第一章 13 第一课时 并集和交集Word格式.docx
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1.若A={1,2},B={3,4},则A与B没有交集.(×
)
提示 交集为.
2.若A={1,2},B={1,3,4},则A∪B={1,2,1,3,4}.(×
提示 A∪B={1,2,3,4}.
3.若x∈(A∩B),则x∈(A∪B).(√)
4.若x∈(A∪B),则x∈(A∩B).(×
提示 不一定成立,x不一定是A,B的公共元素.
[微训练]
1.已知集合A={x|x>
0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B等于________.
解析 A∪B={x|x>
0}∪{x|-1≤x≤2}={x|x≥-1}.
答案 {x|x≥-1}
2.若P={x|x≥1},Q={x|-1<
x<
4},则P∩Q=________.
解析 如图所示,P∩Q={x|1≤x<
4}.
答案 {x|1≤x<
4}
[微思考]
1.并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况,你知道有哪三种情况吗?
提示 “x∈A或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:
x∈A但xB;
x∈B但xA;
x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.可用图表示.
2.某次校运动会上,高一
(一)班有10人报名参加田赛,有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人,你能算出高一
(一)班参赛人数吗?
提示 19人.参赛人数包括参加田赛的,也包括参加径赛的,但由于元素互异性的要求,两项都报的不能重复计算,故有10+12-3=19(人).
题型一 并集的概念及简单应用
【例1】
(1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=( )
A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}
C.{2,3,4}D.{1,3,4}
(2)已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=( )
A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}
解析
(1)由定义知A∪B={1,2,3,4}.
(2)在数轴上表示两个集合,如图,可得P∪Q={x|x≤4}.
答案
(1)A
(2)C
规律方法 求集合并集的两种方法
(1)定义法:
若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;
(2)数形结合法:
若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以利用数轴分析法求解,此时要注意集合的端点能否取到.
【训练1】 已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N=( )
A.{0}B.{0,3}
C.{1,3,9}D.{0,1,3,9}
解析 易知N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.
答案 D
题型二 交集的概念及简单应用
【例2】
(1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}B.{3}
C.{-3,2}D.{-2,3}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=( )
A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}
解析
(1)易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2},故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示.
则由交集的定义知,A∩B={x|0≤x≤2}.
答案
(1)A
(2)A
规律方法 求集合A∩B的常见类型
(1)若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集.
(2)若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集.
(3)若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
【训练2】
(1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5B.4
C.3D.2
(2)已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=( )
A.x=3,y=-1B.(3,-1)
C.{3,-1}D.{(3,-1)}
解析
(1)分别令3n+2=6,8,10,12,14,只有3n+2=8,3n+2=14有自然数解,故A∩B={8,14},故选D.
(2)由
得
故M∩N={(3,-1)}.
答案
(1)D
(2)D
题型三 并集、交集的运算性质及应用
【探究1】 设A,B是两个集合,若已知A∩B=A,A∪B=B,由此可分别得到集合A与B具有怎样的关系?
解 A∩B=AA∪B=BAB,即A∩B=A,A∪B=B,AB三者为等价关系.
【探究2】 设集合A={1,2},若A∩B=B,求B.
解 由A∩B=B,知BA,故B=或{1}或{2}或{1,2}.
【探究3】 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解
(1)由题可知:
A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
∵A∩B={2},∴2∈B,将x=2代入方程x2+2(a-1)x+(a2-5)=0得:
4+4(a-1)+(a2-5)=0,解得:
a=-5或a=1.
当a=-5时,集合B={2,10},符合题意;
当a=1时,集合B={2,-2},符合题意.
综上所述:
(2)若A∪B=A,则BA,
∵A={1,2},∴B=或B={1}或{2}或{1,2}.
若B=,则Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<
0,
解得a>
3;
若B={1},则
即
不成立;
若B={2},则
若B={1,2},则
此时不成立.
综上,a的取值范围是{a|a>
3}.
规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据:
A∩B=AAB,A∪B=ABA.
(2)关注点:
当集合AB时,若集合A不确定,运算时要考虑A=的情况,否则易漏解.
【训练3】 已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=,求实数a的取值范围.
解 由A∩B=,
(1)若A=,有2a>a+3,∴a>3.
(2)若A≠,如下图:
∴
解得-
≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是{a|-
≤a≤2或a>3}.
一、素养落地
1.通过对并集、交集概念的理解,培养数学抽象素养,通过进行集合间的并集、交集的运算提升数学运算素养.
2.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:
x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=.
3.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”、“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值取到与否.
