振型叠加法读书报告Word文档格式.docx
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在时间域内对响应的时间历程进行离散,把运动微分方程分为各离散时刻的方程,设定某个时刻的位移、速度和加速度的近似表达式,并把表
达式代入系统运动方程,对耦合的系统运动微分方程进行逐步积分求解,即由前一个或几个时间离散点上的位移、速度和加速度推出下一个时间点上的位移、速度和加速度,从而求出在一系列离散时刻上的响应值。
目前对于求解多自由度系统的直接积分法有很多,如中心差分法、威尔逊法-0,纽马克法等
等。
近年来有不少学者提出很多新的或改进型方法,以提高计算效率和计算精度。
直接积分法的计算精度较高,对质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和载荷没有特别的要求,可以处理多种线性和非线性系统,但计算时间较长。
222缩聚法求解结构动态响应
对复杂结构进行动响应分析时,离散结构的自由度数目多,运算量很大。
在保证计算精度的条件下,利用缩减技术对模型进行缩聚成为一种合适的方法。
所谓模型缩聚。
就是引入适当的变换,消去对整体结构动力影响效果不大的自由度,从而达到降低自由度的目的。
缩聚法的原理是,构造一个变换矩阵T€…(r,将物理位移向量u表示为u=Tq,其
中q€'
为广义位移向量。
将变换关系代入方程
(1),并左乘T的转置,得到缩
聚后模型的运动方程
[V]©
+冏0+[K]0二娥.
■'
丨-'
—缩减后的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及载荷向量。
缩聚法求解系统的动响应时,总自由度一般被划分两部分,主自由度(以m表示)和从自由
度(以s表示),基于该划分,物理位移矢量{u},可以有{}构成的广义坐标表示如
下式:
(3
3)进行变换得到离散模型全部自由
由式
(2)可以得到缩聚自由度的位移响应,再利用式(度响应。
缩聚法在求解动响应时,需要选择合适的主自由度。
缩聚法虽然是一种近似解法,但在求解复杂,自由度大的结构动响应时不失为一种有效的方法。
2.2.3振型叠加法求解结构动态响应
振型叠加法是一种利用固有频率和振型来计算结构动响应的方法。
其基本原理是:
对结构自由
振动进行模态分析,得到结构的固有频率和固有振型,利用固有振型组成的模态矩阵
:
]对式
(1)进行解耦,将结构的动力学方程转化为各主坐标的非耦合方程。
进行坐标变换
U=松]址
・(4
把上式代入运动方程
(1)得到:
M同钟血阑师+曲旳w=w(5
上式两边前乘得
Mr(v]Mfc}+WrtdStiM+MrMWH
二l/'
J■'
烤(6
对(6)进行求解,求出各主坐标的响应,最后利用物理坐标和主坐标的关系,得到物理坐标
下的响应。
模态叠加法计算结构动态响应时,需要提取出可能对动力学响应有贡献的所有模
态,否则会由于缺失模态而造成较大误差。
224简谐激励求解结构动态响应
在许多实际问题中,结构承受一种非简谐的周期激励作用,一般来说,任何周期函数都可以用简谐的收敛级数来表示,利用叠加原理,周期激励的响应等于各简谐分量引起响应的总和。
周期激励函数满足:
F(t=F(t±
nT(7)
系统在周期激励F(t)作用下的微分方程为:
[idti+&
3W+&
J{}-鼻:
冷》F.sin11}
(8
对于承受周期激励下的响应分析,可以通过傅立叶级数展开,把激励的周期函数转化为由不同频率的简谐激励函数线性叠加的形式,如式(8),然后分别计算由激振力各次谐波分量作用
下的结构响应,将所得响应结果线性叠加,从而求得结构在周期激励下的动态响应。
2.3求解方法分析比较
