圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案.doc
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圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案.doc
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1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线外一点的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦AB的交点为Q。
(1)求证:
抛物线切点弦的方程为;
(2)求证:
.
2.已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且
(1)动点N的轨迹方程;
(2)线l与动点N的轨迹交于A,B两点,若,求直线l的斜率k的取值范围.
3.如图,椭圆的左右顶点分别为A、B,P为双曲线右支上(轴上方)一点,连AP交C1于C,连PB并延长交C1于D,且△ACD与△PCD的面积相等,求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.
4.已知点,动点满足条件.记动点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.
5.已知曲线C的方程为:
kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)
(Ⅰ)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;
(Ⅱ)若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;
(Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P,Q关于直线l:
y=x-1对称,若存在,求出过P,Q的直线方程;若不存在,说明理由。
6.如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若,求点P的坐标.
7.已知为椭圆的右焦点,直线过点且与双曲线的两条渐进线分别交于点,与椭圆交于点.
(I)若,双曲线的焦距为4。
求椭圆方程。
(II)若(为坐标原点),,求椭圆的离心率。
8.设曲线(为正常数)与在轴上方只有一个公共点。
(Ⅰ)求实数的取值范围(用表示);
(Ⅱ)为原点,若与轴的负半轴交于点,当时,试求的面积的最大值(用表示)。
1.
(1)略
x
y
O
(2)为简化运算,设抛物线方程为,点的坐标分别为,点,直线,
一方面。
要证
化斜为直后
只须证:
由于
另一方面,由于所以切点弦方程为:
所以
从而
即
2.
(1)设动点N的坐标为(x,y),则…………………2分
,因此,动点的轨迹方程为……4分
(2)设l与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),当l与x轴垂直时,
则由,不合题意,
故与l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由…6分
由点A,B在抛物线
又y2=4x,y=kx+b得ky2-4y+4b=0,……………………8分
所以……10分
因为解得直线l的斜率的取值范围是.………………………………………………………………12分
3.由题意得C为AP中点,设,
把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得
解之得:
故直线PD的斜率为,直线PD的方程为
联立,故直线CD的倾斜角为90°
4.解法一:
(Ⅰ)由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支,实
半轴长
又半焦距c=2,故虚半轴长
所以W的方程为,
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为,
当AB⊥x轴时,从而从而
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得
故
所以
.
又因为,所以,从而
综上,当AB⊥轴时,取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为,则,,则
令
则且所以
当且仅当,即时””成立.
所以的最小值是2.
5.
(1)当k=0或k=-1或k=4时,C表示直线;当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为
即是0 (Ⅲ)若存在,设直线PQ的方程为: y=-x+m 方程 (2)的△>0,∴存在满足条件的P、Q,直线PQ的方程为 6. (1)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴 b=, 所以椭圆的方程为 (2)由得 ① 因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中, ② 将①代入②,得 故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上. 由 (1)知,点P的坐标又满足,所以 由方程组解得 即P点坐标为 7.解: (I),是直线与双曲线两条渐近线的交点, ,即………………2分 双曲线的焦距为4,……………………4分 解得,椭圆方程为…………5分 (II)解: 设椭圆的焦距为,则点的坐标为 , 直线的斜率为,直线的斜率为, 直线的方程为…………………………………………7分 由解得即点 设由,得 即……10分。 点在椭圆上,………………………………12分 , 椭圆的离心率是。 8.(Ⅰ)由, ……① 设,则问题(Ⅰ)转化为方程①在区间上有唯一解: ①若,此时,当且仅当,即适合; ②若,则; ③若,此时,当且仅当,即时适合;若,此时,但,从而。 综上所述,当时,或;当时,。 (Ⅱ)的面积是。 因为,所以有两种情形: ①当时,,由唯一性得。 显然,当时,取得最小值,从而取得最大值,所以有; ②当时,,,此时。 因此,有 当,即时,;当,即时,。
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