完整版高等数学微分方程试题.docx
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完整版高等数学微分方程试题
第十二章微分方程
§12-1微分方程的基本概念
、判断题1.y=ce2x(c的任意常数)是y=2x的特解。
2.y=(y)3是二阶微分方程。
3.微分方程的通解包含了所有特解。
4.若微分方程的解中含有任意常数,则这个解称为通解。
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
二、填空题
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是
函数y=3sinx-4cosx微分方程的解。
A)(y)+x2y+x2=0(B)(y)2+3x2y=x3(C)y+3y+y=0(D)y-y2=sinx
222x3x
1.yCx2C2(其中C为任意常数)2.yC1e2xC2e3x(其中C1,C2为任意常数)
五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下,已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体,在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
22
2.(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0
3.(ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=0
4.y=cos(x-y).(提示令.x-y=z)
、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1.cosydx+(1+e-x)sinydy=0.yx=0=
4
、设f(x)=x+0xf(u)du,f(x)是可微函数,求f(x)
四、求一曲线的方程,曲线通过点(0.1),且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连
线。
五、船从初速v0=6米/秒而开始运动,5秒后速度减至一半。
已知阻力与速度成正比,试求船速随时间变化的规律。
12-3齐次方程
一、求下列齐次方程的通解
yyy
1xy-xsin02(x+ycos)dx-xcosdy=0
xxx
求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
三、求方程:
(x+y+1)dx=(x-y+1)dy的通解
P(x,y),曲线孤与OP直线段OP所围图形的面积为x2,求曲线孤OA的方程。
12.4一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.
xy+y=xex2.y+ytanx=sin2x
二、求下列微分方程满足初始条件的特解
四、质量为M0克的雨滴在下落过程中,由于不断蒸发,使雨滴的质量以每秒m克的速率
减少,且所受空气阻力和下落速度成正比,若开始下落时雨滴速度为零,试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、
12-4全微分方程
一、求下列方程通解
22
1.[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=0
2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0
3.eydx+(xey-2y)dy=0
、利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解
1ydx-xdy+y2xdx=0
2y(2xy+ex)dx-exdy=0
三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程,其中函数f(x)连续可微,f(0)=0,试求函数f(x),并求该方程的通解。
12-7可降阶的高阶微分方程
一、求下列各微分方程的通解
1.y=xsinx2.y-y=x
4.
3.yy+(y)2=y
y(1+ex)+y=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1.2y=sin2yyx0yx01
2
2.xy-ylny+ylnx=0yx12yx1e
四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下,若斜面的倾角为,摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
12-8高阶线性的微分方程
一、选择题
1.下列方程中为线性微分方程
1y=c1x2+c2x2lnx(c1c2是任意常数)是方程x2y-3xy+4y=0的通解
、设y1(x)y2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解,且y1(x)y2(x).y3(x).线性无关,
证明:
微分方程的通解为:
yc1y1(x)c2y2(x)(1c1c2)y3(x)
12-9二阶常系数齐次线性微分方程
、选择题
1以y1=cosx,y2=sinx为特解的方程是
(A)y
y
0(B)y
y0
(C)y
y
0(D)yy
0
2.微分方程2
yyy
0的通解是
(A)y
x
c1e
2x
c2e(B)
xyc1e
x
c2e2(
C)y
x
x2c1ec2e2
(D)y
x2xc1ec2e
3.常微分方程
y(12
)y12
y0,
(其中
1,2是不等的系数),
在初始条件
y1x=0=y
x0
0特解是
(A)y=0
(B)y=c1e1x
2xc2e2
(C)y
1
2
2x(D)y
(1
2)x2
4.y
e是微分方程y
py
6y
0的一个特解,则此方程的通解是
(A)
2x3xyc1ec2e
(B)
y(c1xc2)e2x
(C)
2x3xyc1ec2e
(D)
ye2x(c1sin3x
c2cos3x)
5.y
(A)
c1exc2ex是微分方程
的通解
yy0(B)y
y
0(C)yy0(D)
yy0
二、求下列微分方程的通解
1.y
5y0
2.y4y4y
0
三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1.y2y10y0yx01y1x02
d2xdx
2.3x0
dtdt
四、一质量为m的质点由静止(t=0,v=0)开始滑入液体,下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比(比例系数为k),求此质点的运动规律。
12-10二阶常数非齐次线性微分方程
、选择题
2.微分方程y
yex1的特解y*形式为
(A)aex
b(B)axexb(C)aex
bx(
D)axexbx
3.微分方程
2x
y2uxe
的特解y*形式为
2x
2x
2x
2
(A)x(ax
b)e(B)(axb)e(C)
xe
(D)(axbx
4.微分方程
y4ycos2
x的特解y*形式为
(A)acos2x
(B)axcos2x
(C)x(acos2x+bsin2x)
(D)acos2x+bsin2x
5.微分方程
2
yyxsin
x的特解形式为y*=
(A)(ax+b)
sin2x
(B)(ax+b)sin
22
2x+(cx+d)cos2x
(C)(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x
(D)(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f
6.微分方程
y4y5y
exsin5x的特解形式为
(A)aex
bsin5x
(B)aexbcos5xcsin5x
(C)axex
bsin5x
(D)axex
bcos5x
csin5x
二、求下列各方程的通解
1.y2y
xyxe
2.
