一轮复习物理 第五章 第五讲 匀速圆周运动的向心力离心现象Word格式文档下载.docx
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A.线速度不变B.角速度不变C.加速度为零D.周期不变
二.用牛顿第二定律求解圆周运动问题的基本方法:
(1)明确研究对象
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面,找出圆心和半径(圆心一定在轨道平面内)(3)对研究对象进行受力分析,明确向心力的来源。
(4)根据向心力公式及牛顿第二定律求解,用合成法(两个力,做匀速圆周运动)或正交分解法(沿半径和切线方向)列式求解。
【例2】如图所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动,则:
()
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
分析和解答:
正确答案是A、B。
解题步骤:
第一步:
①研究对象为A、B;
②两球轨道平面均是水平的;
③它们的圆心均在轴线上;
④它们的向心力均在各自的水平轨道平面指向各自圆心。
第二步受力分析:
小球A和B的受力分析如图所示:
第三步列方程:
由于A、B球的向心力都来自重力mg和支持力N的合力F(即是N指向圆心方向的分力),由图得:
故:
(两球向心力相等)比较线速度时,选用
分析得:
大,
一定大,A答案正确;
比较角速度时,选用
一定小,B答案正确;
比较周期时,选用
C大案错误;
由图可知,A、B两球的支持力N都等于
,故D答案错误。
【练2】如图所示,已知水平杆长L1=0.1米,绳长L2=0.2米,小球m的质量m=0.3千克,整个装置可绕竖直轴转动,当该装置以某一角速度转动时,绳子与竖直方向成30°
角.g取10m/s2,求:
(1)试求该装置转动的角速度;
(2)此时绳的张力是多大?
三、水平面内圆周运动中的临界问题:
【例3】如图所示,细绳一端系着质量m′=0.6kg的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3kg的物体,m′的重心与圆孔距离为0.2m,并知m′和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围,m会处于静止状态.(取g=10m/s2)
[解析] 要使m静止,m′也应与平面相对静止,而m′与平面静止时有两个临界状态:
当ω为所求范围最小值时,m′有向着圆心运动的趋势,水平面对m′的静摩擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2N。
此时,对m′运用牛顿第二定律,有T-fmax=m′ωr,且T=mg
解得ω1=2.9rad/s。
当ω为所求范围最大值时,m′有背离圆心运动的趋势,水平面对m′的静摩擦力的方向向着圆心,大小还等于最大静摩擦力2N。
再对m′运用牛顿第二定律,有T+fmax=m′ωr,且T=mg
解得ω2=6.5rad/s。
所以,题中所求ω的范围是:
2.9rad/s<
ω<
6.5rad/s.
题后反思:
一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态.最大静摩擦力的方向与物体的相对运动趋势方向有关,当角速度最小时,有向着圆心的方向运动的趋势,当角速度达到最大的时候,有远离圆心的方向运动的趋势,因此出现了极值情况.
【练3】:
如图所示,两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球,两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处,上面绳AC长L=2m,当两绳都拉直时,与轴的夹角分别为30°
和45°
,求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s时,上下两轻绳拉力各为多少?
【针对练习】
1、甲、乙两名滑冰运动员,
,
,面对面拉着弹簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演,如图5所示,两人相距0.9m,弹簧秤的示数为92N,摩擦不计,下列判断中正确的是()
A.两人的线速度相同,约为40m/s
B.两人的角速度相同,约为2rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3m,乙为0.6m
2.质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中,由于摩擦力的作用使得石块的速度大小不变,如图所示,那么()
A.因为速率不变,所以石块的加速度为零
B.石块下滑过程中受的合外力越来越大
C.石块下滑过程中的摩擦力大小不变
D.石块下滑过程中的加速度大小不变,方向始终指向球心
3.一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动,圆盘半径为R。
甲、乙物体质量分别是M和m(M>
m),它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的
倍,两物体用一根长为
的轻绳连在一起。
若将甲物体放在转轴位置上,甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直,要使两物体与圆盘间不发生相对滑动,则转盘旋转角速度的最大值不得超过(两物体均看作质点)()
A.
B.
C.
D.
