高三数学暑假衔接第四讲.doc
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第4讲指、对、幂、二次函数
【考纲要求】
(1)二次函数
(2)指数函数
(3)对数函数:
④了解指数函数与对数函数互为反函数.
(4)幂函数:
(5)函数与方程:
①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
(6)函数模型及其应用
【教学重难点】
重点:
指数函数、对数函数、幂函数、图象变换、函数的零点;难点:
对数运算
【重难点命题方向】
|(基础送分型考点——自主练透)
1.幂函数的概念
形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.
2.幂函数的性质
(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义;
(2)幂函数的图象过定点(1,1);
(3)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
(4)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
例1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
例2.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( )
A.-3 B.1C.2D.1或2
例3.(安徽安庆三模)若(a+1)-<(3-2a)-,则实数a的取值范围是________________.
二次函数解析式的三种表示方法
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为抛物线顶点坐标;
(3)零点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
例1已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
|[多角探明]
归纳起来常见的命题角度有:
(1)二次函数的最值问题;
(2)二次函数中恒成立问题;
(3)二次函数的零点问题.
角度一:
二次函数的最值问题
例1.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,求a的值.
例2.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(x),求g(x).
角度二:
二次函数中恒成立问题
例3.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.
角度三:
二次函数的零点问题
例4.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求证:
对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
(2)若<t<,求证:
函数f(x)在区间(-1,0)及上各有一个零点.
指数与指数函数
|
(1)幂的有关概念:
①正分数指数幂:
a=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②负分数指数幂:
a==(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的性质:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
例:
求值与化简:
(1)0+2-2·-(0.01)0.5;
(2)a·b-2·(-3ab-1)÷(4a·b-3);
(3)
|
(1)当a>1时,指数函数的图象“上升”;当0<a<1时,指数函数的图象“下降”.
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),且函数图象经过第一、二象限.
例1.函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
例2.(·衡水模拟)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
变:
.若将典例2中“|y|=2x+1”改为“y=|2x-1|”,且与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.
.
归纳起来常见的命题角度有:
(1)比较指数式的大小;
(2)简单的指数方程或不等式的应用;
(3)探究指数型函数的性质.
角度一:
比较指数式的大小
例1.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.
角度二:
简单的指数方程或不等式的应用
例2.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
角度三:
探究指数型函数的性质
例3.已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
对数与对数函数
|(基础送分型考点——自主练透)
对数的运算
(1)loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0);
(2)loga=logaM-logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0);
(3)logaMn=nlogaM(a>0,且a≠1,M>0,n∈R);
(4)对数换底公式:
logbN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0);
(5)对数恒等式:
a=N(a>0,a≠1,N>0).
例1.(2013·陕西高考)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )
A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb
C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac
例2.计算下列各题:
(1)lg+lg70-lg3-;
(2)log3·log5[4-(3)-7].
|(题点多变型考点——全面发掘)
对数函数图象的特点
(1)当a>1时,对数函数的图象呈上升趋势;
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- 数学 暑假 衔接 第四
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