(1)直接积分法采用完整的系统矩阵计算结构动响应,容易使用,不需要选择主自由度和计算振型;
求解精度高;
允许各类非线性特性;
但计算时间长,计算效率低,占用较多的计算机资源,故只有在其它方法不适用的情况下选择才比较合理。
(2)缩聚法采用主自由度和缩减矩阵,计算量得到很大的缩减,能显著的节省时间和计算机资源,对于复杂结构的动力学分析时更是如此;
精确性与主自由度的选取有很大关系,计算精度受限制。
(3)模态叠加法求解动态响应时,模态的提取与结果的正确性有很大关系。
故在模态分析
时,要尽可能提取所有有贡献的模态,保证计算精度,其优点是计算时间较短,能较多的节省计算机资源。
(4)在求解结构动响应时,可以通过简谐激励下响应的叠加直接求得结构的稳态响应,但在实际问题中,若载荷复杂,则通过反复加载求解结构的稳态响应是可行的。
通过对求解结构动态响应的几种方法的分析可以得出,在进行不同条件下的动响应分析时,选择合适的分析方法尤其重要,可以在保证精度的情况下,充分的提高计算效率。
3•振型叠加法基本思想、特点及步骤
3.1基本思想
3.2基本特点
n自由度系统的运动方程解耦,将其解耦为非耦合的
(1)振型叠加法采用模态变换对原n个单自由度系统的运动方程;
(2)模态变换对系统的固有特性没有影响,而是以求解广义特征值问题为代价;
(3)对n个单自由度系统运动方程积分,比对联立方程组的直接积分节省时间,通常只要对这n个单自由度运动方程中的一小部分进行积分。
但是采用振型叠加法需要增加求解广义特征
值问题的计算时间,所以在实际计算中,究竟采用哪种方法,应根据具体情况确定;
(4)振型叠加法只适用于线性、时不变系统。
若系统是非线性的,或者是时变的,则无法利
用振型叠加法。
3.3基本步骤
4.模态截断
4.1模态截断的必要性
在用有限单元法进行结构动力分析时,结构的自由度数目有时十分巨大,会造成结构振动模态数目多且密集。
根据实际计算经验:
(1由于高阶模态中有较多的正负交变,因此有较多的结点位移为零;
(2高阶模态的自振频率高,由于位移响应与自振频率的二次方成反比,因此位移响应小
(3从物理意义上看,结构体系中的高阶模态不易被激发,通常只有少数较低的模态会被激
发,因此只需将自振频率低的几个模态进行叠加就可表达结构的振动状态。
4.2模态截断判据
经验毕竟是一种普遍意义上的共性.落实到具体的个性化问题上,模态截断阶数的取法还需结
合具体结构和具体的动荷载,采用适当判据进行分析判断,给出具体数值。
一般作模态截断的判据是结构动力特征响应级数的收敛性,但由于结构的振动响应信息是多样的,包括应力、位移、速度、加速度和能量等,因此在判据的选择上就有多种。
4.3模态截断方法
1.基于均衡实现的模态截断方法
2.基于能量范数和能量判据的模态截断方法
3.模态选择DC增益方法
4.3.1能量判据通常工程上都较为关心结构的位移和应力响应,但也有人认为位移是矢量、应力是张量,方
向、方位以及单元网格的大小对指标的收敛性会产生影响;
并且当选择位移或应力响应信息作
为模态截断的判断指标时,所截断下来的其它响应信息能否满足截断精度还需验证。
下面以能量响应信息的收敛作为模态截断的判断指标,建立了一个能量判据。
4.3.1.1能量范数的定义考虑具有n个自由度的线性振动结构,有阻尼的强迫振动方程为
4.3.1.2
(i)
式中[C]为比例阻尼类型。
若采用模态叠加法求解式(1,有
式中为当模态截断阶数为N时振动结构的n维位移向量和n维速度向量
X⑴如」二伉恂为第i阶模态振型;
(i=1,2,…,n为第i阶模态坐标。
将式(2改写成状态方程
—■-'
■--"
‘‘'
式中为结构的2n维状态响应向量
绑几匕⑴儿令截断阶数N分别取1,2,?
