新导数与数列求和01.docx
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新导数与数列求和01
以下不等式需要记住,这些公式经常结合数列进行命题,前5个需牢记!
①(仅当x=1时取“=”),y=lnx在(1,0)处的切线方程为y=x-1.
②(仅当x=0时取“=”),y=ln(x+1)在(0,0)处的切线方程为y=x.
③,y=ex在(0,1)处的切线方程为y=x+1.
④,y=e-x在(0,-1)处的切线方程为y=-x+1.
⑤sinx<x<tanx,;
⑥;
⑦;
⑧;
可以用“数形结合”的方法记忆。
一、公式①的应用:
(仅当x=1时取“=”),y=lnx在(1,0)处的切线方程为y=x-1.
(1)求证:
n∈N*时,.
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
取x=n,n∈N*,则n-1≥lnn,即有n≤en-1.
即有1+2+…+n≤1+e+e2+…+en-1.
则有n(n+1)≤,
即有n∈N*时,n(n+1)≤2.
(2)求证:
对于任意n∈N,n≥2有:
.
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),令x=n2(n∈N*,n≥2),
则lnn2<n2-1,
∴,
∴
,
∴,
∴对于任意n∈N,n≥2有:
。
(3)设bn=,证明:
b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N*,n≥2).
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
令x=n+1,则ln(n+1)≤n.
∴n≥2时,bn=<
,
∴b1+b2+…+bn<b1+
<1+ln2.
(4)当m>n>1(m,n∈Z)时,证明:
.
证明:
当m>n>1,(m.n∈Z)时,
(5)求证:
对任意的n∈N*,,(e为自然对数的底数.e≈2.71828)。
证明:
因为lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
所以ln(1+x)≤x(当x=0时等号成立),
(6)求证:
当n∈N+时,.
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
(7)设各项为正数的数列{an}满足a1=1,an+1=lnan+an+2(n∈N*),求证:
an≤2n-1.
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
由已知条件an>0,
令x=an,则lnan≤an-1,
∴an+1=lnan+an+2≤an-1+an+2=2an+1,
(8)求证:
,其中n≥2,n∈N*.
证明:
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
(9)求证:
,(n∈N+)
证明:
证明:
ln(x+1)≤x(当x=0,时等号成立),
(10)证明对任意的n∈N*都有.
证明:
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
(11)求证:
,(n≥2,n∈N*).
(12)求证:
,(n∈N*)
证明:
证明:
lnx≤x-1(当x=1,时等号成立),
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- 导数 数列 求和 01