高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生.doc
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教师:
胡茂友学生:
时间:
_2016_年__月日段第__次课
教师
学生姓名
上课日期
月日
学科
数学
年级
高二
教材版本
人教版
类型
知识讲解:
√考题讲解:
√
本人课时统计
第()课时
共()课时
学案主题
《导数及其应用》复习
课时数量
第()课时
授课时段
教学目标
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数
教学重点、难点
掌握导数的概念和求法。
掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。
教学过程
知识点复习
【知识点梳理】
《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1.函数的平均变化率:
函数在区间上的平均变化率为:
。
即:
注1:
其中是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:
函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2.导数的定义:
设函数在区间上有定义,,若无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称函数在处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作。
函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
注意:
函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。
3.求函数导数的基本步骤:
(1)求函数的增量;
(2)求平均变化率:
;(3)取极限,当无限趋近与0时,无限趋近与一个常数A,则.
4.导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。
由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:
(1)求出在x0处的导数,即为曲线在点处的切线的斜率;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为。
当点不在上时,求经过点P的的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P点的坐标代入确定切点。
特别地,如果曲线在点处的切线平行与y轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为。
5.导数的物理意义:
质点做直线运动的位移S是时间t的函数,则表示瞬时速度,表示瞬时加速度。
二、导数的运算
1.常见函数的导数:
(1)(k,b为常数);
(2)(C为常数);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8)(α为常数);
(9); (10);
(11); (12);
(13); (14)。
2.函数的和、差、积、商的导数(若,均可导):
(1);
(2)(C为常数);
(3);
(4)。
3.简单复合函数的导数:
若,则,即。
三、导数的应用
1.求函数的单调性:
利用导数求函数单调性的基本方法:
设函数在区间内可导,
(1)如果恒,则函数在区间上为增函数;
(2)如果恒,则函数在区间上为减函数;
(3)如果恒,则函数在区间上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤:
①求函数的定义域;②求导数;
③解不等式,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式,解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围):
设函数在区间内可导,
(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间);
(2)如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间);
(3)如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。
2.求函数的极值:
设函数在及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有(或),则称是函数的极小值(或极大值)。
可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;(3)求方程的全部实根,,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:
x变化时,和值的变化情况:
x
…
正负
0
正负
0
正负
单调性
单调性
单调性
(4)检查的符号并由表格判断极值。
3.求函数的最大值与最小值:
如果函数在定义域I内存在,使得对任意的,总有,则称为函数在定义域上的最大值。
函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。
求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:
(1)求在区间上的极值;
(2)将第一步中求得的极值与比较,得到在区间上的最大值与最小值。
4.解决不等式的有关问题:
(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是,即;
不等式恒成立的充要条件是,即。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是;
不等式恒成立的充要条件是。
(2)证明不等式可转化为证明,或利用函数的单调性,转化为证明。
5.导数在实际生活中的应用:
实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。
《导数及其应用》单元测试题
(满分:
150分时间:
120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确)
1.函数的导数是()
(A)(B)(C)(D)
2.函数的一个单调递增区间是()
(A)(B)(C)(D)
3.已知对任意实数,有,且时,,则时()
A. B.
C. D.
4.若函数在内有极小值,则()
(A)(B)(C)(D)
5.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.C.D.
6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A. B. C. D.
7.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
8.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为()
A.B.C.D.
9.设在内单调递增,,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是()
(A)y
(B)
(C)
(D)O1234x
二.填空题(本大题共4小题,共20分)
11.函数的单调递增区间是____.
12.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则__.
13.点P在曲线上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是
14.已知函数
(1)若函数在总是单调函数,则的取值范围是.
(2)若函数在上总是单调函数,则的取值范围.
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数的取值范围是.
三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分)
15.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
16.设函数在及时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
17.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,.求
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)求动点的轨迹方程.
18. 已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若关于的方程有三个不同的实根,求实数的取值范围.
19.已知
(1)当时,求函数的单调区间。
(2)当时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数,使,函数有最小值-3?
20.已知函数,,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
课后作业
练习题
学生成长记录
本节课教学计划完成情况:
照常完成□提前完成□延后完成□____________________________
学生的接受程度:
54321______________________________
学生的课堂表现:
很积极□比较积极□一般积极□不积极□___________________________
学生上次作业完成情况:
优□良□中□差□存在问题_____________________________
学管师(班主任)_______________________________________________________________
备注
签字时间
教学组长审批
教学主任审批
7
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 高中数学 导数 及其 应用 知识点 总结 练习 教案 学生