初中数学专题解析doc.docx
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初中数学专题解析doc
初中数学专题解析
专题一
常用的数学思想方法
基础讲解
常用的数学思想方法是近两年中考的热点,特别是运用数学思想方法分析问题、解决问题方面的考查.只要我们认真学习,都会掌握的.
中考解读
一、考查的内容以及要求
1.了解中考常见数学思想方法的常见类型.
2.数学思想方法是数学内容的概括和总结,解决问题需要用到整个初中阶段学习的所有的知识.
3.能通过观察、比较、分析、探索、阅读、综合、猜测发展概括和总结能力,并能充分运用已学过的数学知识和数学思想方法(如数形结合思想、方程与函数思想、类比思想、转化思想等),经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段,得出正确的结论,总结出探索型问题的一般求解思路和方法,形成解决此类问题的一些基本策略.
4.通过专题复习,进一步提高创新意识和创新能力,提高综合运用知识能力.
二、内容考查的方式、趋势和应试策略
数学思想方法是数学知识、数学技能的本质体现.在数学学习中,要提高分析问题、解决问题的能力和形成应用数学的意识,这些都离不开数学思想方法.近年来,各地的中考命题越来越注重对数学思想方法的考查,特别是运用数学思想方法分析问题、解决问题方面的考查,在今后的中考中,必将出现形式更加新颖、内容更加多样化的有关数学思想方法的题型.
导学提示
●知识储备
(1)数学思想方法是数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的本质认识,抓住数学思想方法是提高数学解题能力根本之所在.
(2)常用的数学思想方法有
此主题相关图片如下:
171001.jpg
●关键提示
1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法.
2.要多角度思考问题,体会解决问题策略的多样性,培养学生分析问题、解决问题的能力.
典例分析
专题研学
●三维整合
1.整体思想:
在解数学问题时对某些数学问题从局部入手,若用习惯性的思想方法求解,则头绪繁杂,难以突破;若从宏观上进行分析,抓住问题的整体结构和本质特征,全面关注条件和结论,往往能使问题化繁为简、变难为易,获得问题的捷径,这一过程所体现的就是整体思想.它往往能收到事半功倍的效果(如例1).数形结合思想即抓住数与形之间本质上的联系,利用数形结合的思想可以把抽象的数转化为直观的形,也可以把复杂的形转化为具体的数,从而使问题得到简捷解决(如例2).分类讨论思想主要是对于一些较难、较复杂的问题,采用“分解”的方式,把它分解成若干个较简单、较容易解决的问题,进而解决问题的方法.换元的思想方法把具有某一特征的代数式用一个字母来表示,简化整个代数式的结构,最后再把原始的代数式代回.转化思想设法把需要解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经解决或易于解决的问题中,从而使原来的问题得到解决.(如例3)
2.在解题过程中,要培养创新思维,发展创新意识,要注意知识之间的内在联系,运用有关的数学思想方法大胆地提出问题,再对问题进行解答.这就需要同学们通过大胆猜测、探索,寻找解决问题的方法,不断提高分析问题、解决问题的能力(如例4).
3.运用数学思想方法解题,既能培养同学们的创新意识和创新能力,又能进一步培养学生的思维能力,有利于直觉思维和发散思维的发展,从而培养同学们科学的学习态度和探究精神等.
●典题诠释
【例1】计算
-1+x.
剖析:
本题对-1+x的处理要把它看作一个整体,不能分开处理,即不能看作这样的运算:
-1+x=
-
+
.
解答:
-1+x=
-
=
-
=
=
.
【例2】请你观察如图1所示的星阵图,当你对它疑惑不解时,可先完成下列式子的计算,然后再对照星阵图,写出你的猜想,并计算.
1+3+5+…+199.
完成下列计算:
1+3=____________________;
1+3+5=____________________;
1+3+5+7=____________________;
1+3+5+7+9=____________________;
……
此主题相关图片如下:
172013.jpg
剖析:
本题利用数形结合的思想,立意深远.下边式子的结果对应上边星阵图中的“※”的个数,如1+3+5=32,对应的就是上边每边有3个“※”的星阵图.上述过程也是一个合情推理的完整过程.