4.如图4-2-4所示,放置在水平地面上的支架质量为M,支架顶端用细线拴着的摆球质量为m,现将摆球拉至水平位置,而后释放,摆球运动过程中,支架始终不动.以下说法正确的是( )
A.在释放瞬间,支架对地面压力为(m+M)g
B.在释放瞬间,支架对地面压力为Mg
C.摆球到达最低点时,支架对地面压力为(m+M)g
D.摆球到达最低点时,支架对地面压力为(3m+M)g
5.如图4-2-5所示,将一单摆拉到摆线呈水平位置后静止释放,在P点有钉子阻止OP部分的细线移动,当单摆运动到此位置受阻时( )
A.摆球的线速度突然增大 B.摆球的角速度突然增大
C.摆球的向心加速度突然增大D.摆线的张力突然增大
6.质量为M的物体,用细线通过光滑水平平板中央的光滑小孔,与质量为m1、m2的物体相连,如图4-2-6所示,M做匀速圆周运动的半径为r1,线速度为v1,角速度为ω1.若将m1和m2之间的细线剪断,M仍做匀速圆周运动,其稳定后的半径为r2,线速度为v2,角速度为ω2,则下列关系正确的是( )
B. r2>r1,ω2<ω1
7.飞行员的质量为m,驾驶飞机在竖直平面内以速度v做半径为r的匀速圆周运动在轨道的最高点和最低点时,飞行员对座椅的压力( )
A.是相等的B.相差
C.相差
D.相差2mg
8.如图4-2-7所示,甲、乙两水平圆盘紧靠在一块,甲圆盘为主动轮,乙靠摩擦随甲转动无滑动.甲圆盘与乙圆盘的半径之比R甲/R乙=3.两圆盘和小物体m1、m2之间的摩擦因数相同,m1距O点为2r,m2距O′点为r,当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时( )
A.滑动前,m1与m2的角速度之比ω1∶ω2=3∶1
B.滑动前,m1与m2的向心加速度之比a1∶a2=1∶3
C.随转速慢慢增加,m1先开始滑动
D.随转速慢慢增加,m2先开始滑动
1
2
3
4
5
6
7
8
四、竖直平面内圆周运动的临界问题
(1)绳模型和内轨道模型:
没有物体支撑的小球,在绳和轨道的约束下,在竖直平面做圆周运动过最高点的情况:
①临界条件:
绳子或轨道对小球刚好没有力的用
mg=m
V临界=
。
②能过最高点的条件:
v≥
,当v>
时,绳对球产生向下的拉力,轨道对球产生向下的压力。
③不能过最高点的条件:
v<V临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)
(2)杆模型和管模型:
球过最高点时:
①临界速度v=0,FN=mg(FN为球受到的向上的支持力)
②当0<v<
时,FN随v增大而减小,且mg>FN>0,FN为球受到的向上的支持力。
③当v=
时,FN=0。
④当v>
时,FN为球受到的向下的拉力或外轨道向下的压力,FN随v的增大而增大。
特别注意:
绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同,其原因主要是:
“绳”不能支持物体,而“杆”既能支持物体,又能拉物体;
对绳模型来说是能否通过最高点的临界条件,而对杆来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)、拱形桥
汽车在凸形桥的最高点时,谁提供向心力?
请写出对应的表达式:
(设桥的半径是r,汽车的质量是m,车速为v,支持力为FN)
①支持力FN________重力mg
②v越大,则压力_________,当v=________时,压力=0。
汽车在凹形桥的最低点时,谁提供向心力?
,请写出对应的表达式:
(设桥的半径是r,汽车的质量是m,车速为v,支持力为FN)。
①支持力FN________重力mg②v越大,则压力_________。
【例4】如图所示,水平轨道AB与位于竖直面内半径为R的半圆形光滑轨道BCD相连,半圆形轨道的BD连线与AB垂直,质量为m的可看作质点的小滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止开始向左运动,到达水平轨道的末端B点时撤去外力,小滑块继续沿半圆形轨道运动,且恰好能通过轨道的最高点D,滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到A点,已知重力加速度为g,求:
(1)滑块通过D点的速度大小;
(2)滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道压力的大小;
(3)滑块在AB段运动过程中的加速度大小。
解析:
(1)设滑块通过最高点的速度为
,由牛顿第二定律有:
解得:
(2)滑块自B点到D点的过程中机械能守恒,设其在B点的速度为
,则有:
,解得:
设其经过B点进入圆形轨道是所受的支持力为
,根据牛顿第二定律有:
解得:
即对轨道的压力为
(3)对于滑块自D点平抛到A点,设其时间为t,则有
可解得
设其从A到B的过程中加速度为a则有
【练4】一质量为m的金属小球拴在长为L的细线下端,细线上端固定在O点处,在悬点O的正下方P处钉有一光滑钉子,如图13所示.现将小球拉至悬线水平,然后释放.为使悬线碰到钉子后,小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动,则OP的最小距离是多少?
