Chapter02 结构力学总复习Word格式文档下载.docx
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下一小节我们仅以两个简单的例子来进一步说明图2-1的意义。
2.1.2结构分析实例
图2-2的例子是一个悬臂梁承受三个负载:
一是集中载重P;
二是均布载Q;
三是梁左端的一个拘束(变位为0)。
我们想知道在这些负载下,结构的反应是怎样子的。
图2-2结构分析实例一
图2-3的例子是一个悬臂梁承受了两个负载:
一是端点的已知变位D,二是左端的固定拘束。
我们想要知道在这样的情形下,它的反应会是怎样子的。
图2-3结构分析实例二
2.1.3负载
为了有效地将负载作用在body中,我们有必要对loads去作一个很清楚的分类。
前面所举的一些loads例子,都是作用在body表面上的,所以我们可以先这样来分类:
作用在物体表面的loads及作用在物体内部的loads。
ANSYS结构分析的负载描述是以图2-4所示的负载分类为基础的。
图2-4结构负载的分类
作用在物体表面的load包括了力及变位;
力又可分为集中力及均布力;
变位则又可分为零变位及非零变位。
这些都是不难理解的。
作用在body内部的load,最常看到的是热负载,它是分布于整个body而非只有表面的。
惯性力(如重力、离心力等)也是常见的分布于整个body内部的力。
其它还有静电力、磁力等也是分布在body内部的力。
2.1.4反应
我们通常用变位、应变、应力来表示一个body承受loads后的结构反应。
当然这些量之间并非完全独立的,我们将在2.2节讨论它们之间的关系。
图2-5列出本书所用的变位、应变、应力的符号及它们分量的个数。
注意,我们使用了15个分量来描述结构反应,而每一个分量都是位置的函数。
图2-5结构负载的分类
为什么我们通常用变位、应变、应力来描述结构反应呢?
变位是指每一直点的位移,它代表整体结构的变形;
所以描述结构反应时,变位是不可或缺的。
但是应力、应变的重要性又是如何呢?
一个材料它能够承受的应力、应变都是有一限度的;
应力、应变超过某一程度,就会破坏掉或降伏掉,所以它们通常作为材料设计的检验基准。
在本书中,我们用{u}来代表变位、用{}来代表应变、用{}来代表应力。
我们会在以下的几个小节李分别来讨论这些量。
因为不是单一的量,所以我们用向量来表示。
在3D的结构系统里面,变位有3个分量,应变及应力各有六个分量,一共有15个分量。
我们把这15个量当做是我们要去求解的未知量,只要知道了这15个未知量,就能清楚的来描述结构反应。
注意,去选用多少的未知量是任意的,只要我们建立出等量的方程式,就可以去解出未知量。
2.1.5变位
变位应该是很容易了解的。
在图2-6里面,我们画了变形前后的body;
假设某一个特定的质点(x,y,z)在变形后移到了一个新的位置,我们把它的位移用一个向量来表示,这是这个点的变位(displacement),我们用{u}来代表。
因为它是一个向量,所以在3D中我们可以用三个分量ux、uy、uz来表示:
(2.1)
注意,2.1式中的3个分量都是位置的函数。
变位是很容易了解的,它可以用向量很清楚的来表示。
相对的以下将讨论的应力、应变则不是那么容易理解。
图2-6变位
2.1.6应力
上一小节所讨论的「变位」是很容易了解的,它可以用向量来表示,而我们通常很熟悉向量的观念。
但是「应力」严格来说用向量来表示是不精确的;
比较精确的方式是用张量(tensor)来表示,但是tensor本身就是不容易理解的一个数学表示方式,所以除非必须非常深入地讨论应力,一般的结构力学讲解还是舍弃用tensor来解说应力。
应力是在描述力的密度(intensity),也就是是每单位面积有多少力量。
如果有一条段面积A的钢线被施以F的力量,则我们说沿着长度方向有F/A的应力。
在3D的情况下,事情变得有点复杂。
现在假想你被埋在一个body里面的A点,这个body承受某些loads,如图2-7所示;
你如何对外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢?