解答:
1+3=4=22,
1+3+5=9=32,
1+3+5+7=16=42,
1+3+5+7+9=25=52,
……
猜想:
1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2,
因此,1+3+5+7+9+…+199=1+3+5+7+9+…+(2×100-1)=1002=10000.
对于本题你是否有其他的做法?
请写下来.
【例3】如图2,在△ABC的AB和AC边上分别向外作正方形ABDE和ACNM,连结CE、MB,求证:
CE⊥MB并且 CE=MB.
此主题相关图片如下:
172014.jpg
剖析:
因为此题具备了等边和等角,可以通过证明三角形全等来完成,但是如果我们换一个方位用旋转的方法来证明,其巧妙之处会令人叫绝.
解答:
将△ABM以点A为旋转中心,按顺时针方向旋转90°,由于∠BAE=90°,∠MAC=90°且AE=AB,AM=AC,
∴AB与AE重合(点B与点E重合),AM与AC重合(点M与点C重合).
∴BM与CE重合.∴CE=MB.∵当△ABM旋转90°时,其每条边都旋转了90°,∴CE⊥MB.
你对此题有何见解?
请写下来.
【例4】(2004年烟台)如图3,“回”字形的道路宽1米,整个“回”字形的长为8米,宽为7米,一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B,他共走了()
此主题相关图片如下:
172015.jpg
A.55米B.55.5米
C.56米D.56.5米
剖析:
本题考查思想方法的应用,要求它共走了多少米,若直接计算比较复杂,由“道路宽为1米”这个条件易想到,每1米长的道路,其面积为1平方米.故可将“求共走了多少米远”的问题转化为“求所走过的道路面积为多少平方米”的问题.
由7×8=56(平方米)即可得出结论:
这个人共走了56米.
解答:
C
专题二
应用型问题
基础讲解
应用型问题是近两年中考的热点,你知道解决这类问题的方法和策略吗?
你掌握应用型问题常用的数学模型吗?
认真学习,你都会掌握的.
中考解读
一、考查的内容以及要求
1.了解中考应用型问题的常见模型:
数与式、方程(组)、不等式(组)、函数、统计、锐角三角函数(解直角三角形)、各种几何图形等.
2.通过建立数学模型解决实际问题,让学生学会用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活和相关学科中的问题,体会数学与现实生活的密切联系.
3.通过将实际问题转化为数学问题来解决,提高综合运用知识能力和数学建模能力,增强数学应用意识.
4.通过专题复习,进一步提高创新意识和创新能力,提高综合运用知识的能力.
二、内容考查的方式、趋势和应试策略
应用型问题在初中数学中涉及的内容较为广泛,考查的知识几乎涵盖了初中数学的全部内容.中考试卷中占比例大的是考查学生应用能力的应用型试题,一般约在19%左右.既有常规意义下的应用题,即需要列方程(组)或不等式(组)求解的应用题,还有与函数有关的应用题、与统计有关的应用型问题、与几何有关的应用题、与锐角三角形比有关的应用题等,应用型问题所涉及的初中数学知识有不断扩展的趋势.
从题型上看,应用题的题型丰富多样,有填空题、选择题、新颖的解答题,又有阅读理解题及开放题、探索题等等.这些试题背景取材于生活,取材于社会,是学生所熟悉的,具有浓厚的时代气息,并且有逐年增加的趋势,成为今后中考命题的热点.
导学提示
●知识储备
应用型问题的取材面广泛,涉及到生活生产、环境保护、国情国策、市场经济、社会热点、新闻事件等方面.内容涉及方程、不等式、函数、统计与概率、几何、三角函数等等.
常用的重点内容为:
(1)实数的相关定义及计算:
________________;
(2)方程的种类以及基本形式:
______________;
(3)不等式(组)的基本解法:
________________;
(4)函数的性质及其图象:
__________________;
(5)三角函数的定义:
______________________;
(6)统计与概率的有关知识:
________________;
(7)三角形、四边形性质和判定:
_____________;
(8)圆的有关性质:
_________________________.
●关键提示
1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法.
2.要多角度思考问题,灵活运用数学知识解决实际问题,加强学生学习的自主活动性,注重学生综合运用知识的能力和应用意识的培养.
典例分析
专题研学
●三维整合
1—1中考应用型问题的规范解法是数学建模法.它是将某一问题的特征与数量关系借助形式化的数学语言而建立一种数学结构,通过对建立的数学结构的研究解决原问题的方法.