五、离心运动
1.定义:
做_____运动的物体,在合力_________或者_______提供圆周运动所需的向心力的情况下,就做逐渐_____圆心的运动.
2.原因:
做圆周运动的物体,由于本身的_____,总有沿着圆周______方向飞出去的倾向.
3.供需关系与运动:
如图所示,F为实际提供的向心力,则
(1)当_________时,物体做匀速圆周运动;
(2)当______时,物体沿切线方向飞出;
(3)当________时,物体逐渐远离圆心;
(4)当_________时,物体逐渐靠近圆心.
物体做离心运动是受到了离心力的作用吗?
4、在实际中,有一些利用离心运动的机械,这些机械叫做离心机械。
离心机械的种类很多,应用也很广。
例如,离心干燥(脱水)器,离心分离器,离心水泵。
六、火车转弯问题
1.火车转弯时的运动特点:
火车转弯时做的是________运动,因而具有向心加速度,需要__________。
若内外轨等高,谁提供向心力?
,有何弊病?
,如何解决?
。
2.为了消除火车车轮对路轨的侧向压力,铁路弯道处内、外轨不在同一水平面上,即_______高、__________低。
其高度差是根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度而设计的。
【例5】计算规定速度:
设火车质量m、铁轨的间距为L、内外轨的高度差为h、轨道转弯处半径r、则规定的车速v为多少?
解:
对火车受力分析如图所示:
火车转弯是可看作匀速圆周运动则:
,当
时,即不挤压内轨也不挤压外轨,则
即为规定行驶速度。
在转弯处:
(1)若列车行驶的速率等于规定速度,则两侧轨道都不受车轮对它的侧向压力
(2)若列车行驶的速率大于规定速度,则___轨必受到车轮对它向___的压力(填“内”或“外”)。
(3)若列车行驶的速率小于规定速度,则___轨必受到车轮对它向___的压力(填“内”或“外”)。
【练5】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的,弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关,还取决于火车在弯道上的行驶速率,下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h:
(g=10m/s2)
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨道高度差h/mm
50
100
150
200
250
300
(1)据表中数据,导出h和r关系的表达式,并求出r=440m时h的值.。
(2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力,又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L=1435mm,结合表中的数据,算出我国火车的转弯速度v。
(以km/h为单位,结果取整数)(设轨倾角很小时,正弦值按正切值处理)
1.细杆的一端与小球相连,可绕O点的水平轴自由转动,现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是()
A.a处为拉力,b处为拉力B.a处为拉力,b处为推力
C.a处为推力,b处为拉力D.a处为推力,b处为推力
2.如图,在倾角为α=30°
的光滑斜面上,有一根长为L=0.8m的细绳,一端
固定在O点,另一端系一质量为m=0.2kg的小球,沿斜面做圆周运动,若要
小球能通过最高点A,则小球在最低点B的最小速度是( )
m/sB.
m/s.C.
m/sD.2m/s
3.长度l=0.50m的轻质细杆OA,A端固定有一质量为m=3.0kg的小球,小球以O点为圆心在竖直平面上作圆周运动,通过最高点时小球的速率为2.0m/s,g取10m/s2,则此时刻细杆OA()
A.受到6.0N的拉力B.受到6.0N的压力C.受到24N的拉力D.受到54N的拉力
4.如图,将完全相同的两小球A、B用长为L=0.8m的细绳悬于以v=4m/s向右运动的小车顶部,两小球与小车前后竖直壁接触,由于某种原因,小车突然停止,此时悬线中张力之比TB∶TA为(g=10m/s2)()
A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4
5.如图,水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动,从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中()
A.B对A的支持力越来越大B.B对A的支持力越来越小
C.B对A的摩擦力越来越大D.B对A的摩擦力越来越小
6.如图,小球以初速度为v0从光滑斜面底部向上滑,恰能到达最大高度为h的斜面顶部。
下图中A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨直径等于h光滑轨道、D是长为
的轻棒,其下端固定一个可随棒绕O点向上转动的小球。
小球在底端时的初速度都为v0,则小球在以上四种情况中能到达高度h的有()
7.在高速公路转弯处,路面造的外高内低,即当车向右拐弯时,司机左侧的路面比右侧的路面要高一些,路面与水平面之间的夹角为θ,设拐弯路段是半径为R的圆弧,要使车速为v时的车轮与路面之间的横向摩擦力等于零,θ角等于()
8.如图,质量为M的物体内有光滑圆形轨道,现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动,A、C为圆周的最高点和最低点,B、D与圆心O在同一水平线上.小滑块运动时,物体M保持静止,关于物体M对地面的压力N和地面对物体的摩擦力,下列说法正确的是()
A.滑块运动到A点时,N>Mg,摩擦力方向向左
B.滑块运动到B点时,N=Mg,摩擦力方向向右
C.滑块运动到C点时,N>
(M+m)g,M与地面无摩擦力
D.滑块运动到D点时,N=(M+m)g,摩擦力方向向左
9.在质量为M的电动机飞轮上,固定着一个质量为m的重物,重物到轴的距离为R,如图所示,为了使电动机不从地面上跳起,电动机飞轮转动的最大角速度不能超过()
9
10.绳系着装有水的水桶,在竖直面内做圆周运动,水的质量m=0.5kg,绳长L=60cm,求:
①最高点水不流出的最小速率。
(g取10m/s2)
②水在最高点速率v=3m/s时,水对桶底的压力。
11.如图所示,在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球,试管的开口端加盖与水平轴O连接.试管底与O相距5cm,试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动。
求:
(1)转轴的角速度达到多大时,试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍。
(2)转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况?
