高考复习教案解三角形.doc
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高考复习教案解三角形.doc
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正弦定理和余弦定理
基础梳理
1.正弦定理:
===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:
(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
(3)sinA=,sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以变形为:
cosA=,cosB=,cosC=.
3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==(a+b+c)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
a<bsinA
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
【例1】►在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.
[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.
解 由正弦定理得=,=,
∴sinA=.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c==;
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.
【训练1】(·北京)在△ABC中,若b=5,∠B=,tanA=2,则sinA=________;a=________.
解析 因为△ABC中,tanA=2,所以A是锐角,
且=2,sin2A+cos2A=1,
联立解得sinA=,
再由正弦定理得=,
代入数据解得a=2.
答案 2
【例2】►在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
[审题视点]由=-,利用余弦定理转化为边的关系求解.
解
(1)由余弦定理知:
cosB=,
cosC=.
将上式代入=-得:
·=-,
整理得:
a2+c2-b2=-ac.
∴cosB===-.
∵B为三角形的内角,∴B=π.
(2)将b=,a+c=4,
B=π代入b2=a2+c2-2accosB,
得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
∴13=16-2ac,∴ac=3.
∴S△ABC=acsinB=.
【训练2】(·桂林模拟)已知A,B,C为△ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos2+cosA=0.
(1)求角A的值;
(2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积.
解
(1)由2cos2+cosA=0,
得1+cosA+cosA=0,
即cosA=-,
∵0<A<π,∴A=.
(2)由余弦定理得,
a2=b2+c2-2bccosA,A=,
则a2=(b+c)2-bc,
又a=2,b+c=4,
有12=42-bc,则bc=4,
故S△ABC=bcsinA=.
【例3】►在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
解
(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC的面积等于,所以absinC=,得ab=4,联立方程组解得
(2)由题意,得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
即sinBcosA=2sinAcosA.
当cosA=0,即A=时,B=,
a=,b=;
当cosA≠0时,得sinB=2sinA,
由正弦定理,得b=2a.
联立方程组
解得
所以△ABC的面积S=absinC=.
【训练3】(·北京西城一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cosB=,b=2.
(1)当A=30°时,求a的值;
(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.
解
(1)因为cosB=,所以sinB=.
由正弦定理=,可得=,
所以a=.
(2)因为△ABC的面积S=ac·sinB,sinB=,
所以ac=3,ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,
得4=a2+c2-ac=a2+c2-16,即a2+c2=20.
所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40.
所以a+c=2.
正弦定理与余弦定理
1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于( ).
A.5 B.10
C. D.5
解析 由A+B+C=180°,知C=45°,
由正弦定理得:
=,
即=.∴c=.
答案 C
2.在△ABC中,若=,则B的值为( ).
A.30°B.45°C.60°D.90°
解析 由正弦定理知:
=,∴sinB=cosB,∴B=45°.
答案 B
3.(·郑州联考)在△ABC中,a=,b=1,c=2,则A等于( ).
A.30°B.45°C.60°D.75°
解析 由余弦定理得:
cosA===,
∵0<A<π,∴A=60°.
答案 C
4.在△ABC中,a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为( ).
A.3B.2C.4D.
解析 ∵cosC=,0<C<π,
∴sinC=,
∴S△ABC=absinC
=×3×2×=4.
答案 C
5.已知△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,则此三角形的最大内角为________.
解析 ∵a2+b2-c2=-ab,
∴cosC==-,
故C=150°为三角形的最大内角.
答案 150°
6.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= .
7.在中,若,则的大小是______________.
8.在△ABC中,若,求的值.
解 由条件
∴
同理可得
∴==7.在△ABC中,分别为内角A,B,C的对边,若,求A的值.
9.在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
解:
(Ⅰ)在中,,由正弦定理,
.所以.
(Ⅱ)因为,所以角为钝角,从而角为锐角,于是
,,
.
10.在△ABC中,角A、B、C对边分别为,已知,
(1)求∠A的大小;
(2)求的值
解(1)∵
∴
在△ABC中,由余弦定理得
∴∠A=
(2)在△ABC中,由正弦定理得
∵
∴
11.在△ABC中,角A、B、C对边分别为,S为△ABC的面积,且有
,
(1)求角B的度数;
(2)若,S=,求的值
解由二倍角公式,已知等式化简为
∴
∴B=或120°
∴
∴
当B=时,由余弦定理,得
当B=120°时,由余弦定理,得
正弦定理和余弦定理
基础梳理
1.正弦定理:
===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:
(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以变形为:
cosA=,cosB=,cosC=.
3.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
a<bsinA
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
【例1】►在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.
【训练1】(·北京)在△ABC中,若b=5,∠B=,tanA=2,则sinA=________;a=________.
【例2】►在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
【训练2】(·桂林模拟)已知A,B,C为△ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos2+cosA=0.
(1)求角A的值;
(2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积.
【例3】►在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
【训练3】(·北京西城一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cosB=,b=2.
(1)当A=30°时,求a的值;
(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.
正弦定理与余弦定理
1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于( ).
A.5 B.10
C. D.5
2.在△ABC中,若=,则B的值为( ).
A.30°B.45°C.60°D.90°
3.(·郑州联考)在△ABC中,a=,b=1,c=2,则A等于( ).
A.30°B.45°C.60°D.75°
4.在△ABC中,a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为( ).
A.3B.2C.4D.
5.已知△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,则此三角形的最大内角为________.
6.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= .
7.在中,若,则的大小是______________.
8.在△ABC中,若,求的值.
9.在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
10.在△ABC中,角A、B、C对边分别为,已知,
(1)求∠A的大小;
(2)求的值
11.在△ABC中,角A、B、C对边分别为,S为△ABC的面积,且有
,
(1)求角B的度数;
(2)若,S=,求的值
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