1—2初中数学中常用的数学模型有:
(1)函数应用问题.函数是中学数学的重点内容,它应用的范围非常广泛.在日常生活和社会实践中,普遍存在的求成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省、造价最低等应用型问题,常常可归结为求函数最大(小)值问题.
(2)方程、不等式应用问题.实际应用的投资决策、环境保护、生产规划、统筹安排、交通运输、最优化等问题及有关最大(小)值的实际问题,常常需要建立方程或不等式来解决.(3)三角应用问题.现实生活中,诸如测量、建筑、航行等与三角函数知识有关的实际问题,可建立相应的三角函数关系式进行求解.
2.用数学建模法解决应用型问题的一般步骤为:
(1)首先将实际应用型问题转化成一个数学问题:
在这个过程中,我们需要对实际问题的信息加以分析处理.
(2)构建数学模型:
对问题提出必要的假设,并进行数学的抽象与概括,从而建立某种数量关系或确定某种几何关系.(3)研究处理数学模型:
要依据数学知识进行推理与求解,得出数学结论.(4)检验数学模型:
在这一过程中,要把数学结构还原到实际问题中去,对实际问题加以诠释.这样,可以把解答应用型问题思路破译分解为四个步骤:
阅读理解、建立模型、模型求解、回归实际.
3.通过对应用型问题的学习,培养和提高学生的数学应用意识,使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科,生产、生活中的数学问题,准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题.因此在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养,加大应用问题的教学力度.
●典题诠释
【例1】某饮料厂为了开发新的产品,用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克试制甲、乙两种新型饮料共50千克,下表是试验的相关数据:
甲
乙
A(单位:
千克)
0.5
0.2
B(单位:
千克)
0.3
0.4
(1)假设甲种饮料需配制x千克,请你写出满足题意的不等式组,并求出其解集.
(2)设甲种饮料每千克成本为4元,乙种饮料每千克成本为3元,这两种饮料的成本总额为y元,请写出y与x的函数表达式,并根据
(1)的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时,甲、乙两种饮料的成本总额最少?
剖析:
本题部分已知信息由表格提供.根据表格数据和其他已知条件以甲种原料用量不大于19千克,乙种原料用量不大于17.2千克,可列出
(1)的不等式组,并求出其解集;
(2)由“成本总额=甲种饮料成本+乙种饮料成本”这个关系式,可列出函数表达式,再运用函数的性质,可确定最低总成本.本题的关键在于列不等式和求函数表达式.
解答:
(1)
解得28≤x≤30.
(2)y=4x+3(50-x)=x+150(28≤x≤30).
由一次函数性质可知,k=1>0,y随x的增大而增大,所以当x=28时甲、乙两种饮料的成本总额最少,即y=28+150=178元.
对于本题,你采取的解题方式是什么?
【例2】市政府为美化市容,改善居民的生活环境,投入总资金4700万元修建一个游园,为使游园早日造福于市民,承建单位经预算,决定拿出投入总资金的0.4%用于购买某种名贵成树进行绿化.施工中第一次用8万元,从某林场购回若干棵;后经了解,该林场出售此种名贵成树有优惠条件:
即一次购买10万元以上者,每棵树优惠20元,于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入,因此比第一次多购回200棵该种成树.问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵?
剖析:
方程型应用题的解题关键是合理地设未知数,并列出等量关系,最后一定要检验所得的解是否符合实际生活意义.
解答:
设第一次购树x棵,则第二次购树(x+200)棵,
由题意得
-
=20.
解得x1=400,x2=-2000(不合题意,舍去).故x=400.
∴承建单位共购树棵树为x+(x+200)=1000.
【例3】如图1,某生活小区的居民筹资1600元,计划在一块上、下两底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木.
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/米2.当△AMD地带种满花后,共花了160元.请计算种满△BMC地带所需的费用.
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/米2和10元/米2,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金?
剖析:
本题以美化、绿化环境为背景,渗透环保意识,解决这一问题的关键是熟练运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及“相似三角形对应高的比等于相似比”等性质.
解答:
(1)易知△AMD∽△CMB,所以S△AMD∶S△CMB=1∶4.由种植△AMD地带花了160元可得S△AMD=
=20m2 ,所以S△CMB=20×4=80m2,费用为80×8=640元.