在此我们假设有一个坐标系统xyz可供参照。
图2-7结构系统中的某一质点A
如果这个body是一静止的液体,你会受到四面八方相同的压力,所以只要一个量就可以完整地描述你承受的应力。
假设压力大小是p,那么你可以如此描述:
「我在+x方向感受到p的正向压应力」。
注意,其中的+x改成-x、+y、-y、+z、-z或任何方向,此叙述还是成立的。
当我们感受力量向着自己的时候,这时候的应力称为压应力;
反之当我们感受力量远离自己的时候,这时候的应力称为张应力。
而「正向应力」(normalstress)是相对「剪向应力」(shearstress)的。
何谓正向应力与剪向应力呢?
当我们在描述某一方向的应力时,可以想象一个垂直于此方向的平面。
在图2-8中,为了描述+x、-x、+y、-y、+z及-z方向的应力,我们想象分别垂直于这六个方向的平面,这六个平面够成个立方体(立方体的中心是A点),如图所示。
请你想象一下+x方向的应力,此应力的大小是作用在立方体+x面上的所有力量除以该面积;
方向则可能是任何方向。
若将此应力拆成三个分量,分别平行于x、y、及z方向——在图2.8中我们以x、xy、xz来表示。
因为x垂直于+x平面,所以我们称之为+x平面(或+x方向)上的正向应力;
而因为xy、xz相切于+x平面,所以我们称之为+x平面(或+x方向)上的剪向应力。
图2-8质点A的应力描述
图2-9质点A的应力描述
为了描述A点的应力,只有描述一个方向是不够的;
在3D的世界里,我们最少需要描述三个方向的应力才能完整地描述某一点的应力状态。
其它方向的应力可以从这三个方向的应力来导出,但是这三个方向必须是独立的,一般选择+x、+y、及+z方向。
如前面所讨论的,我们以x、xy、xz来表示+x方向的正应力及分别平行于+y及+z方向的剪应力;
同样的我们以y、yx、yz来表示+y方向的正应力及分别平行于+x及+z方向的剪应力;
而以z、zx、zy来表示+z方向的正应力及分别平行于+x及+y方向的剪应力。
所以我们可以用9个分量来表示一个点的应力状态,
(2.2)
这9个应力分量分别表示在图2-8中的立方体上。
图2-9是与图2-8完全一样的,只是转个方向而已。
事实上这9个分量也并不是完全的独立的,我们可以证明
(2.3)
也就是说2.2式中的矩阵是对称的。
所以只要用6个分量就可以来描述,用向量的方式来表示,我们可以写成
(2.4)
2.3式的证明很简单,只要将图2-8的立方体视为一个自由体(freebody),再取下列力平衡条件即可得到证明:
2.1.7应变
应变是在描述某一质点被拉申或压缩的程度,它的单位是每单位长度的拉伸长度(所以相当于无单位)。
如果有一长度L的物体被均匀拉长L,则我们说沿着长度方向有L/L的应变。
在3D的情况下,应变比应力更难理解。
现在让我们来思考一个body内的一个质点A及邻近的点B和C,如图2-10所示。
注意,我们故意选择三个点的位置使的AB和AC互相垂直。
假设这个body变形以后ABC三个点变为A’B’C’三个点。
图2-10质点A的应变
为了要计算AB和AC这两根纤维在变形后被拉伸了多少,我们将变形后的纤维A’B’C’作一个旋转变成A’B”C”,再作一个平移变成AB’’’C’’’。
注意,经过旋转及平移后并不影响其两根纤维的相对关系(即长度及夹角)。
现在可以很清楚地看出原来的x方向的一条小纤维AB被拉伸成AB’’’,其总伸长可以用BB’’’来表示。
x方向的伸长量BB’’’可拆成两个分量:
正向伸长量BD及剪向伸长量DB’’’,我们将它们除以原来的长度AB就是正向应变(用x表示)及剪向应变(用xy表示):
以上的诱导主要是要让读者在观念上理解到正向应变及剪向应变的涵义。
根据上式,正向应变(normalstrain)是很容易理解的:
x平面上(有关x平面的定义请参照2.1.6小节)的正向应变就是x方向的一条无穷小的纤维,它的伸长量除以原来的长度。
而剪向应变(shearstrain)则需进一步思考,以下的讨论我们假设变形是无穷小的。
根据上式,x平面上向着y方向的剪应变事实上就是夹角BAB’’’,也就是两根原来垂直的纤维其角度的变化。
我们的结论是:
