高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题.doc
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高一数学圆的方程典型例题
类型一:
圆的方程
例1求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系.
分析:
欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点与圆的位置关系,只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
解法一:
(待定系数法)
设圆的标准方程为.∵圆心在上,故.∴圆的方程为.又∵该圆过、两点.
∴解之得:
,.所以所求圆的方程为.
解法二:
(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过、两点,所以圆心必在线段的垂直平分线上,又因为,故的斜率为1,又的中点为,故的垂直平分线的方程为:
即.
又知圆心在直线上,故圆心坐标为∴半径.
故所求圆的方程为.又点到圆心的距离为
.∴点在圆外.
例2求半径为4,与圆相切,且和直线相切的圆的方程.
解:
则题意,设所求圆的方程为圆.
圆与直线相切,且半径为4,则圆心的坐标为或.
又已知圆的圆心的坐标为,半径为3.
若两圆相切,则或.
(1)当时,,或(无解),故可得.∴所求圆方程为,或.
(2)当时,,或(无解),.
∴所求圆的方程为,或.
例3求经过点,且与直线和都相切的圆的方程.
分析:
欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.
解:
∵圆和直线与相切,∴圆心在这两条直线的交角平分线上,
又圆心到两直线和的距离相等.
∴.∴两直线交角的平分线方程是或.
又∵圆过点,∴圆心只能在直线上.
设圆心∵到直线的距离等于,
∴.化简整理得.解得:
或
∴圆心是,半径为或圆心是,半径为.
∴所求圆的方程为或.
例4、设圆满足:
(1)截轴所得弦长为2;
(2)被轴分成两段弧,其弧长的比为,在满足条件
(1)
(2)的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程.
解法一:
设圆心为,半径为.则到轴、轴的距离分别为和.
由题设知:
圆截轴所得劣弧所对的圆心角为,故圆截轴所得弦长为.
∴又圆截轴所得弦长为2.∴.
又∵到直线的距离为
∴
当且仅当时取“=”号,此时.
这时有∴或又
故所求圆的方程为或
解法二:
同解法一,得
.∴.∴.
将代入上式得:
.
上述方程有实根,故,∴.
将代入方程得.又 ∴.由知、同号.
故所求圆的方程为或.
类型二:
切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5 已知圆,求过点与圆相切的切线.
解:
∵点不在圆上,∴切线的直线方程可设为
根据
∴解得所以即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为.
说明:
上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用,求出切点坐标、的值来解决,此时没有漏解.
例6两圆与相交于、两点,求它们的公共弦所在直线的方程.
分析:
首先求、两点的坐标,再用两点式求直线的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.
解:
设两圆、的任一交点坐标为,则有:
① ②
①-②得:
.
∵、的坐标满足方程.
∴方程是过、两点的直线方程.
又过、两点的直线是唯一的.
∴两圆、的公共弦所在直线的方程为.
练习:
1.求过点,且与圆相切的直线的方程.
解:
设切线方程为,即,
∵圆心到切线的距离等于半径,
∴,解得,
∴切线方程为,即,
当过点的直线的斜率不存在时,其方程为,圆心到此直线的距离等于半径,
故直线也适合题意。
所以,所求的直线的方程是或.
2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为
解:
设直线方程为,即.∵圆方程可化为,∴圆心为(2,-1),半径为.依题意有,解得或,∴直线方程为或.
3、已知直线与圆相切,则的值为.
解:
∵圆的圆心为(1,0),半径为1,∴,解得或.
类型三:
弦长、弧问题
例8、求直线被圆截得的弦的长.
例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
解:
依题意得,弦心距,故弦长,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为.
例10、求两圆和的公共弦长
类型四:
直线与圆的位置关系
例11、已知直线和圆,判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
解:
∵曲线表示半圆,∴利用数形结合法,可得实数的取值范围是或.
例13圆上到直线的距离为1的点有几个?
分析:
借助图形直观求解.或先求出直线、的方程,从代数计算中寻找解答.
解法一:
圆的圆心为,半径.
设圆心到直线的距离为,则.
如图,在圆心同侧,与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点,这两个交点符合题意.
又.
∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
∴符合题意的点共有3个.
解法二:
符合题意的点是平行于直线,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为,则,
∴,即,或,也即,或.
设圆的圆心到直线、的距离为、,则
,.
∴与相切,与圆有一个公共点;与圆相交,与圆有两个公共点.即符合题意的点共3个.
说明:
对于本题,若不留心,则易发生以下误解:
设圆心到直线的距离为,则.
∴圆到距离为1的点有两个.
显然,上述误解中的是圆心到直线的距离,,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.
到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.
练习1:
直线与圆没有公共点,则的取值范围是
解:
依题意有,解得.∵,∴.
练习2:
若直线与圆有两个不同的交点,则的取值范围是.
