高三理科数学小综合专题练习--数列.doc
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高三理科数学小综合专题练习
——数列
一、选择题
1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=
A.138B.135C.95D.23
2.若为等比数列,且a1a100=64,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a100=
A.200B.300C.400D.500
3.设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=
A.B.C.D.
4.数列的首项为3,为等差数列且.若则,则()
A.0B.3C.8D.11
第1行
1
第2行
23
第3行
4567
……
……
5.一个正整数数表如右(表中下一行中的数
的个数是上一行中数的个数的2倍)则第
8行的第5个数是
A.68B.132
C.133D.260
二、填空题
6.已知数列{}中,,若,则=.
7.在数列{}中,已知,则=.
8.已知数列{}中,,,则.
9.设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则的值为.
10.定义“等和数列”:
在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为_____,这个数列的前项和的计算公式为______.
三、解答题
11.已知等比数列的各项均为正数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
12.设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2){an}的通项公式.
13.在数列中,已知,.
(1)求的值;
(2)求证数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(3)求数列前项和,并求的最小值.
14.已知数列的前n项和(为正整数).
(1)令,求证:
数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,试比较与3的大小,并予以证明。
15.数列中,.
(1)求数列的通项;
(2)若对任意的整数恒成立,求实数的取值范围;
(3)设数列,的前项和为,求证:
.
16.设数列满足且.
(1)求的通项公式;
(2)设,记,证明:
.
17.已知公差不为0的等差数列的首项为,设数列的前项和为,且,成等比数列.
(1)求数列的通项公式及.
(2)记,,当时,试比较与的大小.
18.等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求的值;
(2)当b=2时,记,证明:
对任意的,不等式成立.
参考答案
一、选择题
1.C2.A3.A4.B5.B
二、填空题
6.7.8.9.-2
10.3
三、解答题
11.解:
(1)设数列的公比为q,由得.
由条件可知,故.
由得,所以.
故数列的通项式为.
(2)
故
所以数列的前项和为.
12.解:
(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,
于是(a2-)2-a2(a2-)-a2=0,解得a1=.
(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
即Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
由
(1)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.
由①可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用数学归纳法证明这个结论.
(i)n=1时已知结论成立.
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=,
当n=k+1时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn=对所有正整数n都成立.
于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1时,a1==,所以
{an}的通项公式an=,.
13.解:
(1),
∵,
∴
(2)证明:
由,
∵(常数)
∴数列是等比数列.
∵,
∴.
(3)∵
∴
.
∵,
∴,
故数列{}是单调递增数列,
∴.
∴的最小值是.
14解:
(1)在中,令n=1,可得,即
当时,,
.
..
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
(2)由
(1)得,所以
由①-②得
∴.
15.解:
(1)将整理得:
,
所以,即,
时,上式也成立,所以,,
(2)若恒成立,即恒成立,
整理得:
,
令,
,
因为,所以上式,即为单调递增数列,所以最小,,
所以的取值范围为.
(3)由,得
所以,
16解:
(1)由题设,
即{}是公差为1的等差数列.
又,
所以.
(2)由
(1)得.
17.
(1)解:
设等差数列的公差为,由,
因为,所以所以.
(2)解:
因为,所以
因为,所以
当时,,
即,
所以,当时,,当时,.
18.解:
(1)因为对任意的,点,均在函数且均为
常数的图象上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,
∴.
(2)当b=2时,,,
则,所以.
下面用数学归纳法证明不等式
成立.
①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当时不等式成立,即
成立.
则当时,
左边=
所以当时,不等式也成立..
由①、②可得不等式恒成立.
10
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