二、素养训练
1.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}
解析 由题意可得:
A∪B={1,2,4,6},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
答案 B
2.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q=( )
A.{x|-1<x<2}B.{x|0<x<1}
C.{x|-1<x<0}D.{x|1<x<2}
解析 结合数轴可得P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.
答案 A
3.已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是( )
A.2B.3
C.4D.8
解析 由M∪N={-1,0,1},又M={-1,0},所以元素1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{-1,0,1},共4个.故选C.
答案 C
4.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则( )
A.a=3,b=2B.a=2,b=3
C.a=-3,b=-2D.a=-2,b=-3
解析 ∵A∩B={(2,5)},
解得a=2,b=3,故选B.
5.已知集合A={x|3≤x<
7},B={x|2<
10},C={x|x<
3或x≥7},求:
(1)A∪B;
(2)C∩B.
解
(1)由集合A={x|3≤x<
10},把两集合表示在数轴上如图所示:
得到A∪B={x|2<
10};
(2)由集合B={x|2<
3或x≥7},把两集合表示在数轴上如图所示:
则C∩B={x|2<
3或7≤x<
10}.
基础达标
一、选择题
1.设集合A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0},则A∪B等于( )
A.{-2}B.{-2,3}
C.{-1,0,-2}D.{-1,0,-2,3}
解析 因为A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},
所以A∪B={-1,0,-2,3}.故选D.
2.已知集合A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>
1},那么A∩B等于( )
A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4,5}
C.{2,3,4}D.{x∈R|1<
x≤5}
解析 ∵A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>
1},∴A∩B={x∈R|1<
x≤5},故选D.
3.若集合A={x|-2<
1},B={x|x<
-1或x>
3},则A∩B=( )
A.{x|-2<
-1}B.{x|-2<
3}
C.{x|-1<
1}D.{x|1<
解析 ∵A={x|-2<
3},
∴A∩B={x|-2<
-1},故选A.
4.设集合A={1,4,x},B={1,x2}且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 ∵A={1,4,x},B={1,x2},∴x≠1,x≠4且x2≠1,得x≠±
1且x≠4,∵A∪B={1,4,x},∴x2=x或x2=4,解之得x=0或x=±
2,故满足条件的实数x有0,2,-2,共3个,故选C.
5.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且xA∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于( )
A.{x|1≤x<
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<
1或x>
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
解析 由题意知A∪B={x|x≥0},
A∩B={x|1≤x≤3},
∴A*B={x|0≤x<
二、填空题
6.已知集合A={3,2a},B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B=________.
解析 因为A∩B={2},所以2a=2,所以a=1,b=2,故A∪B={1,2,3}.
答案 {1,2,3}
7.若集合A={x|-1≤x<
2},B={x|x≤a},若A∩B≠,则实数a的取值范围是________.
解析 A={x|-1≤x<
2},B={x|x≤a},由A∩B≠,得a≥-1.
答案 {a|a≥-1}
8.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a=________.
解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又A∪B={0,1,2,4,16},∴{a,a2}={4,16},∴a=4.
答案 4
三、解答题
9.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)求(A∪B)∩C.
解
(1)∵A∩B={2},∴4+2a+12=0,4+6+2b=0,即a=-8,b=-5,
∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6},B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)由
(1)知A∪B={-5,2,6},C={2,-3},∴(A∪B)∩C={2}.
10.已知集合A={x|x2-px+15=0}和B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分别求实数p,a,b的值.
解 因为A∩B={3},所以3∈A.
从而可得p=8,所以A={3,5}.
又由于3∈B,且A∪B={2,3,5},所以B={2,3}.
所以方程x2-ax-b=0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a=5,b=-6.
综上可得,p=8,a=5,b=-6.
能力提升
11.若P={1,2,3,m},Q={m2,3},且满足P∩Q=Q,求m的值.
解 由P∩Q=Q,可知QP,
∴m2=1或m2=2或m2=m.
解得m=±
1或m=±
或m=0.
经检验m=1时不满足集合中元素的互异性,舍去.
∴m=-1或m=±
12.设集合A={x|-1<
4},B={x|-5<
},C={x|1-2a<
2a}.
(1)若C=,求实数a的取值范围;
(2)若C≠且C(A∩B),求实数a的取值范围.
解
(1)∵C={x|1-2a<
2a}=,∴1-2a≥2a,∴a≤
,
即实数a的取值范围是
.
(2)∵C={x|1-2a<
2a}≠,
∴1-2a<
2a,即a>
∵A={x|-1<
4},
B={x|-5<
},
∴A∩B={x|-1<
}.
∵C(A∩B),
解得
<
a≤
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