-DC=BF-DC=10-6=4.
二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
(第5题图)
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=
x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.
四边形ABCD是矩形.
(第5题图解)
如解图,过点E作EF⊥AB于点F.
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
在△ABE和△CDE中,
∴△ABE≌△CDE,
∴AE=CE.
又∵BE=DE,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD=4.
∵点A(2,n),B(m,n)(m>
2),
∴AB∥x轴,∴CD∥x轴.
∴m=6.
∴n=
×
6+1=4.
∴点A(2,4),B(6,4).
∵△AEB的面积是2,∴EF=1,
∵▱ABCD的面积为△ABE的面积的4倍,
∴S▱ABCD=8,
∴▱ABCD的高为2.
∵q<
n,∴q=2.
∴DA⊥AB,
∴四边形ABCD是矩形.
6.如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连结CE.
四边形BECD是矩形.
(第6题图)
∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,AD=CD.
∵四边形ABED是平行四边形,
∴BE∥AD,BE=AD,
∴BE綊CD,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°
,
∴▱BECD是矩形.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN.
(1)求证:
∠PNM=2∠CBN.
(2)求线段AP的长.
(第7题图)
(第7题图解)
(1)∵四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点,
∴MN∥BC,
∴∠CBN=∠MNB,
∵∠PNB=3∠CBN=∠MNB+∠PNM,
∴∠PNM=2∠CBN.
(2)如解图,连结AN.
根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN,
∵MN∥AD,
∴∠PAN=∠ANM.
由
(1)知∠PNM=2∠CBN,
∴∠PAN=∠PNA,
∴AP=PN.
∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点,
∴DN=2.
设AP=x,则PD=6-x,
在Rt△PDN中,∵PD2+DN2=PN2,
∴(6-x)2+22=x2,解得x=
.
∴AP=
8.如图,在矩形ABCD中,点F是CD的中点,连结AF并延长交BC延长线于点E,连结AC.
△ADF≌△ECF.
(2)若AB=1,BC=2,求四边形ACED的面积.
(第8题图)
(1)证明:
∵F是CD中点,
∴DF=CF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,即AD∥CE.
∴∠ADF=∠ECF,
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(ASA).
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,AB=CD=1,CD⊥AD.
由
(1)知,△ADF≌△ECF.
∴AD=CE.
又∵AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴四边形ACED的面积=AD·
DC=2.
9.如图①,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;
∠ACB=∠DCE=90°
,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于点M,H.
(第9题图)
CF=CH.
(2)如图②,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°
时,试判断四边形ACDM是什么四边形?
并证明你的结论.
∵AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°
在△BCF和△ECH中,
∴△BCF≌△ECH(ASA).
∴CF=CH.
(2)四边形ACDM是菱形.
∵∠ACB=∠DCE=90°
,∠BCE=45°
∴∠1=∠2=45°
∵∠E=45°
∴∠1=∠E,
∴AC∥DE.
∵∠ACD=90°
+45°
=135°
∴∠A+∠ACD=45°
+135°
=180°
∴AM∥CD.
∴四边形ACDM是平行四边形.
∵AC=CD,
∴四边形ACDM是菱形.
(第10题图)
10.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE∥AC,CE∥BD.
四边形OBEC是矩形.
(2)若菱形ABCD的周长是4
,tanα=
,求四边形OBEC的面积.
∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
∴AC⊥BD.
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°
∴四边形OBEC是矩形.
(2)∵菱形ABCD的周长是4
∴AB=BC=AD=DC=
∵tanα=
∴设CO=x,则BO=DO=2x,
∴x2+(2x)2=(
)2,
解得x=
(负值舍去),
∴四边形OBEC的面积为
2
=4.
(第11题图)
11.如图,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连结CE,过点C作CF∥BA交PQ于点F,连结AF.
△AED≌△CFD.
(2)求证:
四边形AECF是菱形.
(3)若AD=3,AE=5,则菱形AECF的面积是多少?
(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE,AD=CD.
∵CF∥AB,
∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,
在△AED与△CFD中,
∴△AED≌△CFD(AAS).
(2)∵△AED≌△CFD,
∴AE=CF,
∵EF为线段AC的垂直平分线,
∴EC=EA,FC=FA,
∴EC=EA=FC=FA,
∴四边形AECF为菱形.
(3)∵四边形AECF为菱形,
∴AC⊥EF.
∵AD=3,AE=5,
∴根据勾股定理,得ED=4,
∴EF=8,AC=6,
∴S菱形AECF=8×
6÷
2=24,
∴菱形AECF的面积是24.
(第12题图)
12.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线F,且AF=BD,连结BF.
BD=CD.
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD为正方形(写出条件即可,不要求证明)?
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE.
∵E是AD的中点,
∴DE=AE.
在△AEF与△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=DC.
∵AF=BD,
∴BD=CD.
(2)四边形AFBD为矩形,证明如下:
∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形AFBD为平行四边形.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠BDA=90°
∴四边形AFBD为矩形.
(3)AB=AC,且∠BAC=90°
13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AG∥BC,交DE于点G,连结AF,CG.
(第13题图)
AF=BF.
(2)如果AB=AC,求证:
四边形AFCG是正方形.
(1)∵AD=CD,点E是边AC的中点,
∴DE⊥AC.
即得DE是线段AC的垂直平分线.
∴AF=CF.
∴∠FAC=∠ACB.
在Rt△ABC中,由∠BAC=90°
得∠B+∠ACB=90°
,∠FAC+∠BAF=90°
∴∠B=∠BAF.
∴AF=BF.
(2)∵AG∥CF,∴∠AGE=∠CFE.
又∵点E是边AC的中点,∴AE=CE.
在△AEG和△CEF中,
∴△AEG≌△CEF(AAS).
∴AG=CF.
又∵AG∥CF,
∴四边形AFCG是平行四边形.
∵AF=CF,
∴四边形AFCG是菱形.
在Rt△ABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF.
即得点F是边BC的中点.
又∵AB=AC,
∴AF⊥BC,即得∠AFC=90°
∴四边形AFCG是正方形.
14.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
PC=PE.
(2)求∠CPE的度数.
(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°
时,连结CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
(第14题图)
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°
在△ABP和△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC.
∵PA=PE,
∴PC=PE.
(2)由
(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP.
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E.
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°
-∠CFP-∠PCF=180°
-∠DFE-∠E,
即∠CPE=∠EDF=90°
(3)AP=CE.理由如下:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC,∠ABP=∠CBP,∠ADC=∠ABC=120°
,∠BAD=∠BCD.
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP.
∴PC=PE,
即∠CPF=∠EDF=180°
-∠ADC=180°
-120°
=60°
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
15.在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于A,B,在△AOB内部作正方形,使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上,求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标.
分两种情况;
①如解图①,令x=0,则y=3,令y=0,则x=3,
∴OA=OB=3,
∴∠BAO=45°
∵DE⊥OA,
∵四边形COED是正方形,
∴OE=DE,
∴OE=AE,
∴OE=
OA=
∴点E(
,0).
(第15题图解)
②如解图②,由①知△OFC,△EFA是等腰直角三角形,
∴CF=
OF,AF=
EF.
∵四边形CDEF是正方形,
∴EF=CF,
∴AF=
OF=2OF,
∴OA=OF+2OF=3,
∴OF=1,
∴点F(1,0).
∴正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为(
,0)或(1,0).
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