y7y
6ysinx
(A)ax
(B)ax+b
c)e2x
(D)ax2bx
2
(C)ax2
四、已知二阶常系数微分方程yy
y(x2)有特解y*ex1x26x,求
的值,并求该方程的通解
五、k为常数。
试求y2kyk2yex的通解。
七、一链长18cm,挂在光滑的圆钉上,一边垂下8cm,另一边垂下10cm,问整个链子滑过钉子需要多少时间?
第十二章自测题一
填空题
1.已知曲线y=y(x)过点(0,12)且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1+x2),则f(x)=
3。
微分方程ydx+(c2-4x)dy=0的通解为
4.微分方程yylnxax的通解为
5.已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
三、求解下列微分方程
1
2.求yyx的通解
1ex
四、求yyxsinx的通解。
五、已知y1xexe2x,y2xexex,y3xexe2xex是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
六、已知函数f(x)可微,且对任意实数x,y满足:
f(x+y)=exf(y)eyf(x),求此函数f(x).
七、火车沿水平直线轨道运动,设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常
数,v为火车的速度,若已知火车的初速度与初位移均为零,求火车的运动规律s=s(t).
第十二章自测题二
一、单项选择题
1.设y=f(x)是方程y2y4y0的解,若f(x0)0,则f(x)在x0点
(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)某邻域内单调递增;(D)某邻域内单调递减;
2x
2.函数y3e2x是方程y4y0的
(A)通解;(B)特解;(C)解,但既非通解也非特解(D)以上都不对
3.微分方程2y5ycos2x的特解应具有形式(其中,a,b,c为常数)
22
(A)x(acosxbsinx);(B)axbcos2xcsin2x
(C)a+bcos2x;(D)ax2+bcos2x+csin2x
3x
4.微分方程y6y9yxe3x特解应具有形式
A)(Ax+Bx)e3x(B)x(Ax+B)e3x(C)x2(Ax+B)e3x(D)Ax3e3x
5.设一动点以等加速度a作直线运动,且其初速度为v0,初始位移为s0,则此质点规律是
1222
A)s=v0+s0;(B)s2atv0ts0(C)sv0ts0;(D)satv0ts0
6函数f(x)满足关系式f(x)20xf(t)dt1n2,则f(x)
(A)1n2·ex;(B)1n2·e2x;(C)ex+ln2;(D)e2x+ln2.
、填空题
1.微分方程yy2y0的通解y=
2.以122为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以ex,exsinx,excosx为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程y2y3通解y
三、判断下列方程的类型并求其解
1.求ydx(3x2y5)dy0满足yx02的特解
12y2.求(xey+1)dx+(x2eyy)dy=0的通解
2四、求微分方程的y5y6yxe2x的通解
22五、已知函yf(x)的图形经过原点和点M(1,2),且满足微分方程yy20,求1y
专业班级学号姓名成绩时间189f(x).
六、设二阶常数线性微分方程yayyex的一个特解为ye2x(1x)ex,试确定常数,,,并求该方程的通解
七、设函数f(x)连续可微,f
(1)1,且对任意闭曲线C都有4x3ydxxf(x)dy0,
C
求f(x).
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