二次函数小结与复习教案Word文档格式.docx
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教学难点
二次函数图象的平移。
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
一、结合例题精析,强化练习,剖析知识点
1.二次函数的概念,二次函数y=ax2(a≠0)的图象性质。
例:
已知函数
是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?
求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?
最大值是什么?
这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
学生活动:
学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
教师精析点评,二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
强调a≠0.而常数b、c可以为0,当b,c同时为0时,抛物线为y=ax2(a≠0)。
此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y轴,即直线x=0。
(1)使
是关于x的二次函数,则m2+m-4=2,且m+2≠0,即:
m2+m-4=2,m+2≠0,解得;
m=2或m=-3,m≠-2
(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m+2>0,
(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m+2<0。
抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。
强化练习;
是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。
2。
用配方法求抛物线的顶点,对称轴;
抛物线的画法,平移规律,例:
用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。
小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。
充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。
教师归纳点评:
(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系:
y=ax2+bx+c————→y=a(x+)2+
(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。
(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动,分析完例题后归纳;
投影展示:
强化练习:
(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。
再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:
b与c的值。
(2)通过配方,求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象。
3.知识点串联,综合应用。
如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。
开展小组讨论,体验用待定系数法求函数的解析式。
教师点评:
(1)直线AB过点A(2,0),B(1,1),代入
解析式y=kx+b,可确定k、b,抛物线y=ax2过点B(1,1),代人可确定a。
求得:
直线解析式为y=-x+2,抛物线解析式为y=x2。
(2)由y=-x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(-2,4),
S△OBC=S△ABC-S△OAB=3。
∵S△AOD=S△OBC,且OA=2∴D的纵坐标为3
又∵D在抛物线y=x2上,∴x2=3,即x=±
∴D(-,3)或(,3)
函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:
(1)a和b的值;
(2)求抛物线y=ax2的顶点和对称轴;
(3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,
(4)求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
二、课堂小结
1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
投影:
完成下表:
作业
设计
教学
反思
《二次函数》小结与复习
(2)
会用待定系数法求二次函数的解析式,能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
会运用二次函数知识解决有关综合问题。
一、例题精析,强化练习,剖析知识点
用待定系数法确定二次函数解析式.
根据下列条件,求出二次函数的解析式。
(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。
(2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。
(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;
且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。
学生活动:
学生小组讨论,并让学生阐述解题方法。
教师归纳:
二次函数解析式常用的有三种形式:
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0)(3)两根式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x2)
已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。
二、知识点串联,综合应用
如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标,
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。
学生先自主分析,然后小组讨论交流。
(1)求抛物线解析式,只要求出A、B,C三点坐标即可,设y=x2-2x-3。
(2)抛物线的顶点可用配方法求出,顶点为(1,-4)。
(3)由|0B|=|OC|=3又OM⊥BC。
所以,OM平分∠BOC
设M(x,-x)代入y=x2-2x-3解得x=
因为M在第四象限:
∴M(,)
题后反思:
此题为二次函数与一次函数的交叉问题,涉及到了用待定系数法求函数
解析式,用配方法求抛物线的顶点坐标;
等腰三角形三线合一等性质应用,求M点坐标
时应考虑M点所在象限的符号特征,抓住点M在抛物线上,从而可求M的求标。
已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。
(2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。
(3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。
三、课堂小结
1.投影:
让学生完成下表:
2.归纳二次函数三种解析式的实际应用。
3.强调二次函数与方程、圆、三角形,三角函数等知识综合的综合题解题思路。
必做
《二次函数》小结与复习(3)
1.使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思。
将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策。
一、例题精析,引导学法,指导建模
1.何时获得最大利润问题。
重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,区政府对该花木产品每投资x万元,所获利润为P=-(x-30)2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q=-(50-x)2+(50-x)+308万元。
(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(3)根据
(1)、
(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。
投影给出题目后,让学生先自主分析,小组进行讨论。
教师活动:
在学生分析、讨论过程中,对学生进行学法引导,引导学生先了解二次函数的基本性质,并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析:
(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-(x-30)2+10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M1=10×
10=100万元。
(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:
P=-(25-30)2+10=9.5(万元)
则前5年的最大利润为M2=9.5×
5=47.5万元
设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。
则由Q=-(50-x)+(50-x)+308知,将余下的(50-x万元全部用于外地销售的投资.才有可能获得最大利润;
则后5年的利润是:
M3=[-(x-30)2+10]×
5+(-x2+x+308)×
5=-5(x-20)2+3500故当x=20时,M3取得最大值为3500万元。
∴10年的最大利润为M=M2+M3=3547.5万元
(3)因为3547.5>100,所以该项目有极大的开发价值。
某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y=kx+b的关系,如图所示。
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式,
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元,①试用销售单价x表示毛利润S;
②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?
最大利润是多少?
此时的销售量是多少?
分析:
(1)由图象知直线y=kx+b过(600,400)、(700,300)两点,代入可求解析式
为y=-x+1000
(2)由毛利润S=销售总价-成本总价,可得S与x的关系式。
S=xy-500y=x·
(-x+1000)-500(-x+100)
=-x2+1500x-500000=-(x-750)2+62500(500<x<800)
所以,当销售定价定为750元时,获最大利润为62500元。
此时,y=-x+1000=-750+1000=250,即此时销售量为250件。
2.最大面积是多少问题。
某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形的边长为x,面积为S平方米。
(1)求出S与x之间的函数关系式;
(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个设计费用;
(3)为了使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?
(精确到元)(参与资料:
①当矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项时,这样的矩形叫做黄金矩形,②≈2.236)
让学生根据已有的经验,根据实际几何问题中的数量关系,建立恰当的二次函数模型,并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。
(1)由矩形面积公式易得出S=x·
(6-x)=-x2+6x
(2)确定所建立的二次函数的最大值,从而可得相应广告费的最大值。
由S=-x2+6x=-(x-3)2+9,知当x=3时,即此矩形为边长为3的正方形时,矩形面积最大,为9m2,因而相应的广告费也最多:
为9×
1000=9000元。
(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积,从而得到广告费用的大小。
设设计的黄金矩形的长为x米,则宽为(6-x)米。
则有x2=6·
(6-x)
解得x1=-3-3(不合题意,舍去),x2=-3+3。
即设计的矩形的长为(3,3)米,宽为(9-3)米时,矩形为黄金矩形。
此时广告费用约为:
1000(3-3)(9-3)≈8498(元)
二、课堂小结:
让学生谈谈.通过本节课的学习,有哪些体验,如何将实际问题转化为二次函数问题,从而利用二次函数的性质解决最大利润问题,最大面积问题
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- 二次 函数 小结 复习 教案