空间角专题复习.doc
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空间角专题复习.doc
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空间角专题复习
●知识梳理
一、异面直线所成的角及求法
(1)定义:
在空间任意取一点,过该点分别作两异面直线的________所成的_____________称为两异面直线所成的角.
(2)取值范围:
若θ是异面直线a和b所成的角,则其取值范围是________,当θ=时,称异面直线a和b________,记为________.
(3)求法:
________:
将两异面直线中的一条或两条_____至某特殊点后,构造________,通过解该三角形而求其大小;
二、直线与平面所成的角及求法
(1)定义:
设l和α分别表示直线与平面.①若l∥α或l⊂α,则称直线l和平面α所成的角为____;②若l⊥α,则称l与α所成的角为____;③若l与α相交,则l与l在α内的______所成的________为直线l与平面α所成的角.
(2)取值范围:
设θ是直线l与平面α所成的角,则θ的取值范围是__________.
(3)求法:
最常见又重要的方法是定义法:
即探寻直线l在平面α内的_____,(通常由垂直法找射影)构造直线l与平面α所成角对应的_________,通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角.
三、二面角及求法
(1)定义:
在二面角的棱上_______,分别在二面角的两个面内作棱的_____,则这_________所成的角称为该二面角的_______,且用二面角的平面角的大小作为该______的大小.
(2)取值范围:
规定二面角的取值范围为_________.
(3)求法:
最常见又重要的方法是定义法:
即分别在二面角的两个面内作棱的_________,则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角
●练习提升
1.设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小范围为集合R,则P、Q、R的关系为( )
A.R=P⊆Q B.R⊆P⊆Q
C.P⊆R⊆QD.R⊆P=Q
2.如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60°D.90°
3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为( )
A. B.
C.D.
4.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将菱形沿对角线AC
折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的余弦值为( )
A.B.
C.D.
5.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为( )
A.90°B.60°
C.45°D.30°
6.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,对于下列结论:
①AC⊥BD;②△ADC是正三角形;③AB与CD成60°角;④AB与平面BCD成60°角.则其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
过顶点B、D、C1作截面,
则二面角B-DC1-C的平面角的余弦值是________.
8.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=。
AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
(1)证明:
(i)EF∥A1D1;(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
9.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小.
10.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:
AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值;
(3)求二面角P-EC-D的正切值.
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