本科阶段固体物理期末重点计算题.docx
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本科阶段固体物理期末重点计算题
第一章晶体结构
1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子,各自的基元为何写出这两种结构的原胞与晶胞基矢,设晶格常数为a。
解:
氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na+和一个Cl-组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的C原子和一个体对角线上的C原子组成的C原子对。
由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成,所以,其元胞基矢都为:
相应的晶胞基矢都为:
2.六角密集结构可取四个原胞基矢与,如图所示。
试写出、、、这四个晶面所属晶面族的晶面指数。
解:
(1).对于面,其在四个原胞基矢上的截矩分别为:
1,1,,1。
所以,其晶面指数为。
(2).对于面,其在四个原胞基矢上的截矩分别为:
1,1,,。
所以,其晶面指数为。
(3).对于面,其在四个原胞基矢上的截矩分别为:
1,,,。
所以,其晶面指数为。
(4).对于面,其在四个原胞基矢上的截矩分别为:
,,,1。
所以,其晶面指数为。
3.如将等体积的硬球堆成下列结构,求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为:
简立方:
;体心立方:
;面心立方:
;六角密集:
;金刚石:
。
证明:
由于晶格常数为a,所以:
(1).构成简立方时,最大球半径为,每个原胞中占有一个原子,
(2).构成体心立方时,体对角线等于4倍的最大球半径,即:
,每个晶胞中占有两个原子,
(3).构成面心立方时,面对角线等于4倍的最大球半径,即:
,每个晶胞占有4个原子,
(4).构成六角密集结构时,中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体,其高则正好是其原胞基矢的长度的一半,由几何知识易知。
原胞底面边长为。
每个晶胞占有两个原子,
,
原胞的体积为:
(5).构成金刚石结构时,的体对角线长度等于两个最大球半径,即:
,每个晶胞包含8个原子,
4.金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同,试用矢量分析的方法证明这一夹角为。
证明:
如图所示,沿晶胞基矢的方向建立坐标系,并设晶格常数为1。
选择体对角线和,用坐标表示为和。
所以,其夹角的余弦为:
5.试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度,设晶格常数为a。
解:
如图所示,面ABCD即(110)面,面CDE即为(111)面。
设该面心立方的晶格常数为a,则
在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD,其面积为,所以其原子数面密度为:
在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG,其面积为:
,
所以其原子数面密度为:
6.若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子,试确定此结构的原胞,每个原胞内包含几个原子,设立方边长为a。
解:
这种体心立方结构中有五种不同的原子。
顶角、体心上的原子是两种不同的原子,另外,面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组,是互不相同的原子。
故此种结构共有五种不同的原子,整个面心立方就是一个原胞。
每个原胞中的原子数为:
(个)
7.底心立方(立方顶角与上、下底心处有原子)、侧心立方(立方顶角与四个侧面的中心处有原子)与边心立方(立方顶角与十二条棱的中点有原子)各属何种布拉维格子每个原胞包含几个原子
解:
这三种结构都属于简立方结构,原胞包含的原子数分别为:
底心立方:
侧心立方:
边心立方:
第二章
1.由实验测得NaCl晶体的密度为cm3,它的弹性模量为×1010N/m2,试求NaCl晶体的每对离子内聚能。
(已知马德隆常数M=,Na和Cl的原子量分别为23和)
解:
NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为
晶胞基矢长为2,一个晶胞中含有四对正负离子对
一个原胞(一个NaCl分子)的体积为:
=
NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为:
由晶体体积弹性模量的公式:
,
并且由于NaCl晶体为面心立方结构,参数=2,故由上式可得:
=
=
由平衡时离子晶体的内聚能公式:
,
将n=代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为:
=
2.LiF晶体具有NaCl结构,已由实验测得正负离子间的最近距离=(1摩尔的内聚能=mol,以孤立离子系统的内能为能量的零点)。