xy表示x平面上y方向的剪应变分量,它是xy平面上两根原来垂直的纤维其角度的变化。
在3D的情况下,x平面上除了正应变x外还有y方向的剪应变分量xy及z方向的剪应变分量xz;
y平面上则有正应变y、x方向的剪应变分量yx、及z方向的剪应变分量yz;
z平面上则有正应变z、x方向的剪应变分量zx、及y方向的剪应变分量zy。
所以在3D的情况下,我们可以用9个分量来表示一个点的应变状态
(2.5)
这9个应变分量可以分别表示在类似图2-8中的立方体上;
图2-11是平面的表示方式。
图2-11质点A的应变描述
2.5式中的9个分量也并不是完全的独立的,我们可以证明(程序有点复杂);
(2.6)
也就是说2.5式中的矩阵是对称的。
(2.7)
第2.2节控制方程式
GoverningEquations
2.2.1控制方程式
在2.1节所定义的结构分析问题中,我们所选定的未知量是变位{u}、应力{}、及应变{}。
变位有3个未知量,应力有6个未知量,应变也有6个未知量,这15个未知量都是位置的函数,所以我们称之为变位场、应力场、及应变场。
我们必须建立15个方程式才能解出这15个未知量,这就是所谓的控制方程式(governingequations)。
一般在建立控制方程式我们会先寻求可以利用的物理法则,例如动量守恒定律、能量守恒定律、及质量守恒定律。
再来是观察这些未知量间是否存在着几何关系或任何数学关系。
最后,在未能建立足够的方程式之下,工程师通常会做适当的假设,当然这些假设是经过很多实验来证实大致上是可以应用的。
注意,很多物理定律、假设、或数学定理都会以不同的形式来描述或应用,工程师需要深切理解这点,譬如动量守恒定律在结构力学上常以牛顿运动定律的形式(力平衡原理)来应用。
面对2.1节所定义的结构分析的问题,我们会先利用力平衡原理来建立3个方程式。
在3D中,力平衡方程式应该有6个,但是其中3个我们已经用来证明在剪应力是对称的了(参考2.1.6小节最后部分)。
接着利用应变与变位之间的几何关系,去建立出6个方程式,称为应变与变位关系。
最后是假设应力与应变之间存在着某一个关系,就是有名的虎克定律,有6条方程式。
所以共有15个方程式。
接下来会依序来介绍这些方程式。
注意,有时侯在别的教科书上你所看到的控制方程式并不一定是这样子的,可能是另一种形式,可是它们都是相等的。
记着,当你选用几个未知量,就必须建立一样数量的方程式才能解这些结构反应。
2.2.2力平衡方程式
我们要介绍的第一组方程式称为力平衡方程式,即动量守恒定律的另一种形式。
为了思考body上某一质点的力平衡,我们可分成两个可能性来讨论。
第一个可能性是这一点是在body内部的某一个质点,第二个可能性是这一点是在body表面上的一个质点。
我们先讨论在body里面的某一个质点,假想一个微小元素(如图2.8所示),它的长宽高分别是dx、dy、dz。
假设它除了受x、y、z、xy、yz、zx外,其内部还受了fx、fy、fz的bodyforces(譬如重力,单位是:
力量/单位体积),我们对这个微小的元素应用力平衡条件
可以得到下列方程式
(2.8)
同样地,如果这个质点是在body的表面上,我们也是可以取一个微小元素,再对这个微小元素应用力平衡条件,也可求得方程式如下
(2.9)
其中nx、ny、nz是该点在body表面上的单位法向向量(unitnormalvector)的分量,而Tx、Ty、Tz是作用在body表面上外力(称为surfacetractions)。
以上Eqs.2.8、2.9的诱导步骤我们并没有详细说明,因为诱导过程并不是我们的重点,我们的重点是:
存在着3个方程式,它们描述了应力分量之间的关系;
这3个方程式式由力平衡条件诱导来的;
在body的内部它们的形式是Eq.2.8,而在body的边界上它们的形式是Eq.2.9。
2.2.3应变与变位关系
接下来我们介绍下列的6个方程式,描述着应变{}和变位{u}间的关系;
(2.10)
Eq.2.10纯粹是一种几何关系(而不涉及任何物理现象)。
你可以取一个微小的元素,从其几何关系导出这样的关系出来。
在诱导过程中,我们忽略了二次微分项及更高的微分项只留下一次微分项。
这代表Eq.2.10是在很小的变形量下才能够成立。
