初二数学提高题附答案Word格式.docx
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,∴∠PQO=90°
,∴OP=2OQ
得到方程:
2-t=2t,解得t=(2/3)
2.如图,正比例函数图像直线l经过点A(3,5),点B在x轴的正半轴上,且∠ABO=45°
AH⊥OB,垂足为点H。
(1)求直线l所对应的正比例函数解析式;
(2)求线段AH和OB的长度;
(3)如果点P是线段OB上一点,设OP=x,△APB的面积为S,写出S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围。
1)设y=kx为正比例解析式,当x=3,y=5时,3k=5,k=5/3
2)AH即A的纵坐标,∴AH=5
∵AH⊥BH,∠ABH=45°
,∴∠HAB=∠ABH=45°
,∴AH=BH=5
OH即A的横坐标,∴OH=3
∵OB=OH+BH,∴OB=5+3=8
3)∵OB=8,OP=x,∴BP=8-x
∴S△ABP=1/2BP×
AH=1/2(8-x)×
5=20-(5/2)x
x的取值范围是0≤x<8
3.(本题满分12分,第1题4分,第2题6分,第3题2分)
已知在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,点D是AB上一点,AE⊥AB,且AE=BD,DE与AC相交于点F。
(1)若点D是AB的中点(如图1),那么△CDE是等腰直角三角形三角形,并证明你的结论;
(2)若点D不是AB的中点(如图2),那么
(1)中的结论是否仍然成立,如果一定成立,请加以说明,如果不一定成立,请说明理由;
(3)若AD=AC,那么△AEF是等腰三角形。
(不需证明)
1)△CDE是等腰直角三角形
2)成立,在△ABC中,∵∠ACB=90°
,AC=BC,∴∠CAB=∠B=45°
∵AE⊥AB,∴∠EAB=90°
,∴∠EAC=90°
-45°
=45°
=∠B
在△ACE与△BCD中,
∵AE=BD,∠EAC=∠B,AC=BC,∴△ACE≌△BCD
∴CE=CD,∠ACE=∠BCD
∵∠ACD+∠BCD=90°
,∴∠ACD+∠ACE=90°
,即∠DCE=90°
∴△CDE是等腰直角三角形
4.如图,直线
经过原点和点
,点B坐标为
(1)求直线l所对应的函数解析式;
(2)若P为射线OA上的一点,
①设P点横坐标为
,△OPB的面积为
,写出
关于
的函数解析式,指出自变量x的取值范围.
②当△POB是直角三角形时,求P点坐标.
1)设y=kx为直线l的解析式
当x=3,y=6时,6=3k,k=2,∴y=2x是直线l的解析式
2)①P在射线OA上,设P横坐标为x,纵坐标为2x
S=1/2×
OB×
2x=4x,∴S=4x是解析式,x的取值范围x>0
②在Rt△P?
OB中,P的坐标(4,8)
在Rt△P?
OB中,P的坐标(4/5,8/5)
5、如图,在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°
,设AM=m,MN=x,BN=n那么:
(1)以x、m、n为边长的三角形是什么三角形?
