中考数学综合题专题专题解析.docx
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中考数学综合题专题专题解析
中考数学综合题专题【二次函数】专题解析
1.(北京)已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m),求m和k的值;
(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点
B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G,同时将
(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图象回答:
平移后的直线与图象G
有公共点时,n的取值范围.
解:
(1)由题意得(t+1)·22+2(t+2)·2+=
解得t=-
∴二次函数的解析式为y=-x2+x+
(2)∵A(-3,m)在二次函数y=-x2+x+的图象上
∴m=-×(-3)2+(-3)+=-6
∴点A的坐标为(-3,-6)
∵点A在一次函数y=kx+6的图象上
∴-6=-3k+6,∴k=4
(3)由题意,可得点B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0)
平移后,点B,C的对应点分别为B′(-1-n,0),C′(3-n,0)将直线y=4x+6平移后得到直线y=4x+6+n
图1
如图1,当直线y=4x+6+n经过点B′(-1-n,0)时,
图象G(点B′除外)在该直线右侧由0=4(-1-n)+6+n,得n=
如图2,当直线y=4x+6+n经过点C′(3-n,0)时,图象G(点C′除外)在该直线左侧
由0=4(3-n)+6+n,得n=6
∴由图象可知,符合题意的n的取值范围是≤n≤6
2.(北京模拟)已知抛物线y=-x2+(m-2)x+3(m+1).图2
(1)求证:
无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点;
(2)设抛物线与y轴交于点C,当抛物线与x轴有两个交点A、B(点A在点B的左侧)时,如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角,求m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,P是抛物线的顶点,当△PAO的面积与△ABC的面积相等时,求该抛物线的解析式.
(1)证明:
∵△=(m-2)2-4×(-1)×3(m+1)=(m+4)2≥0
∴无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点
(2)解:
由题意,m+1<0
当m=-4,图象与x轴只有一个交点
∴m<-1且m≠-4
(3)解:
令y=-x2+(m-2)x+3(m+1)
解得x1=m+1,x2=-3
可求得顶点P(,)
①当A(m+1,0)、B(-3,0)时
∵S△PAO=S△ABC,∴(m+1)×=(-m-4)×3(m+1)
解得m=-16
∴y=-x2-18x-45
②当A(-3,0)、B(m+1,0)时同理得×3×=(m+4)×[-3(m+1)]解得m=-
∴y=-x2-x-
3.(上海模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点
A(-1,1)和点B(2,2),该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D.
(1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴;
(2)求证:
∠ABO=∠CBO;
(3)如果点P在直线AB上,且△POB与△BCD相似,求点P的坐标.
(1)解:
由题意,得解得
∴二次函数的解析式为y=-x2+x+2
对称轴为直线x=1
(2)证明:
易得直线OA的解析式为y=-x,从而C的坐标为(1,-1)
∵由A(-1,1),B(2,2),C(1,-1)得AB=BC=,OA=OC=
∴∠ABO=∠CBO
(3)解:
由直线OB的表达式y=x,得点D的坐标为(1,1)由A(-1,1),B(2,2),得直线AB的解析式为y=x+从而直线AB与x轴的交点E的坐标为(-4,0)
∵△POB∽△BCD相似,∠ABO=∠CBO
2
y
B
P
A1D
E-1O
-1
H1FxC
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD
①当∠BOP=∠BDC时
由∠BDC=135°,得∠BOP=135°此时点P与点E重合
∴点P的坐标为(-4,0)
②当∠BOP=∠BCD时由△POB∽△BCD,得=
而BO=2,BD=,BC=,∴BP=
又∵BE=2,∴PE=
作PH⊥x轴,垂足为点H,BF⊥x轴,垂足为点F
则PH∥BF,∴==.
而BF=2,EF=6,∴PH=,EH=,∴OH=
∴点P的坐标为(,)
综上所述,点P的坐标为(-4,0)或(,)
4.(安徽)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+
h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为
18m.
