球的主要性质.doc
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球的主要性质
性质1.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆,其余的截面
都叫做球的小圆.
已知球的半径为.
(1)若截面经过球心.
如图1,设是截面与球面的任意一个交点,连接.
由球的定义可知,,所以点的轨迹是以为圆心,为
半径的圆,即该截面是圆.
(2)若截面不经过球心.
如图1,设球心在截面上的射影为,是截面与球面的任意一个交点,连接,
和,则为定值,且也为定值,所以为定值,
因此,点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,即该截面也是圆.
性质2.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之,球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
如图2所示,若圆是球的小圆,则.
证明:
如图,设,分别是圆的两条直径,连接,
,,,.
依题意可得,所以.
同理可得,又因为,所以.
性质3.如图2,设球的半径为,球的小圆的圆心为,半径为,球心
到小圆的距离,则由性质2得,或.
性质4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心.
如图3,设球的两个平行截面的圆心分别为,,连接,
,由性质3可知,,又因为,
所以.同理可得,,且,
所以,,三点共线,因此,垂直于和,且.
性质5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
性质6.若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上,则该球的球心是直棱柱的两
个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
例1.(10年·第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一
个球面上,则该球的表面积为()
(A)(B) (C)(D)
解:
如图,设球心为,半径为,底面△的中心为,
连接,和.依题意得,,,
,,故选(B).
例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若,
,则此球的表面积等于.
解:
如图,设球心为,底面的外接圆的圆心为,半径为,连接,和.
由余弦定理得,
,再由正弦定理得,,,即.
又由性质6得,,此球的表面积.
性质7.设底面边长为,侧棱长为的正四棱锥的顶点都在一个球面上,则该球
的半径.
证明:
如图4,设正方形的中心为,球心为,连接
,,,则点在上,且.
依题意得,,,
即,.
例3.(11年·第15题)已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上,且
,,则棱锥的体积为_______.
解:
如图,设点是点在底面上的射影,连接,
.依题意得,,
棱锥的体积为.
性质8.设正三棱锥的底面边长为,侧棱长为的所有顶点都在一个球
面上,则该球的半径.
证明:
如图5,设点在底面上的射影为,球心为,
半径为,则点在上,且.
依题意得,,,
即,
,即,.
例4.(15年·第9题)已知,是球的球面上两点,,为该球面
上的动点.若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为()
(A) (B)
(C) (D)
解:
如图,设球的半径为,,,
依题意可知,当,即时,三棱锥
体积取得最大值,这时有,,
球的表面积为,故选(C).
例5.(12年·第11题)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,△
是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为()
(A)(B)(C)(D)
解:
如图,连接,.为球的直径,是的中点,点到底
面的距离等于点到底面的距离的,
,三棱锥是正三棱锥,在底面
的射影等于,三棱锥的高,
,故选(A).
例6.(08年·第14题)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该
六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,则这个球的
体积为 .
解:
如图,在六棱柱中,连接,,,,和.
由平面几何知识可知,,,
是矩形,又由已知得,.
六棱柱的侧棱垂直于底面,
是长方体.
设,则六棱柱的体积为,
,该球的半径为,该球的体积为.
例7.已知球的直径,、是该球球面上的两点,,
,则棱锥的体积为()
(A) (B) (C) (D)
解:
如图,是球的直径,,
又,,,.
过,连接,由平面几何的知识可知,,且,,棱锥的体积
,又,.
例8.高为的四棱锥的底面是边长为的正方形,点、、、、
均在半径为的同一个球面上,则底面的中心与顶点之间的距离为()
(A) (B) (C) (D)
解:
如图,设四棱锥的外接球的球心为,顶点在底面的射影为,底面的中心为,连接,,,则依题意得.
在△中,,,,
过作,垂足为.
,,,
,是矩形,,
,.
例9.已知在半径为的球面上有、、、四点,若,则四面体
的体积的最大值为()
(A)(B)(C)(D)
解:
如图,设球心为,连接,,,,则四面体可分为四个三棱锥,,和.
依题意得,而使得三棱锥和的
体积之和最大,只需即可.
同理,当时,三棱锥和体积之和最大,
因此,四面体的体积的最大值为,故选(B).
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