高二下数学理科导数、定积分周末练习卷(含答案).doc
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2011-2012学年第二学期高二理科数学周练(五)
2012-3-8
一、选择题
1.(ex+2x)dx等于( )
A.1B.e-1C.eD.e+1
解析:
选C.(ex+2x)dx=(ex+x2)|=(e1+12)-(e0+02)=e.
2.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-1,0)
解析:
选C.由题意知x>0,且f′(x)=2x-2-,即f′(x)=>0,
∴x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.又∵x>0,∴x>2.
3.函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·f′(x)>0,则下列结论中正确的是( )
A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点
C.x=-1不是函数f(x)的极值点D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点
解析:
选D.由题意,得x>-1,f′(x)>0或x<-1,f′(x)<0,但函数f(x)在x=-1处未必连续,
即x=-1不一定是函数f(x)的极值点,故选D.
4.曲线y=-在点M处的切线的斜率为( )
A.-B.C.- D.
解析:
y′==,
故y′=,∴曲线在点M处的切线的斜率为.
5.由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
A.B.4C. D.6
解析:
选C.由,得其交点坐标为.因此y=与y=x-2及y轴所围成的图形的面积dx=dx==.
6、设f(x)=则f(x)dx等于( C )
A.B.C. D.不存在
7、设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)的图像是( )
解析:
若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则易得a=c.因选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex,∴x=-1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件;选项C中,对称轴x=->0,且开口向下,
∴a<0,b>0.∴f(-1)=2a-b<0.也满足条件;选项D中,对称轴x=-<-1,且开口向上,∴a>0,b>2a.∴f(-1)=2a-b<0.与图矛盾,故答案选D.
8、设则,dx等于 ( )
A. B. C. D.不存在,
解析 本题应画图求解,更为清晰,如图,
9、曲线y=cosx(0≤x≤)与坐标轴围成的面积是( )
A.4 B. C.3 D.2
解析 先作出y=cosx的图象,如图所示,从图象中
可以看出
=1-0-(-1-1)=3.
10、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则a2+b2的取值范围是( )
A.[,+∞) B.(0,]C.[,+∞) D.(0,]
解析:
由题意得f′(x)=3x2+2ax+b,f′(x)≤0在x∈(-1,0)上恒成立,即3x2+2ax+b≤0在x∈(-1,0)上恒成立,∴∴a,b所满足的可行域如图中的阴影部分所示.则点O到直线2a-b-3=0的距离d=.∴a2+b2≥d2=.∴a2+b2的取值范围为[,+∞).
二、填空题
11、函数f(x)=x+2cosx在区间[0,]上的单调递减区间是________.
解析:
f′(x)=1-2sinx,令f′(x)≤0,即1-2sinx≤0,所以sinx≥.
又∵x∈[0,],所以≤x≤,即函数f(x)的单调递减区间是.
12、设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是________.
解析:
y′=ex+a,问题转化为“方程ex+a=0有大于零的实数根”,
由方程解得x=ln(-a)(a<0),由题意得ln(-a)>0,即a<-1.
13、已知函数f(x)=xex,则函数f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为________.
解析:
依题意得f′(x)=1·ex+x·ex=(1+x)ex;f′(0)=(1+0)e0=1,f(0)=0·e0=0,因此函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y-0=x-0,即y=x.
14、设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若ʃf(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为________.
解析 ʃ(ax2+c)dx=ax+c,∴=ax,∵a≠0,∴x=,又0≤x0≤1,∴x0=.
15、如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,记直线OP、曲线y=x2
及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2,若S1=S2,则点P的坐标为________
解析:
设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x,y),
则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,即(kx2-x3)=(x3-kx2),
解得kx2-x3=-2k-(x3-kx2),
解得k=,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为(,).
三、解答题
16.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx.
(1)若曲线y=f(x)在(2,f
(2))处切线的斜率为-1,求a的值;
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