所以我们要强调的有三个重点:
其一为Eq.2.10纯粹为几何关系;
其二是Eq.2.10是在很小的变形假设之下所导出来的;
其三是Eq.2.10中应变与变位是一个线性关系。
我们稍微进一步地去观察Eq.2.10中6个方程式的涵意,我们看第一个方程式
是指在x方向的纤维每单位长度在x方向的变位,这是相当符合我们在2.1.7小节的理解的。
同样的y、z也是一样意思。
而xy是xy平面上原来垂直的两根纤维的角度变化量,它等于
2.2.4应力与应变关系
接下来我们要介绍下列的这6个方程式,它们又叫做虎克定律(Hooke’sLaw),它们描述了应力和应变的关系:
(2.11)
注意这6条方程式是假设而来的,也就是说当你应用到这些方程式的时候,你必须确定材料符合这种假设。
这种描述应力应变关系的方程式又称为材料的本构方程式(constitutiveequations),Eq.2.11是常被应用的形式,因为它是最简单的形式。
注意,Eq.2.11中,应力与应变呈线性关系,所以符合Eq.2.11的材料称为线性弹性材料。
为什么需要假设一组应力应变关系的方程式呢?
理由很简单:
因为如此才有足够的方程式来解结构反应。
Eq.2.11中包含了3个参数,它们代表线性弹性材料的材料参数:
E、G、及。
E称为杨氏模数(Young’sModulus)。
当我们对线性弹性材料做单轴拉伸实验时,如果把横轴作为应变,纵轴作为应力,所画出来的线应该是一条直线,而直线的斜率即为杨氏模数E。
G称为剪力模数(shearmodulus)。
当我们对线性弹性材料作剪力实验时,如果把横轴作为剪应变,纵轴作为剪应力,所画出来的线应该是一条直线,而直线的斜率即为剪力模数G。
称为波松比(Poisson’sratio)。
当我们做单轴拉伸实验时,x方向被拉伸的同时,y和z的方向会收缩,若x方向拉一个单位,则y或z方向的收缩量即为Poisson’sratio。
事实上这3个材料参数并非独立的,实验可以证明它们存在着下列的关系:
(2.12)
所以只要知道其中两个参数即可知道其他一个参数,也就是说符合虎克定律的线性弹性材料只有两个独立的材料参数——E、G、之中的任何两个。
让我们来看看Eq.2.11中的方程式。
第1、2、3条方程式事实上就是杨氏模数及Poisson’sratio的定义。
对3D空间中的某一质点而言,它承受的应力可能是多轴的,所以当我们在观察x方向的应变时,不只是x方向的应力会造成x方向的拉伸,y方向的应力也会造成x方向的收缩,同样的z方向的应力也会造成x方向的收缩。
第4、5、6条方程式事实上就是剪力模数的定义。
第2.3节解题方法:
有限元素法
SolutionMethod:
FiniteElementMethod
2.3.1数值解法
在2.2节中我们建立了15条方程式,这15条方程式共包含了15个未知量。
理论上这15条方程式当然可以来解15个未知数,但是实务上,只有很简单的结构并且承受很简单的负载的结构问题才有可能获得一个解析解(analyticalsolution)。
实务上的工程问题中,结构的几何形状及负载都是很复杂的。
过去在没有计算机的年代,大都数的工程师会对问题都做一个适当的简化,把几何形状及负载做简化,再来解问题。
譬如简化成一个悬臂梁承受一个集中载重或均不载重等。
但这种做法工程师本身必须具有相当的知识、经验、及洞察能力,才能适当第简化这些问题,而还能抓住原本结构的行为本质。
有时侯太勉强地简化的结果,所解出来的解答与实际的偏离太多了。
所以长久以来工程师、数学家试着去研发很多的方法来解这么复杂的问题。
为了利用数值计算器来解问题,数值解法是必要的。
数值计算方法的发展几乎是并行计算机科技的发展的。
工程师们从有计算机开始就开始着手发展一套有效数值的方法来解类如2.2节所描述的方程式,其中有很多成功的例子,但是到目前为止最成功、最被普遍应用的方法可以说是有限元素法了。
从1930年代至今,它已经发展了70年以上了。
有限元素法事实上是针对边界值问题(boundaryvalueproblems)所发展的。
实际的工程问题的自变量通常可分为两类,一个是空间(常用x、y、z三个变量表示),另一个是时间(常用t表示)。
