天津市高考数学试卷理科.doc
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2015年天津市高考数学试卷(理科)
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=( )
A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为( )
A.3 B.4 C.18 D.40
3.(5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A.﹣10 B.6 C.14 D.18
4.(5分)(2015•天津)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
A. B.3 C. D.
6.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1
C.﹣=1 D.﹣=1
7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a
8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,) C.(0,) D.(,2)
二.填空题(每小题5分,共30分)
9.(5分)(2015•天津)i是虚数单位,若复数(1﹣2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .
10.(5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积为 m3.
11.(5分)(2015•天津)曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 .
12.(5分)(2015•天津)在(x﹣)6的展开式中,x2的系数为 .
13.(5分)(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为 .
14.(5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则•的最小值为 .
三.解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]内的最大值和最小值.
16.(13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
17.(13分)(2015•天津)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面ABCD
(Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.
18.(13分)(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
19.(14分)(2015•天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.
(Ⅰ)求直线FM的斜率;
(Ⅱ)求椭圆的方程;
(Ⅲ)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
20.(14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx﹣xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:
对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:
|x2﹣x1|<+2.
2015年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=( )
A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可;
【解答】解:
∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},
∴∁UB={2,5,8},
则A∩∁UB={2,5}.
故选:
A.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为( )
A.3 B.4 C.18 D.40
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
【解答】解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
(阴影部分).
由z=x+6y得y=﹣x+z,
平移直线y=﹣x+z,
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得,即A(0,3)
将A(0,3)的坐标代入目标函数z=x+6y,
得z=3×6=18.即z=x+6y的最大值为18.
故选:
C.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
3.(5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A.﹣10 B.6 C.14 D.18
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6.
【解答】解:
模拟执行程序框图,可得
S=20,i=1
i=2,S=18
不满足条件i>5,i=4,S=14
不满足条件i>5,i=8,S=6
满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.
4.(5分)(2015•天津)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:
由“|x﹣2|<1”得1<x<3,
由x2+x﹣2>0得x>1或x<﹣2,
即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件,
故选:
A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.
5.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
A. B.3 C. D.
【分析】由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可.
【解答】解:
由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB,
∴2×4=AM•2AM,
∴AM=2,
∴MN=NB=2,
又CN•NE=AN•NB,
∴3×NE=4×2,
∴NE=.
故选:
A.
【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.
6.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1
C.﹣=1 D.﹣=1
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.
【解答】解:
由题意,=,
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,
∴c=,
∴a2+b2=c2=7,
∴a=2,b=,
∴双曲线的方程为.
故选:
D.
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a
【分析】根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=2|x|﹣1,这样便知道f(x)在[0,+∞)上单调递增,根据f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间[0,+∞)上:
a=f(|log0.53|),b=f(log25),c=f(0),然后再比较自变量的值,根据f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比较出a,b,c的大小.
【解答】解:
∵f(x)为偶函数;
∴f(﹣x)=f(x);
∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1;
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;
(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;
∴mx=0;
∴m=0;
∴f(x)=2|x|﹣1;
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(0);
∵0<log23<log25;
∴c<a<b.
故选:
C.
【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用.
8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,) C.(0,) D.(,2)
【分析】求出函数y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数h(x)=f(x)+f(2﹣x),作出函数h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:
∵g(x)=b﹣f(2﹣x),
∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣b+f(2﹣x),
由f(x)﹣
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