(2)S梯形ABCD=180m2,S△AMB+S△DMC=80m2,
160+640+80×12=1760元,160+640+80×10=1600元.
故应选择种植茉莉花,刚好用完所筹集的资金.
专题三
综合型问题
基础讲解
综合型问题是近两年中考的热点,你知道解决这类问题的方法和策略吗?
你掌握综合型问题常用的数学思想吗?
认真学习,你都会掌握的.
中考解读
一、考查的内容以及要求
1.了解中考综合型问题的常见类型.
2.综合型问题具有较强的综合性,解决此类问题需要用到整个初中阶段学习的所有的知识.
3.能充分运用已学过的数学知识和和其他学科的知识,经过充分的计算、归纳、类比、模拟、联想等推理的手段,得出正确的结论,总结出综合型问题的一般求解思路和方法,形成解决此类问题的一些基本策略.
4.通过专题复习,进一步提高创新意识和创新能力,提高综合运用知识的能力.
二、内容考查的方式、趋势和应试策略
1.根据近几年的中考分析,综合型问题往往涉及内容丰富,综合运用不同学科、不同领域的知识,可以以中考题中任何一种形式出现.从以往的论证转向发现、猜想和探究.
2.综合型问题是中考一直考查的内容.此类题目既涉及较多的数学知识和其他的知识,以便综合考查学生解决问题的能力,因此预计今后此类题目还会是中考的发展方向.
3.此类问题所考查的方式灵活、内容丰富、实际化、生活化,解决问题时要准确理解题意,综合使用所学的知识进行猜测、合理综合、认真求证.
导学提示
●知识储备
综合型问题在求解过程中,涉及丰富而重要的各个学科各个领域的知识.同时结合数学概念、数学思想方法,通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径,因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识.
常用的重点内容为:
(1)实数的相关定义及计算的综合:
__________;
(2)方程和函数的综合:
____________________;
(3)相似三角形和函数的综合:
______________;
(4)不等式和函数的综合:
__________________;
(5)不同学科之间的综合:
__________________;
(6)动点和函数知识的综合:
________________;
(7)动点和相似三角形以及三角形面积的综合:
______________________________________________.
●关键提示
1.综合型问题具有较强的综合性,解决此类问题需要用到整个初中阶段学习的所有的知识.它需要扎实的功底.
2.要体会综合运用知识来解决问题的策略,多角度思考问题,总结出综合型问题的一般求解思路和方法.
典例分析
专题研学
●三维整合
1.综合型问题所涉及的知识涵盖了初中阶段所有内容,解答时重点是需要对问题中涉及的综合知识熟练灵活掌握.难点是要灵活应用基础知识,综合各个方面的知识,找到解决问题的思路与方法.如例1中利用计算机知识和数学探究规律知识的综合,应用二进制和十进制的转化规律得出正确答案.再如例2需要在熟练运用物理上的电学知识和数学中的代数式等知识的基础上进行解答.在例3中则考查了二次函数的增减性、最值、对称性和平行线、三角形和相似图形等知识等性质,以及对函数图象的阅读能力.例4则可以综合运用二次函数的知识和一元二次方程和相似三角形等知识,很好地掌握二次函数的性质、一元二次方程和相似三角形的基础知识可以正确解答此题.都属于综合型的考查.
2.在解综合型问题的过程中,要注重各个学科、各个知识点的综合掌握,如例1中利用计算机知识和数学探究规律知识的综合;例2需要熟练运用物理上的电学知识和数学中的代数式等知识的基础上进行解答.
例3则可以综合运用二次函数的增减性、对称性、最大(小)值、图象和平行线、三角形和相似图形等综合知识.
3.综合型题目,既让学生能够灵活掌握所学的知识,同时也培养同学们综合运用各个方面知识的能力,又可以进一步培养理性思维和综合能力.如例1、例3、例4等.
●典题诠释
【例1】计算机利用的是二进制数,它共有两个数0、1,将一个十进制数转化为二进制数,只需把该数写成若干个2n数的和,依次写出1或0即可,如19(十)=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011
(二)为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的()
A.10位数B.11位数
C.12位数D.13位数
剖析:
此题是利用计算机知识和数学探究规律知识的综合.很好地理解二进制和十进制的转化规律是解答本题的关键.
