数列知识点所有性质总结.doc
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数列知识点所有性质总结.doc
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一、等差数列
1.等差数列的定义:
(d为常数)();
2.等差数列通项公式:
,首项:
,公差:
d,末项:
推广:
.从而;
3.等差中项
(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:
或
(2)等差中项:
数列是等差数列
4.等差数列的前n项和公式:
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项
(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1)定义法:
若或(常数)是等差数列.
(2)等差中项:
数列是等差数列.
⑶数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:
若或(常数)是等差数列.
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项
②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);
③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2)
8..等差数列的性质:
(1)当公差时,
等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;
前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
注:
,
(4)若、为等差数列,则都为等差数列
(5)若{}是等差数列,则,…也成等差数列
(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
(7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和
1.当项数为偶数时,
2、当项数为奇数时,则
(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)、的前和分别为、,且,
则.
(9)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和
(10)求的最值
法一:
因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
法二:
(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当由可得达到最大值时的值.
(2)“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即当由可得达到最小值时的值.或求中正负分界项
法三:
直接利用二次函数的对称性:
由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。
若Sp=Sq则其对称轴为
注意:
解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:
即运用条件转化为关于和的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
二、等比数列
1.等比数列的定义:
,称为公比
2.通项公式:
,首项:
;公比:
推广:
,从而得或
3.等比中项
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项.即:
或
注意:
同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列是等比数列
4.等比数列的前n项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5.等比数列的判定方法
(1)用定义:
对任意的n,都有为等比数列
(2)等比中项:
(0)为等比数列
(3)通项公式:
为等比数列
(4)前n项和公式:
为等比数列
6.等比数列的证明方法
依据定义:
若或为等比数列
7.注意
(1)等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;
如奇数个数成等差,可设为…,…(公比为,中间项用表示);
8.等比数列的性质
(1)当时
①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数,底为公比
②前n项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比
(2)对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3)若m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当n+m=2k时,得
注:
(4)列,为等比数列,则数列,,,(k为非零常数)均为等比数列.
(5)数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列
(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7)若为等比数列,则数列,,,成等比数列
(8)若为等比数列,则数列,,成等比数列
(9)①当时,②当时,
③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列中,当项数为2n(n)时,,.
(11)若是公比为q的等比数列,则
三、等差数列与等比数列性质的比较
等差数列性质
等比数列性质
1、定义
;
2、通项
公式
3、前n项和
4、中项
a、A、b成等差数列A=;
是其前k项与后k项的等差中项,即:
=
a、A、b成等比数列
(不等价于,只能);
是其前k项与后k项的等比中项,即:
5、下标和公式
若m+n=p+q,则
特别地,若m+n=2p,则
若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则
6、首尾项性质
等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和,即:
等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积,即:
7、结论
{}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列
{}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列
(两个等差数列的和仍是等差数列)
等差数列{},{}的公差分别为,则数列{}仍为等差数列,公差为
(两个等比数列的积仍是等比数列)
等比数列{},{}的公比分别为,则数列{}仍为等比数列,公差为
取出等差数列的所有奇(偶)数项,组成的新数列仍为等差数列,且公差为
取出等比数列的所有奇(偶)数项,组成的新数列仍为等比数列,且公比为
若则
无此性质;
若则
无此性质;
若
无此性质;
成等差数列,
公差为
成等差数列,公比为
当项数为偶数时,
当项数为奇数时,
,
当项数为偶数时,
当项数为奇数时,
8、等差(等比)数列的判断方法
①定义法:
②等差中项概念;
③函数法:
关于n的一次函数数列是首项为p+q,公差为p的等差数列;
④数列的前n项和形如(a,b为常数),那么数列是等差数列,
①定义法:
②等差中项概念;
③函数法:
(均为不为0的常数,),则数列是等比数列.
④数列的前n项和形如
(均为不等于0的常数且q≠1),则数列是公比不为1的等比数列.
9、共性
非零常数列既是等差数列又是等比数列
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