在空间变量上我们通常可以将问题model成一个边界值问题,但是在时间变量上,我们通常将问题model成一个初始值问题(initialvalueproblem),因为通常初始时间的条件是已知的,但是最后时间点的条件通常无法得知。
初始值问题通常以有限差分法(finitedifferencemethod)来解是比较适合的。
所以一般含时间变量在内的工程问题(即动态问题),我们沿着时间轴将问题切割(利用有限差分法)成许多只含空间变量的边界值问题,再以有限元素法来解这些边界值问题。
2.3.2有限元素法:
基本构想
前面提过实务上的的结构系统大多有很复杂的几何形状及负载,而我们也知道对于简单的几何形状及负载,可直接去写出它的方程式。
有限元素法的基本构想是基于上述的事实的。
首先所以我们把一个有复杂几何形状的区域切割成一些比较小且形状较简单的区域,每个小区域称为一个元素(element),如图2-12所示。
图2-12有限元素法的基本构想
所谓简单的区域是指其几何形状是简单的,比如说三角形或四边形等;
在3D的情况下最简单的几何形状就是四面体或六面体等。
元素与元素是经由节点(nodes)来连接的;
在图2-12中我们用黑点表示节点。
就单一个元素来看,这些节点可以认为是附属在元素上面的;
举例来讲,一个三角形元素,它的节点座落在三个顶点上。
再以六面体为例,若它的顶点上面各有一个节点的话,那么一个六面体就共有八个节点。
无论是2D的三角形、四边形、3D的四面体或六面体,通常在每个顶点上都有一个节点,但是这并不表示只有顶点上可以有节点。
举个例子,2D四边形的元素,可以在四个顶点上有节点外,也可以在四个边上的中点各有一个节点,这样的元素就共有8个节点。
在有限元素法中,我们通常取节点上的变位量作为未知量,未知量又称为自由度(degreeoffreedom)。
在3D的情况下,每个节点有三个自由度,分别是x、y、z方向的变位量;
而在2D的情况下,每个节点有二个自由度,分别是x、y方向的变位量。
对一个2D的三角形元素而言,若三个顶点各有一节点,那么这个元素就有6个自由度。
对一个3D的六面体而言,若各个顶点各有一节点,共有8个节点,那么这个元素就有24个自由度。
因为每一个元素都是有简单的几何形状,而只有节点上可能有外力作用(因为元素间只有节点相连接),我们很容易可以把这么简单的结构实体的方程式写出来,并且把这些方程式用自由度(未知变位量)来表示,这些方程式就称为元素的方程式(elementequations)。
每个元素都会有一组elementequations,它们事实上是将一个元素视为一个自由体(freebody)的力平衡方程式。
接着就把全部元素的力平衡方程式联立起来,变成一组联立方程式系统,称为整体结构方程式(structuralglobalequations)。
解出这组联立方程式后就可以得知每个节点上的变位量了。
有了节点上的变位量后,可以计算整个元素上的变位场(displacementfield)。
变位场与节点变位的关系通常是透过合理的假设的,这是有限元素法的重点之一,这是有限元素法误差的主要来源之一,我们将在2.3.4小节再来讨论。
有了变位场{u}后可以利用Eq.2.10计算应变场{},再利用Eq.2.11计算应力场{}。
2.3.3自由度
前面我们提到的自由度(degreesoffreedom)有必要在这里再进一步地讨论。
自由度是指节点上的未知量。
结构的问题通常是以变位(displacement)为未知量。
2D时每个节点有二个自由度,3D时每个节点有三个自由度。
在图2-13中的3D四面体元素,共有四个节点,每个四个节点上有三个自由度,所以共有12个自由度,表示成{d}。
假设每个节点上的自由度分别用ux、uy、uz来表示,而四个节点分别用i、j、k、l来表示,则这个元素的自由度可以表示成
(2.13)
图2-13自由度
对热分析而言,自由度通常是指温度,也就是说未知量是温度。
对流场分析而言,其自由度则相当复杂,包括了流速(vx、vy、vz)还有压力(p)等。
而对电场分析
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