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
y
2
O
解:
(1)当h=2.6时,y=a(x-6)2+2.6
由其图象过点(0,2),得36a+2.6=2,解得a=-
∴y=-(x-6)2+2.6
(2)当h=2.6时,由
(1)知y=-(x-6)2+2.6
由于当x=9时,y=-(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过球网由-(x-6)2+2.6=0,x>0,得x=6+>18
或由x=18时,y=-(18-6)2+2.6=0.2>0,∴球落地时会出界
(3)根据题设知y=a(x-6)2+h
由图象经过点(0,2),得36a+h=2①由球能越过球网,得9a+h>2.43②由球不出边界,得144a+h≤0③
解得h≥,所以h的取值范围是h≥
5.(安徽某校自主招生)已知二次函数y=x2-2mx+1.记当x=c时,相应的函数值为yc,那么,是否存在实数m,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b,总有ya+yb≥1.如果存在,求出实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解:
设f(x)在0≤x≤1的最小值为M,原问题等价于2M≥1,即M≥二次函数y=x2-2mx+1的图象是一条开口向上的抛物线
①当对称轴x=m≤0时,由图象可知,x=0时,y最小=1,此时1≥成立
②当对称轴x=m在0<m<1时,由图象可知x=m时,y最小且y最小=1-m2
此时有1-m2≥,即m2≤,故有0<m≤
③当对称轴x=m在m≥1时,由图象可知,x=1时,y最小且y最小=2-2m
此时有2-2m≥,即m≤,与m≥1矛盾,故舍去
综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是m≤
6.(浙江模拟)已知二次函数y=x2+ax+a-2.
(1)证明:
不论a取何值,抛物线y=x2+ax+a-2的顶点P总在x轴的下方;
(2)设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C,如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点,并设另一个交点为点D,问:
△QCD能否是等边三角形?
若能,请求出相应的二次函数解析式;若不能,请说明理由;
(3)在第
(2)的条件下,设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使△ACD的面积等于
的抛物线有几条?
请证明你的结论.
解:
(1)∵判别式△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0
∴抛物线与x轴总有两个交点
又∵抛物线开口向上,∴抛物线的顶点在x轴下方
(或由二次函数解析式得:
y=(x+)2-a2+a-2
∵抛物线顶点的纵坐标为-a2+a-2=-[(a-2)2+1]<0,当a取任何实数时总成立
∴不论a取何值,抛物线的顶点P总在x轴的下方)
(2)由条件得:
抛物线顶点Q(-,-a2+a-2),点C(0,a-2)当a≠0时,过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD=|-a|,点Q到CD的距离为|(a-2)-(-a2+a-2)=a2过Q作QP⊥CD于P
要使△QCD为等边三角形,则需OP=CD,即a2=|-a|
由a≠0,解得a=±2(或由CD=CQ,或由CP=CO等求得a的值)
∴△QCD可以是等边三角形
此时相应的二次函数解析式为y=x2+2x+2-2或y=x2-2x-2-2
(3)∵CD=|-a|,点A到CD的距离为=|a-2|由S△ACD=|a(a-2)|=,解得a=1±或a=1±
∴满足条件的抛物线有四条
7.(江苏镇江)对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4,把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E.
现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(-1,n),请完成下列任务:
【尝试】
(1)当t=2时,抛物线y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)的顶点坐标为;
(2)判断点A是否在抛物线E上;
(3)求n的值;
【发现】通过
(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,坐标为.
【应用1】二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗?
如果是,求出t的值;如果不是,说明理由;
【应用2】以AB为边作矩形ABCD,使得其中一个顶点落在y轴上,若抛物线E经过
A、B、C、D其中的三点,求出所有符合条件的t的值.
解:
[尝试]
(1)(1,-2)
(2)将x=2代入y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4),得y=0,所以点A(2,0)在抛物线E上
(3)将x=-1代入n=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=6
[发现]A(2,0),B(-1,6)
[应用1]∵x=-1代入y=-3x2+5x+2,计算得y=-6≠6
∴抛物线y=-3x2+5x+2不经过点B
∴二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”
[应用2]]如图,作矩形ABC1D1和ABC2D2,过点B作BK⊥y轴于点K,过点B作RM⊥x轴于
点M
易得AM=3,BM=6,BK=1,△KBC1∽△MBA
y
则=,即=,求得C1K=,∴点C1(0,)
易知△KBC1≌△GAD1,得AG=1,D1G=,∴点D1(3,)CK
易知△OAD2∽△GAD1,得=CH
由AG=1,OA=2,D1G=,求得OD2=1,∴点D2(0,-1)
易知△TBC2≌△OD2A,得TC2=AO=2,BT=OD2=1,∴点C2(-3,5)
∵抛物线E总过定点A(2,0),B(-1,6)1D
∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D
MDO1AGx
2
当抛物线E经过A、B、C1时,将C1(0,)代入y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4),求得t1
=-
当抛物线E经过A、B、D1,A、B、C2,A、B、D2时,可分别求得t2=,t3=-,t4=
∴满足条件的所有t的值为:
-,,-,
8.(江苏模拟)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点,把发射后的炮弹看成点,其飞行的高度y(千米)与飞行的水平距离x(千米)满足关系式y=kx-(1+k2)x2(k>0),其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?