解答:
B
【例2】图1所示的电路的总电阻为10Ω,若R1=2R2,则R1、R2的值分别是()
图1
A.R1=30Ω,R2=15Ω
B.R1=
Ω,R2=
Ω
C.R1=15Ω,R2=30Ω
D.R1=
Ω,R2=
Ω
剖析:
此题是不同学科之间的综合,需要运用物理上的电学知识和数学中的代数式等知识的综合.
解答:
A
【例3】如图2,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
图2
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2.
剖析:
可以综合运用二次函数的增减性、对称性、最大(小)值、图象和平行线、三角形和相似图形等知识,很好地掌握二次函数的性质和全等三角形、相似三角形的基础知识可以正确解答此题.
解答:
(1)当点P运动2秒时, S△APE=
.
(2)①S关于t的函数关系式为
S=
②当0≤t≤6时,S的最大值为
;当6≤t≤8时,S的最大值为6
.所以当t=8时,S有最大值为6
.
【例4】已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3.
(1)证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上.
(2)若抛物线与x轴交于M、N两点,当OM·ON=3,且OM≠ON时,求抛物线的解析式.
(3)若
(2)中所求抛物线顶点为C,与y轴交点在原点上方,抛物线的对称轴与x轴交于点B,直线y=-x+3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点,过点P作PD⊥AC,垂足D在线段AC上.试问:
是否存在点P,使S△PAD=
S△ABC?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
剖析:
可以综合运用二次函数的的知识和一元二次方程和相似三角形等知识,很好地掌握二次函数的性质、一元二次方程和相似三角形的基础知识可以正确解答此题.
解答:
(1)顶点坐标为(m,-m+3),顶点在直线y=-x+3上.
(2)∵抛物线与x轴交于M、N两点,∴Δ>0,即(2m)2-4(m2+m-3)>0.解得m<3.∴m=0,m=-1.∴当m=0时,y1=-x2+3(与OM≠ON矛盾,舍).∴m=-1,y1=-x2-2x+3;当m2+m-3=0时,y2=-x2+4x-3,y3=-x2-6x-3.
(3)P(-1,2
)或P′(-1,-2
).
专题四
图表信息型问题
基础讲解
图表信息型问题是近两年中考的热点,你知道解决这类问题的方法和策略吗?
你掌握图表信息问题常用的数学思想吗?
中考解读
一、考查的内容以及要求
1.了解中考图表信息问题的常见类型.
2.图表信息问题具有较强的广泛性、灵活性,解决此类问题需要有扎实的基础知识、较强的分析能力.
3.这类题目一般是通过观察图象、整理信息,抽象出数学问题,并用数学语言抽象成数学模型,使学生“亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”,有利于学生理解、掌握相关知识和方法,形成良好的数学思维习惯和应用意识,感受到数学创造的乐趣,树立学好数学的自信心.
4.通过专题复习,加强学生识图能力和处理图表信息能力,提高学生综合运用知识的能力.
二、内容考查的方式、趋势和应试策略
信息时代的到来,呼唤信息型的中考试题,近年来中考数学试题,很多都是以图象、图表为背景展现在考生面前,这方面的试题不拘泥于大纲和课本,形式多样.所谓信息型题就是根据图象、图表等给出数据信息,进而依据这些给出的信息通过整理、分析、加工、处理等手段解决的一类实际问题.由于此类问题命题背景广泛、蕴含知识丰富,突出对考生收集、整理与加工信息能力的考查,近年来常在各地的中考试卷中出现.此类问题内容背景新颖、实际、灵活,解决问题时要准确理解题意,进行大胆分析、处理信息.
导学提示
●知识储备
1.图表信息问题,需要通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径,因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识.
2.常用的重点内容为:
(1)方程的种类及其基本形式:
_______________;
(2)方程组:
_______________________________;
(3)统计中的常见名词:
_____________________;
(4)函数的解析式的确定:
__________________;
(5)函数的性质及其图象:
__________________.
●关键提示
1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法.
2从实际问题中获取必需的信息——分析、处理有关信息——转化为数学问题(建模)——解答数学问题——解答.
典例分析
专题研学
●三维整
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