中考数学综合题专题复习初中数学旋转专题解析附答案docWord下载.docx
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∵∠DMF=∠DAF+∠ADM,
AM=MD,∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,
∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90,°
∴DM⊥MN;
(3)
(2)中的两个结论还成立,连接AE,交MD于点G,∵点M为AF的中点,点N为EF的中点,
∴MN∥AE,MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF,CE=CF,又
∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,在Rt△ADF中,∵点M为AF的
中点,∴DM=AF,∴DM=MN,∵△ABE≌△ADF,∴∠1=∠2,∵AB∥DF,∴∠1=∠3,同理可证:
∠2=∠4,∴∠3=∠4,∵DM=AM,∴∠MAD=∠5,
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90,°
∵MN∥AE,∴∠DMN=∠DGE=90,°
∴DM⊥MN.所以
(2)中的两个结论还成立.
考点:
1.正方形的性质;
2.全等三角形的判定与性质;
3.三角形中位线定理;
4.旋转的性质.
2.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°
.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△ABG(如图①),求证:
△AEG≌△AEF;
(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点
2
;
M,N(如图②),求证:
EF=ME+NF
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变
(如图③),请你直接写出线段
EF,
BE,DF之间的数量关系.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)EF2=2BE2+2DF2.
(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°
,故可证△AEG≌△AEF;
(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△ABG,连结GM.由
(1)知
△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°
,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;
(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.
(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△ABG,
∴AF=AG,∠FAG=90,°
∵∠EAF=45,°
∴∠GAE=45,°
在△AGE与△AFE中,
,
∴△AGE≌△AFE(SAS);
(2)设正方形ABCD的边长为a.
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△ABG,连结GM.
则△ADF≌△ABG,DF=BG.
由
(1)知△AEG≌△AEF,
∴EG=EF.∵∠CEF=45,°
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,
∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,
∴a﹣BE=a﹣DF,
∴BE=DF,
∴BE=BM=DF=BG,
∴∠BMG=45°
∴∠GME=45°
+45=90°
,°
∴EG2=ME2+MG2,
∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,∴EF2=ME2+NF2;
(3)EF2=2BE2+2DF2.
如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△AGH,连结HM,HE.由
(1)知△AEH≌△AEF,
则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,
即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2
又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,
即2(DF2+BE2)=EF2
四边形综合题
3.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°
角绕点A旋转,角的两边分别
与BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,CF=b.
(1)如图1,当a=42时,求b的值;
(2)当a=4时,在图2中画出相应的图形并求出b的值;
(3)如图3,请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.
(1)42;
(2)b=8;
(3)ab=32.
(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=42,∠ACB=45°
.
再CE=a=42,可得∠CAE=∠AEC,从而可得∠CAF的度数,既而可得b=AC;
(2)通过证明△ACF∽△ECA,即可得;
(3)通过证明△ACF∽△ECA,即可得.
(1)∵正方形ABCD的边长为4,∴AC=42,∠ACB=45°
∵CE=a=42,∴∠CAE=∠AEC=
45
=22.5°
,∴∠CAF=∠EAF-∠CAE=22.5°
∴∠AFC=∠ACD-∠CAF=22.5,°
∴∠CAF=∠AFC,∴b=AC=CF=4
2;
(2)∵∠FAE=45°
,∠ACB=45°
,∴∠FAC+∠CAE=45°
,∠CAE+∠AEC=45°
,∴∠FAC
=∠AEC.
又∵∠ACF=∠ECA=135°
,∴△ACF∽△ECA,∴
8,即b=8.
(3)ab=32.
AC
CF
42
EC
,∴
4
,∴CF=
CA
提示:
由
(2)知可证△ACF∽△ECA,∴∴AC
CF,∴4
b
a
,∴ab=32.
4.请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
1探究1:
如图1,在等腰直角三角形ABC中,
ACB90o,BC
a,将边AB绕点B
顺时针旋转
90o得到线段BD,连接CD.求证:
VBCD的面积为
1a2.(提示:
过点D作BC
边上的高DE,可证VABC≌VBDE)
2探究2:
如图2,在一般的RtVABC中,ACB90o,BCa,将边AB绕点B顺
时针旋转90o得到线段BD,连接CD.请用含a的式子表示VBCD的面积,并说明理由.