请说明理由.
解:
(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0
由实际意义和题设条件知x>0,k>0
∴x==≤=10,当且仅当k=1时取等号
∴炮的最大射程为10千米
(2)∵a>0,炮弹可以击中目标
∴存在k>0,使ka-(1+k2)a2=3.2成立
∴关于k的二次方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根
∴△=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得a≤6
∴当它的横坐标a不超过6千米时,炮弹可以击中它
9.(江苏模拟)已知一次函数y1=kx+m与二次函数y2=2ax2+2bx+c(b为整数)的图象交于A(2-2,3-2)、B(2+2,3+2)两点,二次函数y2=2ax2+2bx+c和二次函数y3=ax2+bx+c-1的最小值的差为l.
(1)求y1、y2、y3的解析式;
(2)若y1与y3的图象交于C、D两点,求CD的长;
(3)P是y轴上一点,过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N,过点M作直线y
=-1的垂线,垂足为G,过点N作直线y=-3的垂线,垂足为H.是否存在这样的点P,使PM=MG、PN=NH恒成立,若存在,求出P点的坐标,并探究是否为定值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)将A(2-2,3-2)、B(2+2,3+2)代入y1=kx+m,得解得:
∴y1=x+1
将A、B两点的坐标代入y2=2ax2+2bx+c,整理得:
8a+2b=1
易得y2=2ax2+2bx+c的最小值为c-,y3=ax2+bx+c-1的最小值为c-1-
由题意,|c--(c-1-)|=1,即|1-|=1又8a+2b=1,得|1-|=1
∴1-=1,解得b=0
或1-=-1,整理得b2+2b-1=0,此方程无整数解
∴b=0,代入8a+2b=1,得a=
∴y2=x2+c
令x+1=x2+c,得x2-4x+4c-4=0
∴x1+x2=4,x1x2=4c-4
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=[2+2-(2-2)]2=32
∴42-4(4c-4)=32,∴c=0
∴y2=x2,y3=x2-1
(2)令x+1=x2-1,得x2-8x-16=0
∴x3+x4=8,x3x4=-16
∴(x3-x4)2=(x3+x4)2-4x3x4=82-4×(-16)=128
∴|x3-x4|=8
∴|CD|=×8=16
(3)设P(0,t),M(x,y)
则PM2=x2+(t-y)2=x2+t2-2ty+y2
MG2=(y+1)2=y2+2y+1
∵y=x2,∴x2=4y
∴PM2=4y+t2-2ty+y2=y2+2y+1
∴2y-2ty+t2-1=0,即2y(1-t)+(t2-1)=0要使2y(1-t)+(t2-1)=0对任意y恒成立则1-t=0且t2-1=0,∴t=1
∴当点P的坐标为(0,1)时,PM=MG恒成立此时PN2=x2+(1-y)2=x2+1-2y+y2
NH2=(y+3)2=y2+6y+9
∵y=x2-1,∴x2=8y+8
∴PN2=8y+8+1-2y+y2=y2+6y+9
∴PN2=NH2,即PN=NH
故存在点P(0,1),使PM=MG、PN=NH恒成立
设直线y=-1、y=-3分别与y轴交于E、F,连接PG、PH
∵MG、NH分别是直线y=-1、y=-3的垂线
∴MG∥NH,∴∠PMG=∠PNH
∵PM=MG,PN=NH,∴∠MPG=∠MGP,∠NPH=∠NHP
∴∠MPG=∠NPH,∴P、G、H三点在同一直线上
∴==,又PE=1+1=2,PF=1+3=4
∴==,即为定值
y=x2
2
y=x2-1
3
PM
N
Ox
y=-1
E
y=-3
FH
10.(四川某校自主招生)一开口向上抛物线与x轴交于A(m-2,0)、B(m+2,0)两点,顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)点Q在直线y=kx+1上移动,O为原点,当m=4时,直线y=kx+1上只存在一个点
Q使得∠OQB=90°,求此时直线y=kx+1的解析式.