解:
依题意有,解得,∴的取值范围是.
3、 圆上到直线的距离为的点共有().
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
分析:
把化为,圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于,所以选C.
4、 过点作直线,当斜率为何值时,直线与圆有公共点,如图所示.
分析:
观察动画演示,分析思路.
P
E
O
y
x
解:
设直线的方程为
即
根据有
整理得
解得.
类型五:
圆与圆的位置关系
例14、判断圆与圆的位置关系,
例15:
圆和圆的公切线共有条。
解:
∵圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,∴.∵,∴两圆相交.共有2条公切线。
练习
1:
若圆与圆相切,则实数的取值集合是.
解:
∵圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,且两圆相切,∴或,∴或,解得或,或或,∴实数的取值集合是.
2:
求与圆外切于点,且半径为的圆的方程.
解:
设所求圆的圆心为,则所求圆的方程为.∵两圆外切于点,∴,∴,∴,∴所求圆的方程为.
类型六:
圆中的对称问题
例16、圆关于直线对称的圆的方程是
G
O
B
N
M
y
A
x
图3
C
A’
例17 自点发出的光线射到轴上,被轴反射,反射光线所在的直线与圆相切
(1)求光线和反射光线所在的直线方程.
(2)光线自到切点所经过的路程.
分析、略解:
观察动画演示,分析思路.根据对称关系,首先求出点的对称点的坐标为,其次设过的圆的切线方程为
根据,即求出圆的切线的斜率为
或
进一步求出反射光线所在的直线的方程为或
最后根据入射光与反射光关于轴对称,求出入射光所在直线方程为
或
光路的距离为,可由勾股定理求得.
说明:
本题亦可把圆对称到轴下方,再求解.
类型七:
圆中的最值问题
例18:
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
解:
∵圆的圆心为(2,2),半径,∴圆心到直线的距离,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.
例19
(1)已知圆,为圆上的动点,求的最大、最小值.
(2)已知圆,为圆上任一点.求的最大、最小值,求的最大、最小值.
分析:
(1)、
(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.
解:
(1)(法1)由圆的标准方程.
可设圆的参数方程为(是参数).
则
(其中).
所以,.
(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1,圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1.
所以..所以..
(2)(法1)由得圆的参数方程:
是参数.
则.令,得,
.所以,.
即的最大值为,最小值为.
此时.
所以的最大值为,最小值为.
(法2)设,则.由于是圆上点,当直线与圆有交点时,如图所示,
两条切线的斜率分别是最大、最小值.
由,得.所以的最大值为,最小值为.
令,同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值.
由,得.所以的最大值为,最小值为.
例20:
已知,,点在圆上运动,则的最小值是.
解:
设,则.设圆心为,则,∴的最小值为.
练习:
1:
已知点在圆上运动.
(1)求的最大值与最小值;
(2)求的最大值与最小值.
解:
(1)设,则表示点与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,取得最大值与最小值.由,解得,∴的最大值为,最小值为.
(2)设,则表示直线在轴上的截距.当该直线与圆相切时,取得最大值与最小值.由,解得,∴的最大值为,最小值为.
2设点是圆是任一点,求的取值范围.
分析一:
利用圆上任一点的参数坐标代替、,转化为三角问题来解决.
解法一:
设圆上任一点
则有,∴,∴
∴.即()
∴.又∵∴解之得:
.
分析二:
的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率,利用此直线与圆有公共点,可确定出的取值范围.
解法二:
由得:
,此直线与圆有公共点,故点到直线的距离.
∴解得:
.
另外,直线与圆的公共点还可以这样来处理:
由消去后得:
,
此方程有实根,故,解之得:
.
说明:
这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便.
3、已知点,点在圆上运动,求的最大值和最小值.
类型八:
轨迹问题
例21、基础训练:
已知点与两个定点,的距离的比为,求点的轨迹方程.
例22、已知线段的端点的坐标是(4,3),端点在圆上运动,求线段的中点的轨迹方程.
例23如图所示,已知圆与轴的正方向交于点,点在直线上运动,过做圆的切线,切点为,求垂心的轨迹.
分析:
按常规求轨迹的方法,设,找的关系非常难.由于点随,点运动而运动,可考虑,,三点坐标之间的关系.
解:
设,,连结,,
则,,是切线,
所以,,,
所以四边形是菱形.
所以,得
又满足,
所以即是所求轨迹方程.
说明:
题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.
例24已知圆的方程为,圆内有定点,圆周上有两个动点、,使,求矩形的顶点的轨迹方程.
分析:
利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.
解法一:
如图,在矩形中,连结,交于,显然,,
在直角三角形中,若设,则.
由,即,
也即,这便是的轨迹方程.
解法二:
设、、,则,.
又
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- 数学 方程 直线 位置 关系 典型 例题