3探究3:
如图3,在等腰三角形ABC中,ABAC,BCa,将边AB绕点B顺时针
旋转90o得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示VBCD的面积,要有探究过
程.
(1)详见解析;
(2)VBCD的面积为1a2,理由详见解析;
(3)VBCD的面
积为1
a2.
【分析】
1如图1,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出
VABC≌VBDE,就有DE
BCa.进而由三角形的面积公式得出结论;
2如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出
VABC≌VBDE,就有DEBCa.进而由三角形的面积公式得出结论;
3如图3,过点A作AFBC与F,过点D作DEBC的延长线于点E,由等腰三角形
的性质可以得出BF1BC,由条件可以得出VAFB≌VBED就可以得出BFDE,由
三角形的面积公式就可以得出结论.
【详解】
1如图1,过点D作DECB交CB的延长线于E,
BED
ACB
90o,
由旋转知,
AB
AD,ABD
ABC
DBE
QA
ADBE,
在VABC和VBDE中,
ACBBED
ADBE,
ABBD
VABC≌VBDEAAS
BCDEa,
QSVBCD
1BCDE,
SVBCD
1a2;
2VBCD的面积为1a2,
理由:
如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,
Q
线段
绕点
B
顺时针旋转90
o
得到线段
BE
ABBD,
ABD
A
DBE,
BD
VABC≌VBDEAAS,
BC
DE
a,
1
a2;
3
如图
作AF
F
D
作DE
BC的延长线于点
E
,过点
BC与,过点
AFB
E90o,BF
1BC
1a,
FAB
ABF
90o,
QABD90o,
EBD,
Q线段BD是由线段AB旋转得到的,
在VAFB和VBED中,
VAFB≌VBEDAAS,
BFDE
1a,
1BCDE
1aa
1a2,
VBCD的面积为
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性
质、三角形的面积等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运
用相关的性质与定理是解题的关键.
5.如图,正方形ABCD中,点E是BC边上的一个动点,连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°
,得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.
(1)根据题意补全图形;
(2)判定AG与EF的位置关系并证明;
(3)当AB=3,BE=2时,求线段BG的长.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析;
(3)25.
(1)根据题意补全图形即可;
(2)先判断出△ADF≌△ABE,进而判断出点C,D,F共线,即可判断出△DFG≌△HEG,得出FG=EG,即可得出结论;
(3)先求出正方形的对角线BD,再求出BH,进而求出DH,即可得出HG,求和即可得出结论.
(1)补全图形如图所示,
(2)连接DF,
由旋转知,AE=AF,∠EAF=90°
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AD=AB,∠ABC=∠ADC=BAD=90,°
∴∠DAF=∠BAE,
∴△ADF≌△ABE(SAS),
∴DF=BE,∠ADF=∠ABC=90,°
∴∠ADF+∠ADC=180,°
∴点C,D,F共线,
∴CF∥AB,
过点E作EH∥BC交BD于H,
∴∠BEH=∠BCD=90,°
DF∥EH,
∴∠DFG=∠HEG,
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠CBD=45,°
∴BE=EH,
∵∠DGF=∠HGE,
∴△DFG≌△HEG(AAS),
∴FG=EG
∵AE=AF,∴AG⊥EF;
(3)∵BD是正方形的对角线,∴BD=2AB=32,
由
(2)知,在Rt△BEH中,BH=2BE=22,
∴DG=BD-BH=2
由
(2)知,△DFG≌△HEG,
∴DG=HG,
∴HG=
DH=
2,
∴BG=BH+HG=22+
2=5
2.
此题是四边形综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性
质,勾股定理,作出辅助线是解本题的关键.
6.如图,点
P是正方形
ABCD内的一点,连接
PA,PB,PC.将△PAB绕点
B顺时针旋转
90°
到△P'
CB的位置.
(1)设AB的长为a,PB的长为
中阴影部分)的面积;
b(b<
a),求△PAB旋转到△P'
CB的过程中边
PA所扫过区域
(图
(2)若
PA=2,PB=4,∠APB=135°
,求
PC的长.
【答案】
(1)S阴影=(a2-b2);
(2)PC=6.
(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转
可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇
形BAC的面积-扇形BPP'
的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是
,可据
此求出阴影部分的面积.
