高中概率与统计复习知识点与题型.doc
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概率与统计知识点与题型
3.1.1—3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:
(1)必然事件:
在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:
在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:
在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
(5)频数与频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系:
随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3概率的基本性质
1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:
(1)事件A发生且事件B不发生;
(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;
(1)事件A发生B不发生;
(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1—3.2.2古典概型及随机数的产生
1、
(1)古典概型的使用条件:
试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念:
(1)几何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
P(A)=;
(1)几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.
一、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:
①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量:
如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,是连续函数或单调函数,则也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为:
ξ取每一个值的概率,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.
…
…
P
…
…
有性质①;②.
注意:
若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:
即可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布:
如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是:
[其中]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作~B(n·p),其中n,p为参数,并记.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.
4.几何分布:
“”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为,事A不发生记为,那么.根据相互独立事件的概率乘法分式:
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
1
2
3
…
k
…
P
q
qp
…
…
我们称ξ服从几何分布,并记,其中
5.⑴超几何分布:
一批产品共有N件,其中有M(M<N)件次品,今抽取件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为.〔分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定<时,则k的范围可以写为k=0,1,…,n.〕
⑵超几何分布的另一种形式:
一批产品由a件次品、b件正品组成,今抽取n件(1≤n≤a+b),则次品数ξ的分布列为.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数的分布列可如下求得:
把个产品编号,则抽取n次共有个可能结果,等可能:
含个结果,故,即~.[我们先为k个次品选定位置,共种选法;然后每个次品位置有a种选法,每个正品位置有b种选法]可以证明:
当产品总数很大而抽取个数不多时,,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1.期望的含义:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
…
…
P
…
…
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量的数学期望:
①当时,,即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时,,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时,,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布:
其分布列为:
.
⑶两点分布:
,其分布列为:
(p+q=1)
⑷二项分布:
其分布列为~.(P为发生的概率)
⑸几何分布:
其分布列为~.(P为发生的概率)
3.方差、标准差的定义:
当已知随机变量ξ的分布列为时,则称为ξ的方差.显然,故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.越小,稳定性越高,波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差.(a、b均为常数)
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布:
其分布列为
⑶两点分布:
其分布列为:
(p+q=1)
⑷二项分布:
⑸几何分布:
5.期望与方差的关系.
⑴如果和都存在,则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量,则
⑶期望与方差的转化:
⑷(因为为一常数).
三、正态分布.
1.密度曲线与密度函数:
对于连续型随机变量ξ,位于x轴上方,ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积
(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数,由于“”
是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2.⑴正态分布与正态曲线:
如果随机变量ξ的概率密度为:
.(为常数,且),称ξ服从参数为的正态分布,用~表示.的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差:
若~,则ξ的期望与方差分别为:
.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当<时,曲线上升;当>时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.
⑤当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
3.⑴标准正态分布:
如果随机变量ξ的概率函数为,则称ξ服从标准正态分布.即~有,求出,而P(a<≤b)的计算则是.
注意:
当标准正态分布的的X取0时,有当的X取大于0的数时,有.比如则必然小于0,如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系:
若~则ξ的分布函数通
常用表示,且有.
习题
1.6名同学排成两排,每排3人,其中甲排在前排的概率是()
A. B. C. D.
2.有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名,恰好2名男生或2名女生的概
率是()
A. B. C. D.
3.甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是,那么至少有1人解对的概率
是()
A. B. C. D.
4.从数字1,2,3,4,5这五个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率
是()
A.B.C.D.
5.有2n个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所取的两数之和
为偶数的概率是()
A、B、C、D、
6.有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名学生,恰好是2名男生或2名
女生的概率是()
A. B. C. D.
7.已知P箱中有红球1个,白球9个,Q箱中有白球7个,(P、Q箱中所有的球除颜色
外完全相同).现随意从P箱中取出3个球放入Q箱,将Q箱中的球充分搅匀后,再
从Q箱中随意取出3个球放入P箱,则红球从P箱移到Q箱,再从Q箱返回P箱中的
概率等于()
A. B.C. D.
C92/C103乘以C92/C103
8.已知集合A={12,14,16,18,20},B={11,13,15,17,19},在A中任取一个元素
用ai(i=1,2,3,4,5)表示,在B中任取一个元素用bj(j=1,2,3,4,5)表示,则
所取两数满足ai>bI的概率为()
A、B、
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