(请证明)
(2)如果该三角形中有一个内角为60°
,求AM:
AB。
1)以x、m、n为边长的三角形是直角三角形
作△ACM≌△BCD,∴∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°
在△MNC与△DNC中
∵CM=CD,∠MCN=∠DCN,CN=CN,∴△MNC≌△DNC
∴MN=DN=n,AM=BD=m
∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°
,∴∠DBN=45°
+45°
∴△DBN(以x、m、n为边长的三角形)是个直角三角形
6.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=AC=1,P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点,PQ⊥BC于点Q,QR⊥AC于点R。
PQ=BQ;
(2)设BP=x,CR=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)当x为何值时,PR//BC。
1)∵∠A=90°
,AB=AC,∴∠B=∠C=45°
∵PQ⊥BC,∴∠PQB=90°
,∴∠B=∠BPQ=45°
,∴BQ=PQ
2)∵BP=x,BQ=PQ,PQ⊥BQ,∴勾股定理BQ=PQ=(1/2)x
∵∠A=90°
,AB=AC=1,∴勾股定理CB=,∴CQ=-(1/2)x
∵QR⊥AC,∴勾股定理得y=1-0.5x,且x的取值范围0<
x<
1
3)∵PR//BC,∠A=90°
,AB=AC,∴AP=AR
∵AR=x/2,AP=AB-BP=1-x
∴得到方程x/2=1-x,解得,x=2/3
∴当x为2/3的时候,PR//BC
7.在直角三角形ABC中,∠C=90○,已知AC=6cm,BC=8cm。
(1)求AB边上中线CM的长;
(2)点P是线段CM上一动点(点P与点C、点M不重合),求出△APB的面积y(平方厘米)与CP的长x(厘米)之间的函数关系式并求出函数的定义域
(3)是否存在这样的点P,使得△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的
,如果存在请求出CP的长,如果不存在,请说明理由。
1)∵∠C=90○,AC=6cm,BC=8cm,∴AB=10cm,∴CM=1/2AB=5cm
2)作CD⊥AB,PE⊥AB
∵S△ABC=(1/2)AB×
CD,S△ABP=(1/2)AB×
PE,
∴S△ABC/S△ABP=CD/PE
∵S△ABC=1/2×
6×
8=24,AB=10,∴CD=48/5
∵PM=5-x,∴S△PMB/S△ABC=PD/CE=(5-x)/5,∴y/24=(5-x)/5,y=(24/5)(5-x)是解析式,其中x的定义域0<
5
3)存在,根据题意,S四边形ACBP=2S△ABP,∴24-y=2y,y=8
当y=8时,8=(24/5)(5-x),解得,x=5/2
∴当x=5/2时△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的2/3。
8、如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ。
设AP=x,BE=y
(1)线段PQ的垂直平分线与BC边相交,设交点为E求y与x的函数关系式及x取值范围;
(2)在
(1)的条件是否存在x的值,使△PQE为直角三角形若存在,请求出x的值,若不存在请说明理由。
连接PF、QF,
∵EF垂直平分PQ,∴PF=QF
∵∠A=∠D=90°
,∴AP2+AF2=DF2+DQ2
即x2+(6-y)2=y2+(8-x)2,∴3y=4x-7,y=(4x-7)/3
其中x的定义域0<
8
9.在△ABC中,∠ACB=90°
,D是AB的中点,过点B作∠CBE=∠A,BE与射线CA相交于点E,与射线CD相交于点F.
(1)如图,当点E在线段CA上时,求证:
BE⊥CD;
(2)若BE=CD,那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系?
并证明你所得到的结论;
(3)若△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.
1)∵∠ACB=90°
,D是AB的中点,∴AD=BD=CD,∴∠CBA=∠DCB,∠A=∠DCA
∵∠CBE=∠A,∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA,即:
∠CBA=∠BEC,∴∠DCB=∠BEC
∵∠CBE+∠BEC=90°
,∴∠CBE+∠DCB=90°
,∴∠BFC=90°
,即CD⊥BE
2)∵BE=CD,∴BE=AD=BD=CD,∴AB=2BE
∵∠CBE=∠A,,∠BCE=∠ACB∴△BCE∽△ACB,∴BC:
CA=1:
2,∴AC=2BC
3)∵△BDF是等腰三角形,∠BFD=90°
,∴∠BDF=45°
①当点E在线段CA上时,∠A=1/2∠BDF=22.5°
②当点E在线段CA延长线上时,∠BAC=(180°
-∠CDA)/2=67.5°
10.已知:
如图,正比例函数
的图象与反比例函数
的图象交于点
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内,当
取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?
(3)
是反比例函数图象上的一动点,其中
过点
作直线
轴,交
轴于点
;
轴交
,交直线
于点
.当四边形
的面积为6时,请判断线段
与
的大小关系,并说明理由.
