初中数学辅助线添加技巧旋转.docx
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初中数学辅助线添加技巧旋转
初中数学辅助线添加技巧:
旋转
方法总结
1.旋转是中考压轴题中常见题型,在解这类题目时,什么时候需要构造旋转,怎么构造旋转.下面,就不同类型的旋转问题,给出构造旋转图形的解题方法:
遇中点,旋转180°,构造中心对称;
遇90°,旋90°,造垂直;
遇60°,旋60°,造等边;
遇等腰,旋等腰.
综上四点得到旋转的本质特征:
等线段,共顶点,就可以有旋转.
2.图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角.下面给出旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角之一.
如图1,若,必有,反之亦然.
如图2,若,必有.
倒角是在初中数学学习中常用的名词,其意思是通过角之间的等量关系,得到我们所需要的角度的关系的过程.
典例精析
例1.
(1)如图1,边长为1的正方形ABCD,绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D',图中我们阴影部分的面积是()
A.B.C.D.
(2)正方形ABCD在坐标系中的位置如图2所示,将正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后,B点的坐标为.
解:
(1)A;
(2)(4,0).
点拨:
本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图,是数形结合的完美体现.首先要确定旋转中心是点D而不是坐标原点O,此处易出现错误,然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD绕点D旋转90°后B'的位置,这类题型常见于正方形网格中的旋转作图.
例2.如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、DC上的点,且∠EAF=45°,求证:
EF=BE+DF.
证明:
延长CB到点G,使得BG=DF,连接AG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴,即.
∵,
∴.
∴.
点拨:
旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中,从而可充分利用已知条件,找到有效的解题方法.这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用.
本题是旋转一个经典模型(半角模型),其中结论较多.
例3.如图,以的边AC、AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,连接EC交AB于点H,连接BG交CE于点M,求证:
BG⊥CE.
证明:
∵四边ABDE、ACFG是正方形,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
点拨:
本题旋转的基本模型,充分体现了利用旋转全等解题,本题是以为基本,以其两边分别向外构造正方形,构成旋转全等(其中用到了8字倒角),和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形.
例4.如图,在等腰中,,在四边形BDEC中,DB=DE,,M为CE的中点,连接AM、DM.
(1)在图中画出关于点M成中心对称的图形;
(2)求证:
;
(3)当时,.
解:
(1)
(2)在
(1)中连接AD、AF.
由
(1)中的中心对称可知,,
∴,
∵,
∴
.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
(3).
∵,
∴.
若,则为等腰直角三角形,即,
∴
点拨:
本题中第
(1)问已经作出了中心对称图形,所以利用中心对称证全等的思路很清晰.本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角.初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等.
例5.已知:
在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=;
(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=;
(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
图1图2图3
(1);
(2);
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.联结AE,CE,∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a,
∴△CDE为等边三角形,
∴CE=CD.
当点E、A、C不在一条直线上时,有CD=CE 当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b; 此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°, ∴∠ACB=120°, 因此当∠ACB=120°时,CD有最大值是a+b. 例6.已知∠MAN,AC平分∠MAN. (1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证: AB+AD=AC; (2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则 (1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (3)在图3中: ①∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=AC; ②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=AC(用含α的三角函数表示),并给出证明. 解: (1)= 证明: ∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°, ∴∠CAB=∠CAD=60°, ∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴∠ACB=∠ACD=30°, ∴, ∴AB+AD=AC. (2)成立. 证法一: 如图,过点C分别作AM,AN的垂线,垂足分别为E,F, ∵AC平分∠MAN, ∴CE=CF, ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°, ∴∠CDE=∠ABC, ∵∠CED=∠CFB=90°, ∴△CED≌△CFB, ∴ED=FB, ∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE,由 (1)知AF+AE=AC, ∴AB+AD=AC, 证法二: 如图,在AN上截取AG=AC,连接CG, ∵∠CAB=60°,AG=AC,∴∠AGC=60°,CG=AC=AG, ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°, ∴∠CBG=∠ADC, ∴△CBG≌△CDA, ∴BG=AD, ∴AB+AD=AB+BG=AG=AC; (3)①证明: 由 (2)知,ED=BF,AE=AF, 在Rt△AFC中,, 即, ∴, ∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE=2AF. 把α=60°,代入得. ② 点拨: 在第 (2)小题中,由题意可知,,有60°角就可把有关图形旋转60°,所以我们作的实质,就是将以顶点C为旋转中心顺时针旋转了60°,从而构造了全等三角形,使此题有了解题思路. 例7.如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2). (1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明; (2)当α=30°时,求证: △AOE1为直角三角形. 解: (1)AE1=BF1. 证明: ∵O为正方形ABCD的中心, ∴OA=OD, ∵OF=2OA,OE=2OD, ∴OE=OF, ∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1 ∴OE1=OF1, ∵∠F1OB=∠E1OA,OA=OB, ∴△E1AO≌△F1BO, ∴AE1=BF1; (2)证明: 取OE1中点G,连接AG, ∵∠AOD=90°,α=30°, ∴∠E1OA=90°-α=60°, ∵OE1=2OA, ∴OA=OG, ∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°, ∴AG=GE1, ∴∠GAE1=∠GE1A=30°, ∴∠E1AO=90°, ∴△AOE1为直角三角形. 例8.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点. (1)求证: △MDC是等边三角形; (2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD')与AB交于一点E,MC即MC')同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值. 解: (1)证明: 过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q, ∵∠C=∠B=60° ∴,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,故BC=2AD, 由已知,点M是BC的中点, BM=CM=AD=AB=CD, 即△MDC中,CM=CD,∠C=60°,故△MDC是等边三角形. (2)解: △AEF的周长存在最小值,理由如下: 连接AM,由 (1)平行四边形ABMD是菱形,△MAB,△MAD和△MC'D'是等边三角形, ∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°, ∴∠BME=∠AMF). 在△BME与△AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°, ∴△BME≌△AMF(ASA). ∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB, ∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF. ∵MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是. AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, △AEF的周长的最小值为. 跟踪训练 1.如图,在△ABC中,AB=AC,,点D是BC上的任意一点,探究: 与的关系,并证明你的结论. 2.如图,P是等边△ABC内一点,若AP=3,PB=4,PC=5,求的度数. 3.如图1,在中,于点,恰为的中点,. (1)求证: ; (2)如图2,点在线段上,作于点,连结. 求证: ; (3)请你在图3中画图探究: 当为线段上任意一点(不与点重合)时,作垂直直线,垂足为点,连结.线段、与之间有怎样的数量关系? 直接写出你的结论. 4.请阅读下列材料: 已知: 如图 (1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是: 把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题: (1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想; (2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图 (2),其它条件不变, (1)中探究的结论是否发生改变? 请说明你的猜想并给予证明; (3)已知: 如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数. 5.请阅读下列材料: 问题: 如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值. 小聪同学的思路是: 延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题: (1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值; (2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在 (1)中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明. (3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示). 6.在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM. (1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图1,探索BM、DM的关系并给予证明; (2)如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图2,那么 (1)中的结论是否仍成立? 如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明. 7.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,EF=BE,∠BEF=9
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