g取10m/s2。
12.如图所示,质量是1kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点,O点距地面高度为1m,如果使小球绕OO'
轴在水平面内做圆周运动,若细线最大承受拉力为12.5N,求:
(1)当小球的角速度为多大时,线将断裂;
(2)断裂后小球落地点与悬点的水平距离。
(g=10m/s2)
【补充练习】
1.质量为m的物体(视为质点)从半径为R的的半圆形轨道最高点从静止下滑,在最低点时对轨道的压力为重力的1.5倍,轨道的动摩擦因数为
,求物体在最低点时的速度是多少?
加速度大小是多少?
.一质量为m的物块沿半径为R的球面上滑,动摩擦因数为
当物块和圆心的连线与水平面的夹角为
时,物块的速度为
求这时物块受到的摩擦力是多少?
.如图所示,匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放置着两个用细线相连的小物体A、B,它们的质量均为m,它们到转轴距离分别为rA=20cm,rB=30cm,A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍,试求:
(g取10m/s2)
(1)当细线上开始出现张力时,圆盘的角速度0;
(2)当A刚要开始滑动时,圆盘的角速度;
(3)当A物体即将滑动时,烧断细线,A、B的加速度分别是多少?
4.如图,长为L的细绳的一端系一质量为m的小球,另一端悬于光滑的平面上方h高处(h<L),球在水平面上以n转/秒做匀速圆周运动时,水平面上受到的压力多大?
为使球离开平面,n的最小值多大?
重力加速度为g
5.如图,轻杆长2L,中点装在水平轴O点,两端分别固定着小球A和B,A球质量为m,B球质量为2m,两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。
(1)若A球在最高点时,杆A端恰好不受力,求此时O轴的受力大小和方向;
(2)在杆的转速逐渐变化的过程中,能否出现O轴不受力的情况?
若不能,
请说明理由;
若能,则求出此时A、B球的速度大小。
6.在如图所示的装置中,两个光滑的定滑轮的半径很小,表面粗糙的斜面固定在地面上,斜面的倾角为θ=30°
用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体,把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行,把乙物体悬在空中,并使悬线拉直且偏离竖直方向α=60°
现同时释放甲乙两物体,乙物体将在竖直平面内摆动,当乙物体运动经过最高点和最低点时,甲物体在斜面上均恰好未滑动。
已知乙物体的质量为m=1㎏,若取重力加速度g=10m/s2。
求:
(1)乙物体在摆动过程中悬线拉力的最大值和最小值;
(2)甲物体与斜面间的最大静摩擦力;
(3)甲物体的质量。
7.在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C,如图所示,杆可以竖直平面内绕固定点A转动,将杆拉到某位置放开,末端C球摆到最低位置时,杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍。
(重力加速度为g)求:
(1)C球通过最低点时的线速度;
(2)杆AB段此时受到的拉力。
8.如图所示,位于竖直平面上的1/4光滑圆轨道,半径为R,OB沿竖直方向,上端A距地面高度为H,质量为m的小球从A点由静止释放,最后落在地面上C点处,不计空气阻力,求:
(1)小球则运动到B点时,对轨道的压力多大?
(2)比值R/H为多少时,小球落地点C与B点水平距离S最远?
该水平距离最大值是多少?
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