1)∵A在两个函数图象上,∴2=3k,k=2/3,即正比例函数y=2x/3
∴2=k/3,k=6,即反比例函数y=6/x
2)当0<
3时,反比例函数的值大于正比例函数的值
3)∵M(m,n),∴n=6/m,N(0,n)C(3,0),D(3,n)
4)S四边形OADM=S梯形OADB-S△OMB=[(n-2)+n]×
(3/2)-(mn/2)=3n-3-3=3n-6=6
∴n=4,∴m=6/4=3/2,即M(3/2,4)
∵A(3,2),∴OC=BD=3,∴BM=DM
11.已知:
如图,在⊿ABC中,∠C=90°
,∠B=30°
,AC=6,点D在边BC上,AD平分∠CAB,E为AC上的一个动点(不与A、C重合),EF⊥AB,垂足为F.
AD=DB;
(2)设CE=x,BF=y,求y关于x的函数解析式;
(3)当∠DEF=90°
时,求BF的长.
1)∵∠C=90°
,∴∠A=60°
∵AD平分∠CAB,∴∠BAD=30°
=∠B,∴AD=DB
2)∵BF=y=AB-AF=12-AF,∵EF⊥AB,∠A=60°
,∴∠AEF=30°
∴AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X),∴y=12-1/2(6-X)=9+1/2x
∴y=9+1/2x为解析式
3)∵∠DEF=90°
∴∠EDA=∠BAD=∠EAD=30°
,∴∠EDC=30°
∴AE=ED=2EC,
∵AE+EC=AC=6,∴EC=2
当EC=x=2时,y=9+1/2×
2=10,即BF=10
12.如图,在△
中,∠
,∠
=30°
是边
上不与点A、C重合的任意一点,
⊥
,垂足为点
是
的中点.
=
(2)如果
,设
,求
的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当点
在线段
上移动时,∠
的大小是否发生变化?
如果不变,求出∠
的大小;
如果发生变化,说明如何变化.
,DE⊥AB,∵M是BD的中点,∴CM=1/2BD=EM
2)∵CM=y,∴BM=DM=EM=y
∵∠ACB=90°
,∠A=30°
,∴AB=2BC,
∵BC=
,∴AB=2
,∴AC=3,∴CD=3-x
∴(3-x)2+3=4y2,y=1/2,其中x的定义域是0<
3
3)∵CM=BM,∴∠MBC=∠MCB,
∵BM=EM,∴∠MBE=∠MEB,
,∠A=30°
,∴∠ABC=60°
∵∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°
,∵∠MBC+∠MCB=∠CMD,∠MBE+∠MEB=∠EMD
∴∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°
∵CM=EM,
∴∠MCE=∠MEC=30°
∴∠MCE大小不变
13、如图,已知长方形纸片ABCD的边AB=2,BC=3,点M是边CD上的一个动点(不与点C重合),把这张长方形纸片折叠,使点B落在M上,折痕交边AD与点E,交边BC于点F.
(1)、写出图中全等三角形;
(2)、设CM=x,AE=y,求y与x之间的函数解析式,写出定义域;
(3)、试判断
能否可能等于90度?
如可能,请求出此时CM的长;
如不能,请说明理由.
1)△BEF≌△MEF,根据翻折得到。
△ABE≌△DEM,AAS
2)∵△BEF≌△MEF,∴BE=ME,∴BE2=ME2
∴AE2+AB2=DM2+DE2
∵AB=CD=2,AD=3,CM=x,AE=y
∴代入得y2+4=(2-x)2+(3-y)2,解得y=(x2-4x+9)/6
2
3)∵∠BEM=90°
∴∠AEB=180°
-∠DEM=∠DME∴∠ABE=∠DME
在△ABE与△DEM中,∵∠ABE=∠DME,∠A=∠D,BE=ME,∴△ABE≌△DME
∴AE=DM,AB=DE,∴2=3-y,y=1,∴当y=1时,1=2-x,x=1
∴CM=1时∠BEM为90°
14、已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,BC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E,BE和AD相交于点F,设∠AFB=y,∠C=x
∠CBE=∠CAD;
(2)求y关于x的函数关系式;
(3)写出函数的定义域。
1)∵∠BAC=90°
,AD是BC上中线,∴AD=BD=CD,∴∠C=∠CAD
∵DE是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠C=∠CBE,∴∠CAD=∠CBE
2)∵∠AFB=∠CBE+∠ADB=∠CBE+∠C+∠CAD,∵∠AFB=y,∠C=∠CAD=∠CBE=x,∴y=3x
3)0<
60为函数定义域
15、已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠B=30°
,AC=6,点D、E、F分别在边BC、AC、AB上(点E、F与△ABC顶点不重合),AD平分∠CAB,EF⊥AD,垂足为H.
