矩阵的运算及其运算规则Word格式文档下载.docx
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2.运算性质(假设运算都是可行的)
满足交换律和结合律
交换律A^B=B^A;
结合律(卫+E)+C二乂+(3+U)
2.矩阵与数的乘法
11
1、运算规则
数九乘矩阵A,就是将数丸乘矩阵A中的每一个元素,记为心或山九.
特别地,称-力称为A=^k£
的负矩阵.
2、运算性质
满足结合律和分配律
结合年:
(Ap)A=A(pA);
(A+p)A=AA+pA•
分配律:
A(A+B)=AA+AB・
典型例題
例6.5.1已知两个矩阵
■3
-1
2"
■7
5
-2'
A=
1
7
B=
9
4
满足矩阵方程A^2X=B,求未知矩阵X・
22
解由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
设A二⑻,B=(bij),则人与b的乘积C=AE是这样—个矩阵:
(1)行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即°
=(呦)尬也.
(2)C的第,行第丿列的元素由A的第,行元素与B的第丿列元素对应相乘,再取乘积之和.
例6.5.2设矩阵
V2'
_12-3
B二
1-1
-112
是多少呢Z
虫丘是3x3的矩阵,血是1x1的矩阵,即曲只有一个元素・
33
课堂练习
<
10
2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B
或B右乘A・如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?
请
算算试试看・并由此思考:
两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算・
能得出什么结论吗?
并将计算结果与A比较,看有什么样的结论・
解:
(9-2
AB=
V911J
第[题
第2题
44
对于
〔410]
-113
B二
仃03-P
201
v2102丿
求AB是有意义的,而BA是无意义的・
结论1只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:
左矩阵的列数二右矩阵的行数・
朋是3恋矩阵,血是1x1的矩阵.
结论2在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序・即使在与BA均有意义时,
也未必有二乱4成立.可见矩阵乘法不满足交换律.
计算得:
AE=EA=A・
结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即AE=EA=A.
单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用・
55
例6.5.3设一
1x1十(一1)x(—1)lxl+(-l)x(-l)
(-l)xUlx(-l)(-l)xl+lx(-l)
22
-2一2
结论4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵•由此若曲=°
不能得出/==0或
5=0的结论.
例6.5.4利用矩阵的乘法,三元线性方程组
乙11心十。
”2十知®
二久
幺2]石+&
22兀2+@2?
乳3=
宀內+°
32心+勺3可二%
可以写成矩阵的形式
66
為扁丿
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
/、
a21a22^23
X二
8=
01如
UJ
则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式:
AX=B・
2.
运算性质(假设运算都是可行的)
⑴
结合律
(AB)C=A(BC)
⑵
分配律
二肿土M(左分配律);
3±
珈二血土叫右分配律).
⑶
(14)5=
彳⑷)"
㈣
•
3.方阵的再
定定义:
设A是方阵,上是一个正整数,规定
义
^=E'
—I―'
显然,记号虫“表示比个A的连乘积・
四.矩阵的转IS
77
宦
义定义:
将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为
矩阵A的转置矩阵,记作百或.
⑴⑷"
⑵(斗硏二彳站
⑶⑷卜业
(4)(加卜几4'
丸是常数・
典型例題例6.5.5利用矩阵
乂二[1-1
21
验证运算性质:
(虫0)'
=”占・
[32-1].
[1-12山
88
A'
=
,卄
3
所以
BlA=
的,
定义:
如果方阵满足乂乂,即叫=勺,则称A为对
称矩阵・
对称矩阵的特点是:
它的元秦以主对角线为对称轴对应相等.
五.方阵的行列式
定
史定义:
由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不
变),称为方阵A的行列式,记作1川或比七虫.
99
卜行列式的性质)
i^i=|jhl-1^1=14
包卜⑷国,特别地」「斗丄
I财卜才国(丸是常数,A的阶数为n)
思考:
设A为尬阶方阵,那么AA的行列式I凡引与a的行列式1川之间的关系为什么不是网呻,而是网卜才国?
不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下01和1-^1.
Lb、
%2b、
2/二
例如
EdJ
则
02叭
解方法一:
先求矩阵乘法,得到一个二阶方阵,再求其行列式・
方法二:
先分别求行列式ML1创,再取它们的乘积.
1010
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