函数与极限练习题.doc
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函数与极限练习题.doc
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第一章函数与极限
§1函数
一、是非判断题
1、在X上有界,在X上无界,则在X上无界。
[]
2、在X上有界的充分必要条件是存在数A与B,使得对任一都有
[]
3、都在区间I上单调增加,则也在I上单调增加。
[]
4、定义在()上的常函数是周期函数。
[]
5、任一周期函数必有最小正周期。
[]
6、为()上的任意函数,则必是奇函数。
[]
7、设是定义在上的函数,则必是偶函数。
[]
8、f(x)=1+x+是初等函数。
[]
二.单项选择题
1、下面四个函数中,与y=|x|不同的是
(A)(B)(C)(D)
2、下列函数中既是奇函数,又是单调增加的。
(A)sin3x(B)x3+1(C)x3+x(D)x3-x
3、设是
(A)(B)(C)(D)
4、若为奇函数,则也为奇函数。
(A)(B)(C)(D)
三.下列函数是由那些简单初等函数复合而成。
1、y=
2、y=
3、y=
四.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列函数的定义域。
(1)f(
(2)f(sinx)
(3)f(x+a)(a>0)
(3)f(x+a)+f(x-a)(a>0)
五.设,,求及。
六.利用的图形作出下列函数的图形:
1.2。
3.4。
5.6。
§2数列的极限
一是非判断题
1、当n充分大后,数列与常数A越来接近,则[]
2、如果数列发散,则必是无界数列。
[]
3。
如果对任意存在正整数N,使得当n>N时总有无穷多个满足|,
则[]
4、如果对任意数列中只有有限项不满足|,则[]
5、若数列收敛,列发散,则数列发散。
[]
二.单项选择题
1、根据的定义,对任给存在正整数N,使得对n>N的一切xn,不等式都成立这里的N。
(A)是的函数N(),且当减少时N()增大;(B)是由所唯一确定的
(C)与有关,但给定时N并不唯一确定(D)是一个很大的常数,与无关。
2、则。
(A)(B)
(C)(D)
3、数列有界是数列收敛的。
(A)充分条件;(B)必要条件;
(C)充分必要条件;(D)既非充分又非必要条件。
4、下列数列中,收敛的是。
(A)(B)(C)(D)
三.根据数列极限的定义证明。
(1)
(2)
(3)(4)
四、若,又数列有界,则。
五、若,证明。
反过来成立吗?
成立给出证明,不成立举出
反例。
§3函数的极限
一是非判断题
1、如果=5,但不存在。
[]
2、存在的充分必要条件是和都存在。
[]
3、如果对某个存在使得当0<时,有那末[]
4、如果在的某一去心邻域内,且[]
5、如果且那么必有使在以外时[]
二.单项选择题
1、从不能推出。
(A)(B)(C)(D)
2、在处有定义是存在的。
(A)充分条件但非必要条件;(B)必要条件但非充分条件
(C)充分必要条件;(D)既不是充分条件也不是必要条件
3、若则。
(A)(B)
(C)(D)以上等式都不成立
4、是存在的。
(A)充分条件但非必要条件;(B)必要条件但非充分条件
(C)充分必要条件;(D)既不是充分条件也不是必要条件
四.根据函数极限的定义证明
(1)
(2)
(3)(4)
五.求
六.设f(x)=
求
(1)
(2)(3)
七.设函数,求
(1)
(2)(3)(4)(5)
§4无穷小与无穷大
一、是非题
1、零是无穷小。
[]
2、是无穷小。
[]
3、两个无穷小之和仍是无穷小。
[]
4、两个无穷小之积仍是无穷小。
[]
5、两个无穷大之和仍是无穷大。
[]
6、无界变量必是无穷大量。
[]
7、无穷大量必是无界变量。
[]
8、时的无穷小,则对任意常数A、B、C、D、E,
也是时的无穷小。
[]
二.单项选择题
1、若x是无穷小,下面说法错误的是。
(A)x2是无穷小;(B)2x是无穷小;(C)x-0.0001是无穷小;(D)-x是无穷小。
2、在X→0时,下面说法中错误的是。
(A)xsinx是无穷小(B)(C)sin是无穷大;(D)是无穷大。
3、下面命题中正确的是。
(A)无穷大是一个非常大的数;(B)有限个无穷大的和仍为无穷大;
(C)无界变量必为无穷大;(D)无穷大必是无界变量。
三.下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量
(1)lnx及
(2)
(3)及(4)、及
四.证明函数在内无界,但当时,这函数不是无穷大。
§5极限的运算法则
一.是非题
1、R是有理分式,且是多项式,那末
[]
2、[]
3、[]
4、若[]
二.计算下列极限
(1)
(2)
(3)(4)
5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
(11)(12)
(13)(14)
四.已知,求常数和。
五.已知,求常数和。
§6极限存在准则,两个重要极限
一.是非题
1、且当n>N时有[]
2、如果数列满足:
(1);
(2)xn>xn+1(n=1,2…).则xn必有
极限[]
3、[]
4、[]
5.[]
二.单项选择题
1、下列极限中,极限值不为0的是。
(A)(B)(C)(D)
2、若。
(A)A>B(B)A≥B(C)|A|>B(D)|A|≥|B|
3、的值是。
(A)e(B)e1000(C)e·e1000(D)其它值
4、。
(A)1(B)-1(C)0(D)
5、。
(A)-1(B)1(C)0(D)不存在
三.计算下列极限
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)(k为正整数)
(9)
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