(1)求证:
AE=AF:
(2)设CE=x,BF=y,求x与y之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)当△DEF是直角三角形时,求出BF的长.
1)在△AEH与△AFH中
∵AD平分∠CAB,EF⊥AD,∵AH=AH
∴△AEH≌△AFH
∴AE=AF
2)∵在△ABC中,∠C=90°
,AC=6∴AB=12
∵CE=x,BF=y∴AE=AC-CE=6-x,AF=AB-BF=12-y
∵AE=AF,∴6-x=12-y,y=x+6
∴y=x+6为解析式,其中0<x<6为x的定义域
3)在△AED与△AFD中,∵AE=AF,∵AD平分∠CAB,AD=AD
4)∴△AED≌△AFD,∴∠AED=∠AFD∴∠CED=∠DFB
5)∵EF⊥AD,∴∠EDF=90°
∴∠CDE+∠BDF=90°
6)∵∠C=90°
,∴∠CDE+∠CED=90°
,∴∠BDF=∠CED
7)∵∠CED=∠DFB,∴∠BDF=∠DFB,∴BF=BD
8)∵∠C=90°
AC=6,∠CAD=∠BAD=1/2∠CAB=30°
∴CD=2
9)
∵∠BAD=∠B=30°
∴BD=AD=2CD=4
∴BF=BD=4
∴当△DEF是直角三角形时,BF的长为4
16.已知
中,AC=BC,
点D为AB边的中点,
DE、DF分别交AC、BC于E、F点.
(1)如图1,若EF∥AB.求证:
DE=DF.
(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题
(1)的结论是否成立?
说明理由.
1)∵EF//AB,∴∠FEC=∠A=30°
∵∠EFC=∠B=30°
,∴EC=CF,∴∠A=∠B
∵AC=BC,∴AE=BF
∵D是AB中点,∴DB=AD
在△ADE与△BDF中,∵∠A=∠B,AE=BF,AD=BD,∴△ADE≌△BDF
∴DE=DF
2)过D作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N
∵AB=AC,∠C=120°
,∴∠A=∠B=30°
∴∠ADM=∠BDN=60°
,∴∠MDN=180°
-∠ADM-∠BDN=60°
∵AC=BC、AD=BD,∴∠ACD=∠BCD,∴DM=DN。
∴∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°
-∠EDN=∠EDF-∠EDN=∠FDN,∴∠EDM=∠FDN
在△DEM与△DFN中,∵∠DME=∠DNF=90°
,DM=DN,∠EDM=∠FDN,∴△DEM≌△DFN,
∴DE=DF,1)中结论仍然成立
17.如图(第27题图1),已知
中,BC=3,AC=4,AB=5,直线MD是AB的垂直平分线,分别交AB、AC于M、D点.
(1)求线段DC的长度;
(2)如图(第27题图2),联接CM,作
的平分线交DM于N.
求证:
CM=MN
1)连接BD,设DC为x
∵DM是AB的垂直平分线,∴AM=MD=2.5
∴得到方程(4-x)^2-2.5^2+2.5^2=3^2+x^2,
解得x=7/8,即CD长7/8
2)∵CM为AB边中线,∠ACB=90°
∴MC=MB
∵CN平分∠ACB,∴∠ACM=∠BCM=45°
∴∠CDM=180°
-(45°
-∠1+∠1+∠2),∴∠B=45°
+∠1
∵BCDM是四边形,∠DMB=∠ACB=90°
,∴∠MDC+∠B=180°
,即135°
-∠2+45°
+∠1=180°
∴∠1=∠2
∴CM=MN
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