二次函数的综合应用中考专训.docx
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二次函数的综合应用中考专训
第三章函数
第六节 二次函数的综合应用
(建议时间:
分钟)
类型一 二次函数与特殊三角形判定
1.(2019陕师大附中模拟)如图,抛物线y=x2-2x-8与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、BC,点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为a,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.
(1)求点A、点B和点C的坐标;
(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以点A,点C和点Q为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第1题图
2.在平面直角坐标系中,抛物线L:
y=-x2+bx+c经过A(2,0)、B(6,0),顶点为C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)在抛物线L的对称轴上存在一点D,使得△ABD是等边三角形,请求出D点坐标;
(3)作抛物线L关于原点O中心对称的抛物线L′,在抛物线L′的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
类型二 二次函数与特殊四边形判定
3.在平面直角坐标系中,已知三点A、B、C的坐标分别为A(-6,0),B(2,0),C(0,3).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的表达式;
(2)过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D,求点D的坐标;
(3)若抛物线的顶点为P,连接PC、PD,在抛物线的对称轴上是否存在点E,使得四边形CEDP为菱形?
若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2019西安高新一中模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-2,0)、B两点,与y轴交于C点,其对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)把线段AC沿x轴向右平移,设平移后A、C的对应点分别为A′、C′,当C′落在抛物线上时,求A′、C′的坐标;
(3)除
(2)中的▱ACC′A′外,在x轴和抛物线上是否分别存在点E、F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形仍为平行四边形?
若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
第4题图
类型三 二次函数与图形面积
5.(2019无锡节选)已知二次函数y=ax2+bx-4(a>0)的图象与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧,且OA<OB),与y轴相交于点C.
(1)求点C的坐标,并判断b的正负性;
(2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D,已知DC∶CA=1∶2,直线BD与y轴相交于点E,连接BC.若△BCE的面积为8,求这个二次函数的表达式.
6.(2019西安交大附中模拟)如图,抛物线C1的图象与x轴交于A、O两点,顶点为点B(-1,-1).
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)将抛物线C1绕点A旋转180°得到抛物线C2,使抛物线C2的顶点为点B′.试通过计算判断抛物线C2是否过点B;
(3)在抛物线C1或C2的图象上是否存在点D,使S△B′BD=S△B′BO?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
第6题图
7.(2019遵义)如图,抛物线C1:
y=x2-2x与抛物线C2:
y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于O、C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B、点A,OA=2OB.
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;
(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO、MC.M运动到什么位置时,△MOC面积最大?
并求出最大面积.
第7题图
类型四 二次函数与三角形相似
8.(2019西安交大附中模拟)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0)、B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
9.(2019西安高新一中模拟)在平面直角坐标系中,抛物线L1:
y=mx2+2mx+n与x轴交于点A(-4,0)和点C,且经过点B(-2,3),抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称.
(1)求抛物线L2的解析式;
(2)记点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,现将抛物线L2上下平移后得到抛物线L3,抛物线L3的顶点为M,抛物线L3的对称轴与x轴交于点N,试问:
在x轴的下方是否存在一点M,使得△MNA′与△ACB′相似?
若存在,请求出抛物线L3的解析式;若不存在,请说明理由.
参考答案
第六节 二次函数的综合应用
1.解:
(1)∵抛物线与x轴交于A、B两点,
∴令y=0,则x2-2x-8=0,
解得x1=4,x2=-2,
又∵点A在点B的左侧,
∴A(-2,0),B(4,0),
∵抛物线与y轴交于点C,
∴令x=0,则y=-8,
∴C(0,-8);
(2)存在.
∵A(-2,0),C(0,-8),B(4,0),
∴AC===2,
易得BC所在直线的表达式为y=2x-8,AC所在直线的表达式为y=-4x-8,
∵点P的横坐标为a,PM⊥x轴交BC于点Q,
∴PM∥y轴,
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