六年级奥数数的整除.docx
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六年级奥数数的整除
整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b整除,或b能整除a,或b整除a,记作b丨a.此时,b是a的一个因数(约数),a是b的倍数.
1.整除的性质
性质1如果a和b都能被m整除,那么a+b,a-b也都能被m整除(这里设a>b).
例如:
3丨18,3丨12,那么3丨(18+12),3丨(18-12).
性质2如果a能被b整除,b能被c整除,那么a能被c整除。
例如:
3丨6,6丨24,那么3丨24.
性质3如果a能同时被m、n整除,那么a也一定
能被m和n的最小公倍数整除.
例如:
6丨36,9丨36,6和9的最小公倍数是18,18丨36.
如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质的.
例如:
7与50是互质的,18与91是互质的.
性质4整数a,能分别被b和c整除,如果b与c互质,那么a能被b×c整除.
例如:
72能分别被3和4整除,由3与4互质,72
能被3与4的乘积12整除.
性质4中,“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除,但不能被乘积48整除,这就是因为6与8不互质,6与8的最大公约数是2.
性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互
质,它们的最小公倍数是b×c.事实上,根据性质4,我们常常运用如下解题思路:
要使a被b×c整除,如果b与c互质,就可以分别考虑,a被b整除与a被c整除.
能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的,我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.
2.数的整除特征
(1)能被2整除的数的特征:
如果一个整数的个位数是偶数,那么它必能被2整除.
(2)能被5整除的数的特征:
如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.
(3)能被3(或9)整除的数的特征:
如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除.
(4)能被4(或25)整除的数的特征:
如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除.
(5)能被8(或125)整除的数的特征:
如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除.
(6)能被11整除的数的特征:
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除.
例1:
四位数7a4b能被18整除,要是这个四位数尽可能的小,a和b是什么数字?
解:
18=2×9,并且2与9互质,根据前面的性质4,可以分别考虑被2和9整除.
要被2整除,b只能是0,2,4,6,8.
再考虑被9整除,四个数字的和就要被9整除,已有7+4=11.
如果b=0,只有a=7,此数是7740;
如果b=2,只有a=5,此数是7542;
如果b=4,只有a=3,此数是7344;
如果b=6,只有a=1,此数是7146;
如果b=8,只有a=8,此数是7848.
因此其中最小数是7146.
根据不同的取值,分情况进行讨论,是解决整数问题常用办法,例1就是一个典型.
例2一本老账本上记着:
72只桶,共□67.9□元,其中□处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上.
解:
把□67.9□写成整数679,它应被72整除.72=9×8,9与8又互质.按照前面的性质4,只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征,79要被8整除,因此b=2.从6792能被9整除,按照被9整除特征,各位数字之和+24能被9整除,因此a=3.
这笔帐是367.92元.
例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数(有些数字可以重复出现),使得能被组成它的每一个数字整除,并且组成的数要尽可能小.
解:
如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除,也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多,我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字之和要能被3整除,只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小,又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是
122364.
例4四位数7□4□能被55整除,求出所有这样的四位数.
解:
55=5×11,5与11互质,可以分别考虑被5与11整除.
要被5整除,个位数只能是0或5.
再考虑被11整除.
(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除,百位数字只能是0,所得四位数是7040.
(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除,百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除),所得四位数是7645.
满足条件的四位数只有两个:
7040,7645.
例5一个七位数的各位数字互不相同,并且它能被11整除,这样的数中,最大的是哪一个?
解:
为了使这个数最大,先让前五位是98765,设这个七位数是98765ab,要使它被11整除,要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)
能被11整除,也就是7+b-a要能被11整除,但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数,只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504.
思考题:
如果要求满足条件的数最小,应如何去求,是哪一个数呢?
(答:
1023495)
例6某个七位数1993□□□能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除,那么它的最后三个数字组成的三位数是多少?
解一:
从整除特征考虑.
这个七位数的最后一位数字显然是0.
另外,只要再分别考虑它能被9,8,7整除.
