平面向量的解题技巧Word格式.docx
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是
所在平面内一点,
为
边中点,
且
,那么( )
A.
B.
C.
D.
命题意图:
本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.
解:
.故选A.
2.(2006年安徽卷)在平行四边形
中,
,M为BC的中点,则
______.(用
表示)
本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.
由
得
,
所以
。
3.(2006年广东卷)如图所示,D是△ABC的边AB上的
中点,则向量
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
本题主要考查向量的加法和减法运算能力.
,故选A.
4.设平面向量
、
的和
.如果向量
,满足
,且
顺时针旋转
后与
同向,其中
,则( )
(B)
(D)
本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法:
∵
,∴
故把2
(i=1,2,3),分别按顺时针旋转30
重合,故
,应选D.
巧妙解法:
令
,则
,由题意知
,从而排除B,C,同理排除A,故选D.
点评:
巧妙解法巧在取
,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.
二.向量的坐标运算
5.(2006年重庆卷)与向量
的夹角相等,且模为1的向量是( )
(A)
(B)
或
(D)
本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.
设与向量
的夹角相等,且模为1的向量为
则
解得
故
,选B.
6.(2006年天津卷)设向量
与
的夹角为
则
_.
本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.
解:
设
,由
得
∴
时,
,故填
.
7.(2006年湖北卷)已知向量
是不平行于
轴的单位向量,且
=( )
(C)
(D)
本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.
,则依题意有
,故选B.
三.平面向量与三角函数的结合
(1)平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而综合能力较强,所以复习时,通过解题过程,力争达到既回顾知识要点,又感悟思维方法的双重效果,解题要点是运用向量知识,将所给问题转化为代数问题求解.
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度大.
8.(2007年陕西卷理17.)设函数
其中向量
=(m,cos2x),
=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
(Ⅰ)
由已知
,得
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当
的最小值为
由
值的集合为
9.(2007年湖北卷理16)
已知
的面积为
,且满足
,设
和
(I)求
的取值范围;
(II)求函数
的最大值。
(Ⅰ)设
中角
的对边分别为
则由
,可得
(Ⅱ)
即当
;
10.(2007年广东卷理)已知
的三个顶点的直角坐标分别为
.
(1)若
,求
的值;
(2)若
为钝角,求
(1)
,若
∴
,∴
(2)
为钝角,则
,解得
,
∴c的取值范围是
11.(2007年山东卷文17)在
中,角
(1)求
又
,解得
.
是锐角,
(2)∵
,
又
12.(2006年湖北)设函数
,其中向量
(Ⅰ)求函数
的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数
的图像按向量
平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的
本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.
(Ⅰ)由题意得,
所以,
的最大值为
,最小正周期是
(Ⅱ)由
,即
,(k∈Z)
于是
(k∈Z)
因为k为整数,要使
最小,则只有k=1,此时
即为所求.
13.(2006年全国卷II)已知向量
(Ⅰ)若
(Ⅱ)求
的最大值.
本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力.
,由此得
(
),所以
当
取得最大值,即当
最大值为
四.平面向量与解析几何的结合
14.(2006年陕西卷)如图,三定点
,三动
点D、E、M满足
(I)求动直线DE斜率的变化范围;
(II)求动点M的轨迹方程。
本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、
三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基
本知识,考查推理和运算能力.
如图,
(Ⅰ)设
由
知
∴
即
同理
∵
∴
(Ⅱ)∵
∴
, ∴
.
∵
即所求轨迹方程为:
15.(2006年全国卷II)已知抛物线
的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且
(
),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明
为定值;
(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出
的表达式,并求S的最小值.
本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识,考查推理和运算能力.
(Ⅰ)由已知条件,得
设
由
将
(1)式两边平方并把
代入得
(3)
解
(2)(3)式得
,且有
抛物线方程为
,求导得
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
即
解出两条切线的交点M的坐标为
∵
为定值,其值为0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,
因而
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,
于是
知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.
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- 平面 向量 解题 技巧