解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a
∵AC⊥BC,由抛物线对称性知△ABC是等腰直角三角形,又抛物线开口向上,AB=(m+2)
-(m-2)=4
∴C(m,-2),∴-4a=-2,∴a=
∴抛物线的解析式为y=(x-m)2-2
(2)当m=4时,B(6,0),设直线y=kx+1与x轴交于H(t,0),与y轴交于
E(0,1)
y
并设OB中点为G,以OB为直径作⊙G
当直线与⊙G切于点Q时,只存在一个点Q使得∠OQB=90°
设HO=t,∵HQ是⊙G的切线,∴∠GQH=90°=∠EOHQE
7H
O
GBx
又∠QHG=∠OHE,∴△QHG∽△OHE
∴=
而QG=3,OE=1,∴QH=3OH=-3t
在Rt△中,QH2+QG2=HG2
∴(-3t)2+32=(3-t)2,解得t=0(舍去)或t=-
∴H(-,0),把H(-,0)代入y=kx+1,得-k+1=0,∴k=
∴所求直线为y=x+1
11.(湖南娄底)已知二次函数y=x2-(m2-2)x-2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足+=.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)探究:
在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?
如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
解:
(1)由已知得:
x1+x2=m2-2,x1x2=-2m
∵+=,即=,∴=
解得m=1,或m=-2
当m=1时,y=x2+x-2,得A(-2,0),B(1,0)当m=-2时,y=x2-2x+4,与x轴无交点,舍去
∴这个二次函数的解析式为y=x2+x-2
(2)由
(1)得A(-2,0),B(1,0),C(0,-2)
假设存在一点P,使四边形PACB是平行四边形,则PB∥AC且PB=AC
根据平移知识可得P(-1,2)
经验证P(-1,2)在直线y=x+3上
故在直线y=x+3上存在一点P(-1,2),使四边形PACB为平行四边形
12.(湖北荆州、荆门)已知:
y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值与最小值.
解:
(1)当k=1时,函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x轴有一个交点当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点
令y=0,得(k-1)x2-2kx+k+2=0
△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0,解得k≤2,即k≤2且k≠1
综上所述:
k的取值范围为k≤2
(2)①∵x1≠x2,由
(1)知k<2且k≠1y
由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)
将(*)代入(k-1)x2+2kx+(k+2)=4xx中得:
1
2k(x1+x2)=4x1x2
-1O
8
1x
x=-
-3
又∵x1+x2=,x1x2=
∴2k·=4·,解得:
k1=-1,k2=2(不合题意,舍去)
∴所求k值为-1
②∵k=-1,∴y=-2x2+2x+1=-2(x-)2+
且-1≤x≤1
由图象知:
当x=-1时,y最小=-3;当x=时,y最大=
∴y的最大值为3,最小值为-3
2
13.(湖北随州)在-次数学活动课上,老师出了-道题:
(1)解方程x2-2x-3=0.
巡视后,老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法).
接着,老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题:
(2)解关于x的方程mx2+(m-3)x-3=0(m为常数,且m≠0).
老师继续巡视,及时观察、点拨大家.再接着,老师将第二道题变式为第三道题:
(3)已知关于x的函数y=mx2+(m-3)x-3(m为常数).
①求证:
不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A,y轴上的定点为C);
②若m≠0时,设此函数的图象与x轴的另一个交点为B,当△ABC为锐角三角形时,求m的取值范围;当△ABC为钝角三角形时,观察图象,直接写出m的取值范围.
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题..
解:
(1)由x2-2x-3=0,得(x+1)(x-3)=0,∴x1=-1,x2=3
(2)方法一:
由mx2+(m-3)x-3=0得(x+1)(mx-3)=0
∵m≠0,∴x1=-1,x2=
方法2:
由公式法:
x1,2===
∴x1=-1,x2=
y
(3)①1°当m=0时,函数y=mx2+(m-3)x-3为y=-3x-33
令y=0,得x=-1,令x=0,得y=-3AB
∴直线y=-3x-3过定点A(-1,0),C(0,-3)
2°当m≠0时,函数y=mx2+(m-3)x-3为y=(x+1)(mx-3)
∴抛物线y=(x+1)(mx-3)恒过两定点A(-1,0),C(0,-3)和B(,0)
-1036x
-3
C
y
②当m>0时,由①可知抛物线开口向上,且过点A(-1,0),C(0,-3)和B(3,-06)
观察图象可知,当△ABC
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