(2)连接PP'
,根据旋转的性质可知:
BP=BP'
,旋转角∠PBP'
=90°
,则△PBP'
是等腰直角三角形,∠BP'
C=∠BPA=135°
,∠PP'
C=∠BP'
C-∠BP'
P=135°
-45°
,可推出△PP'
C是直角三角
形,进而可根据勾股定理求出PC的长.
(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°
到△P′CB的位置,∴△PAB≌△P'
CB,
∴S△PAB=S△P'
S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);
(2)连接PP′,根据旋转的性质可知:
△APB≌△CP′B,
∴BP=BP′,=4P′C=PA=2,∠PBP′=90,°
∴△PBP'
是等腰直角三角形,P'
P2=PB2+P'
B2=32;
又∵∠BP′C=∠BPA=135°
∴∠PP′∠C=BP′C-∠BP′P=135-45°
即△PP′C是直角三角形.
PC==6.
1.扇形面积的计算;
2.正方形的性质;
3.旋转的性质.
7.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(0,4),点B(﹣2,0),把△ABO绕点A逆时针旋转,得△AB′O,′点B、O旋转后的对应点为B′、O′.
(1)如图①,若旋转角为60°
时,求BB′的长;
(2)如图②,若AB′∥x轴,求点O′的坐标;
(3)如图③,若旋转角为240°
时,边OB上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+AP取′
得最小值时,求点P′的坐标(直接写出结果即可)
(1)25;
(2)点O′的坐标为(85,45+4);
(3)点P′的坐标为(﹣
55
83,36.
55
分析:
(1)由点A、B的坐标可得出AB的长度,连接BB′,由旋转可知:
AB=AB′,
∠BAB′=60,进°
而可得出△ABB′为等边三角形,根据等边三角形的性质可求出BB′的长;
(2)过点O′作O′D⊥x轴,垂足为D,交AB′于点E,则△AO′E∽△ABO,根据旋转的性
质结合相似三角形的性质可求出AE、O′E的长,进而可得出点O′的坐标;
(3)作点A关于x轴对称的点A′,连接A′O′交x轴于点P,此时O′P+AP′取最小值,过
点O′作O′F⊥y轴,垂足为点F,过点P′作PM⊥O′F,垂足为点M,根据旋转的性质结合解
直角三角形可求出点
O′的坐标,由A、A′关于x轴对称可得出点
A′的坐标,利用待定系数
法即可求出直线A′O′的解析式,由一次函数图象上点的坐标特征可得出点
P的坐标,进而
可得出OP的长度,再在Rt△O′P′M中,通过解直角三角形可求出
O′M、P′M的长,进而可
得出此时点P′的坐标.
详解:
(1)∵点A(0
,4),点B(﹣2,0),∴OA=4,OB=2,
∴AB=OA2
OB2
=2
5.
在图①中,连接
BB′.
由旋转可知:
AB=AB′,∠BAB′=60,°
∴△ABB′为等边三角形,∴BB′=AB=25.
(2)在图②中,过点O′作O′D⊥x轴,垂足为D,交AB′于点E.
∵AB′∥x轴,O′E⊥x轴,∴∠O′EA=90°
=∠AOB.
∠B′AO′=∠BAO,AO′=AO=4,∴△AO′E∽△ABO,AE=O'
E=AO'
,即
AOBOAB
AE=O'
=
85
,O′E=4
5,∴O′D=4
5+4,∴点O′的坐标为
,∴AE=
5
(
8
+4).
(3)作点A关于x轴对称的点A′,连接
点O′作O′F⊥y轴,垂足为点F,过点P′作
A′O′交x轴于点P,此时O′P+AP′取最小值,过PM⊥O′F,垂足为点M,如图3所示.
AO′=AO=4,∠O′AF=240°
﹣180°
=60°
,∴AF=
∴点O′(﹣23,6).
∵点A(0,4),∴点A′(0,﹣4).
设直线A′O′的解析式为y=kx+b,将A′(0,﹣4)、O′(﹣2
AO′=2,O′F=
3AO′=2
3,6)代入y=kx+b,得:
k
,∴直线A′O′的解析式为y=﹣5
3x﹣4.
,解得:
3k
6
当y=0时,有﹣53x﹣4=0,解得:
x=﹣4
3,
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