试计算该晶体的体积弹性模量,并与它的实验植进行比较。
解:
由平衡时离子晶体的内聚能公式:
,其中M=
计算1mol的内聚能时,N=Na=×1023,且=,计算得:
n=
=
=
LiF晶体具有NaCl结构,将=2,n=,=代入上式得:
晶体的弹性模量为:
=×1010(N/m2)
相对误差为:
3.由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德——琼斯势参数在低温下Xe元素形成面心立方的晶体,试求Xe晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能及体积弹性模量Bm。
若对Xe晶体施加压力。
试在近似假定体积弹性模量不变的情况下,计算这些晶体的晶格常数a将变为多少并求这时的内聚能将变为多少
解:
原子间的平衡间距为:
因结构为立方晶体,则晶格常数为:
每个原子的内聚能为:
体积弹性模量:
=×109N/m2
由体积弹性模量的定义式可知:
因为:
故P
晶格常数
内聚能
第三章
1.一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关系。
解:
设第个原子的势能函数为
其中,为与第个原子的相距的原子间的恢复力常数,为晶格常数。
则,第个原子的受力为
其中,利用了。
第个原子的运动方程为
令其试解为
代入运动方程得
故,
2.聚乙烯链的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为,但每个原子与左右的力常数分别为和,原子链的周期为。
证明振动频率为
解:
单键及双键的长分别为和,而
原子与的运动方程分别为
令这两个方程的试解为
把试解代入运动方程得
有非零解的条件为
解得
利用,方程的解为
晶体中的衍射
1.试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。
方法1:
面心立方:
(1)
由正格子和倒格子的转换关系
(2)
其中:
得:
(3)
在体心立方中
(4)
由
(2)式可得
(5)
比较
(1)与(5),(3)与(4)便可得面心立方与体心立方互为正,倒格子。
方法2:
由方法一中的
(1)可知正格子与倒格子之间存在如下关系:
由此可得面心立方的倒格子基矢:
同理可得体心立方的倒格子基矢:
比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。
2.为简单正交格子的基矢,试证明晶面族(hkl)的晶面间距为
解:
由知
可得:
再由中和的关系:
可得:
得证。
3.设一二维格子的基矢,,夹角a=,试画出第一与第二布里渊区。
二维倒格子基矢与正格子基矢间有如下关系:
解:
令
中间矩形为第一布里渊区,阴影部分为第二布里渊区。
晶格振动和晶体的热学性质
1,求一维单原子链的振动模式密度,若格波的色散可以忽略,其具有什么形式,比较这两者的曲线。
解:
一维单原子链的晶格振动的色散关系为
其中,
此函数为偶函数,只考虑的情况,下式右边乘2。
区间振动模式数目为
其中,
故色散关系为
其中,为单链总长,为晶格常数,因此,为原子个数。
若格波没有色散,既只有一个(爱因斯坦模型)。
而且振动模式密度函数满足下面关系
故,为函数
色散关系的曲线图如下:
4.金刚石(碳原子量为12)的杨氏模量为,密度。
试估算它的德拜温度
解:
德拜温度为
将,,代入上式
5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。
解:
在德拜模型中,纵波与横波的最大振动频率均为,其中。
纵波的零点振动能为
同理,两支横波的零点振动能均为
故,总的零点振动能为
7.和的原子量分别为23和37。
氯化钠立方晶胞边长为,在方向可以看作是一组平行的离子链。
离子间距。
晶体的杨氏模量为,如果全放射的光频率与的光频模频率相等,求对应的光波波长(实验值为)。
解:
在一维双原子链模型中,时,光频模频率为
杨氏模量为
故,
光波波长为
金属电子论
1.导出一维和二维自由电子气的能态密度。
解:
一维情形
由电子的Schrödinger方程:
得自由电子波函数解:
且有:
由周期性边界条件:
得:
在到区间:
那么:
,其中:
二维情形
同上,由电子的Schrödinger方程:
得自由电子波函数解:
,
且:
由周期性边界条件:
得:
,
在到区间:
那么:
其中:
2.He3是费米子,液体He3在绝对零度附近的密度为g/cm3。
计算它的费米能EF和费米温度TF。
解:
He3的数密度:
其中m是单个He3粒子的质量。
可得:
代入数据,可以算得:
EF=×10-23J=×10-4eV.
则:
=K.
5.银是一价金属,在T=295K时,银的电阻率ρ=×10-6Ω·cm,在T=20K时,电阻率ρ=×10-8Ω·cm。
求在低温和室温时电子的自由程。
银的原子量为,密度为g/cm3。
解:
由
可得:
又:
其中为阿伏加德罗常数,为Ag的原子量,为Ag的密度。
将上式代入l的表达式,并代入数据可得:
当T=295K时,l=×10-4m,
当T=20K时,l=m.
在计算过程中,已取VF=106m.
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