高中数学线面角与线线角例题、习题.doc
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线面角与线线角
【知识网络】
1、异面直线所成的角:
(1)范围:
;
(2)求法;
2、直线和平面所成的角:
(1)定义:
(2)范围:
;(3)求法;
3、一些常见模型中的角之间的关系。
【典型例题】
例1:
(1)在正方体中,下列几种说法正确的是()
A、B、C、与成角D、与成角
答案:
D。
解析:
A1C1与AD成45°,D1C1与AB平行,AC1与DC所成角的正切为。
(2)在正方体AC1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成300角的平面的个数为()
A、2个B、4个C、6个D、8个
答案:
B。
解析:
平面A1ACC1,平面BB1D1D,平面ABC1D1,平面A1D1CC1。
(3)正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1底面边长是1,侧棱长是,则这个棱柱的侧
面对角线E1D与BC1所成的角是()
A.90º B.60º C.45º D.30º
答案:
B。
解析将BC1平移到E1F即可。
(4)在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,BC⊥DA,那么对角线AC与BD的位置关系是。
答案:
AC⊥BD。
解析:
过A作AH⊥平面BCD,垂足为H,因为CD⊥AB,BC⊥AD,所以CD⊥BH,BC⊥DH,故H为△BCD的垂心,从而BD⊥CH,可得BD⊥AC。
(5)点AB到平面距离距离分别为12,20,若斜线AB与成的角,则AB的长等于_____.
答案:
16或64。
解析:
分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例2:
.如图:
已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。
(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于
A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;
(II)试问:
若AB=2a,在线段AD上的E
点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?
证明你的结论。
答案:
(I)连结DF,DC ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,∴平面BB1C1C⊥平面ABC
∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD⊥平面BB1C1C
∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影,
在△DFC1中,∵DF2=BF2+BD2=5a2,=+DC2=10a2,
=B1F2+=5a2, ∴=DF2+,∴DF⊥FC1FC1⊥EF
(II)∵AD⊥平面BB1C1C,∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角
在△EDF中,若∠EFD=60°,则ED=DFtg60°=·=,
A
B
C
D
P
∴>,∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上
故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。
例3:
如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC
=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面
PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:
BC⊥侧面PAB;
(Ⅱ)证明:
侧面PAD⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;
答案:
(Ⅰ)证:
∵侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB,.∴BC⊥侧面PAB.
(Ⅱ)证:
在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD平面PAD,∴侧面PAD⊥侧面PAB.
(Ⅲ)解:
在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB,垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB,∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在△PAB和△BEC中,易求得PE=,EC=.在Rt△PEC中,∠PCE=45°.
例4:
设△ABC内接于⊙O,其中AB为⊙O的直径,PA⊥平面ABC。
如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.
答案:
【课内练习】
1.若平面外的直线与平面所成的角为,则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
答案:
D。
解析:
a和α平行,a和α斜交。
2.在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD、DC
的中点,则直线OM()
A是AC和MN的公垂线B垂直于AC但不垂直于MN
C垂直于MN,但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直
答案:
A。
解析:
易证OM⊥AC,OM⊥MN。
3.设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角是 ()
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案:
C。
解析:
连AC、BD交于O,连OE,则OE//SC.
4.异面直线a,b所成的角为,过空间一定点P,作直线L,使L与a,b所成的角均为,这样的直线L有条。
答案:
三条。
解析:
如换成50°,70°呢。
5.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且
∠DPA=450,∠DPB=600,则∠DPC=__________。
答案:
600。
解析:
以PD为对角线构造长方体
6.正方体AC1中,过点A作截面,使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相
等,试写出满足条件的一个截面____________
答案:
面AD1C。
解析:
可得12条棱分成三类:
平行、相交、异面,考虑正三棱锥D-AD1C,
7.如图,四面体ABCS中,SA,SB,SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点,求:
(1)BC与平面SAB所成的角;
(2)SC与平面ABC所成角的正弦值。
解析:
(1)∵SC⊥SB,SC⊥SA,∴SC⊥平面SAB。
于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角,为60°。
(2)联结SM,CM,∵在Rt△SAB中,∠SBA=45°,∴SM⊥AB,∴AB⊥平面SCM。
作SH⊥CM于H,则AB⊥SH,故SH⊥平面ABC,所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。
设SA=a,则SB=a,SC=,SM=。
在Rt△CSM中,,
。
即SC与平面ABC所成角的正弦值为。
8.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,
⑴求证:
A1C⊥平面BDE;
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
答案:
⑴由三垂线定理可得,A1C⊥BD,A1C⊥BEA1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立坐标系,则,
,∴,
∴
设A1C平面BDE=K,由⑴可知,∠A1BK为A1B与平面BDE所成角,
∴
9.A是△BCD所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2.
(Ⅰ)求证:
AB⊥CD;
(Ⅱ)求AB与平面BCD所成角的余弦值.
答案:
(Ⅰ)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AC=AD=2,AB=3,∴△ABC≌△ABD,BC=BD.
取CD的中点M,连AM、BM,则CD⊥AM,CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM,于是AB⊥BD.
(Ⅱ)由CD⊥平面ABM,则平面ABM⊥平面BCD,这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,.在△ACD中,
AC=AD=2,∠CAD=60°,∴△ACD是正三角形,AM=.在Rt△BCM中,BC=,CM=1,
.
10.已知等腰DABC中,AC=BC=2,ACB=120°,DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4,求直线PC与平面ABC所成的角。
答案:
设点P在底面上的射影为O,连OB、OC,则OC是PC在平面ABC内的射影,
∴PCO是PC与面ABC所成的角。
∵PA=PB=PC,
∴点P在底面的射影是DABC的外心,
注意到DABC为钝角三角形,∴点O在DABC的外部,
∵AC=BC,O是DABC的外心,∴OC⊥AB
在DOBC中,OC=OB,OCB=60°,∴DOBC为等边三角形,∴OC=2
在RtDPOC中,∴PCO=60°。
【作业本】
A组
1.垂直于同一条直线的两条直线一定()
A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能
答案:
D。
解析:
注意空间和平面中的位置关系的不同。
2.是平面α的斜线,,与成角,与在α内的射影成角,则与α所成角的大小为。
答案:
。
解析:
,即θ=。
3.是两两成角的三条射线,则与平面所成角的余弦值是()
A.B.C.D.
答案:
C。
解析:
可放入正四面中考虑。
4.直线与平面α成角为300,则m与所成角的取值范围是
。
答案:
[300,900]。
解析:
斜线与平面内所有直线的所成角中,线面角最小角。
5.边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD,如果AB与平面α的距离为,则AC与平面α所成角的大小是。
答案:
。
解析:
。
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN,求:
(1);
(2)直线AD与平面ANM所成的角的正切;
(3)平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值.
解析:
(1)以A为原点,AB、AD、AA1所在直线为x轴,y轴,z轴.
则D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4)
)
∵ ∴
(2)由
(1)知A1D⊥AM,又由已知A1D⊥AN,平面AMN,垂足为N.
因此AD与平面ANM所成的角即是
∴
(3)∵平面ABCD,A1N平面AMN,
∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为,则
P
B
α
C
A
7.已知∠ACB=900,且在平面α内,PC与CA、CB所成角
∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。
P
B
α
C
A
E
D
H
答案:
解:
如图过点P作PH⊥平面ABC于H,
过点H
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