1+9+9+3=22,要被9整除,十位与百位的数字和是5或14,要被8整除,最后三位组成的三位数要能被8整除,因此只可能是下面三个数:
1993500,1993320,1993680,
其中只有199320能被7整除,因此所求的三位数是320.
一个整数,它的约数只有1和它本身,就称为质数(也叫素数).例如,2,5,7,101,….一个整数除1和它本身外,还有其他约数,就称为合数.例如,4,12,99,501,….1不是质数,也不是合数.也可以换一种说法,恰好只有两个约数的整数是质数,至少有3个约数的整数是合数,1只有一个约数,也就是它本身.
质数中只有一个偶数,就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数,例如,15,33,….
例9○×(□+△)=209.
在○、□、△中各填一个质数,使上面算式成立.
解:
209可以写成两个质数的乘积,即
209=11×19.
不论○中填11或19,□+△一定是奇数,那么□与△是一个奇数一个偶数,偶质数只有2,不妨假定△内填2.当○填19,□要填9,9不是质数,因此○填11,而□填17.
这个算式是11×(17+2)=209,
11×(2+17)=209.
解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积,特别是一些质数的乘积,是解决整数问题的一种常用方法,这也是这一节所讲述的主要内容.
一个整数的因数中,为质数的因数叫做这个整数的质因数,例如,2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数,但不是质因数.
任何一个合数,如果不考虑因数的顺序,都可以唯一地表示成质因数乘积的形式,例如
360=2×2×2×3×3×5.
还可以写成360=23×32×5.
这里23表示3个2相乘,32表示2个3相乘.在23中,3称为2的指数,读作2的3次方,在32中,2称为3的指数,读作3的2次方.
例10有四个学生,他们的年龄恰好是一个比一个大1岁,而他们的年龄的乘积是5040,那么,他们的年龄各是多少?
解:
我们先把5040分解质因数
5040=24×32×5×7.
再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积:
24×32×5×7=7×8×9×10.
所以,这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.
利用合数的质因数分解式,不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法,先看一个简单的例子.
我们知道24的约数有8个:
1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数,如果一个一个地去找它的约数,将是很麻烦的事.
因为24=23×3,所以24的约数是23的约数(1,2,22,23)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.
1×1,1×3,2×1,2×3,22×1,22×3,23×1,23×3.
这里有4×2=8个,即(3+1)×(1+1)个,即对于24=23×3中的23,有(3+1)种选择:
1,2,22,23,对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)×(1+1)种选择.
这个方法,可以运用到一般情形,例如,
144=24×32.
因此144的约数个数是(4+1)×(2+1)=15(个).
例11在100至150之间,找出约数个数是8的所有整数.
解:
有8=7+1;8=(3+1)×(1+1)两种情况.
(1)27=128,符合要求,
37>150,所以不再有其他7次方的数符合要求.
(2)23=8,
8×13=104,8×17=136,符合要求.
33=27;
只有27×5=135符合要求.
53=135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4个数合要求:
128,104,135,136.
利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解,例如
720=24×32×5,168=23×3×7.
那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数,上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是23,类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是
23×3=24.
在求最小公倍数时,很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是
24×32×5×7=5040.
例12两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少?
解:
180=22×32×5,
30=2×3×5.
对同一质因数来说,最小公倍数是在两数中取次数较高的,而最大公约数是在两数中取次数较低的,从22与2就知道,一数中含22,另一数中含2;从32与3就知道,一数中含32,另一数中含3,从一数是
90=2×32×5.
就知道另一数是
22×3×5=60.
还有一种解法:
另一数一定是最大公约数30的整数倍,也就是在下面这些数中去找
30,60,90,120,….
这就需要逐一检验,与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验,有时会较费力.
例13有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?
解:
把420分解质因数
420=2×2×3×5×7.
为了保证分子、分母不能约分(否则约分后,分子与分母的乘积不再是420了),相同质因数(上面分解中的2),要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母.分子从小到大排列是
1,3,4,5,7,12,15,20.
分子再大就要超过分母了,它们相应的分
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