n,贝肪目应的状态响应向量为将这些状态
响应向量组成一个个元素的集合U(线性空间,其中的每一个元素都是2n维向量。
5儿J以)ii-ik\iu)n<
dignu宀ii/A(oii||仏⑴||为了比较该集合内n个元素之间的差异,在此集合内可定义范数,得到代表这个元素某种测度的范数
序列。
若该范数序列收敛,则当模态截断阶数N取合适值时,能得到(为给定的允许精
度。
由于范数代表着反映集合中元素之间差异的某种测度,因此可以判断出元素和
化⑴X⑴化⑴之间的差异很小,在要求精度下可近似用代替,这就解决了作模
态截断时模态截断阶数的取值问题。
在线性空间中定义函数(N=1,2,…,n
式中为权矩阵。
将式(3代人式(4,并利用振型正交性处理可得
叫®
=饶}网色}«
出}式中为第i阶模态广义刚度;
为第i阶模态广义质量;
为第i阶模态频率。
4.3.1.3能量判据的建立
(模态截断阶数为N时,称为能量范
U中判断其中元素之间的差
[0,T]中
®
匚利用能量判据计算模态截断阶数,必须证明能量判据序列J(1,J(2,…,J(n的收敛
性。
对于任意的,由结构质量矩阵[M]的正定性,有
若t'
t'
'
分别为结构模态截断阶数取N和N+1时最大能量响应的发生时刻,即
M瀏IH■删IKH1艸III1IIIIIII删删删
因此该能量判据序列为上有界序列。
综合式(14~式(15。
根据极限存在准则,单调增且上有界
的序列必有极限,因此该能量判据序列收敛。
431.3基于地震荷载的高拱坝结构模态截断阶数分析
在拱坝等水工结构的抗震分析领域,陈厚群院士作了大量而卓有成效的研究工作,对于一般拱坝,模态截断阶数建议取6~10阶;
对于高拱坝,由于其频率密集,应适当多取几阶模态。
(1计算说明
1AtIni拟建某拱坝,坝高292m。
计算工况为运行低水位+地震荷载,坝体混凝土动弹模取
2J3x|04/Wft,泊松比取0.18,各阶模态阻尼比统一取o.o5,容重。
采用衰减三角级数叠
加模型人工生成地震波。
顺河向(X向、横河向(y向,两向输人,将峰值加速度调至0.308g。
(2计算结果与分析
表1为该拱坝前20阶自振频率,可看出频率非常密集。
图1为能量判据J(N与模态截断阶数N的关系曲线,从中可看出J(N是单调上升的,当模态截断阶数N超过2。
时,曲线的变化斜
Ar拱塌的Hz
敷値
411
tr的
*1
7.45*1
•■1
11h4.1.;
7.57AS
14卩f5j57Ij
%
10,6599
1fi
叫
IJ.672G
*11
is.msy
ft*
12.352S
15,J7Et
斗
12,S
I5+m申i6
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13.WI
15.470a
|氛6264
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1氛937U
暉1.1!
15.71353
1<
.2008
15.841$
表2为该拱坝模态截断阶数分别取10阶和20阶时的动力特征响应比较,其中能量相差1.36
GJ,约10%最大动应力和动位移相差不大,这主要因为能量具有整体性,而应力和位移具有局部性,局部的微小差异经整体综合后变得较大需要注意的是,由于在本文计算中各阶阻尼比
取值一致,这在计算精度上显得较粗,若考虑各阶阻尼比的变化,该能量判据可能会在20阶
之前收敛。
ft2不闻植亦■睡戲離话力特征晌曲比较
10RFJR*
20阶粕5
JX
I5.32
暈丈主应力
劝拉应力
7.752
7.A1C
/MP.
◎區夙力
-7,1RB
■■7*gfi**
向下醉
5,\72
5*
位暮Arm
向上海
-5.707
▼s*ill
4.3.1.4结论
上文针对结构振动的模态截断,采用了一种能量判据,其优势在于:
(1能量为标量,因此其收
敛计算易于实现;
(2能量响应信息和其它响应信息之间的关系决定了能量判据更为科学,也更为全面。
为充分阐述这种关系,可以考察一下结构振动的本质:
结构得到外界输人的能量而发
生振动,产生位移、应力等各种响应信息,因此结构得到的能量是产生振动之“源”,而其它响应只是由能量引起的各种表象,能量响应之间的接近是本质上的接近,因此能量判据得到的模态截断阶数可保证系统其它响应信息的收敛精度。
432“DC增益”方法根据实际计算经验,通常来说,模态的贡献量随着频率的增加而减小,即结构体系中只有少数较低的模态容易被激发,而高阶模态不易被激发,因此,缩减模型规模的一个简单方法是直接对结构的模态进行截断,舍弃高阶模态,只将自振频率低的几个模态进行迭加来表达结构的振动状态。
然而事实并非总是如此,对于具体问题来说,模态截断阶数的选取还需结合具体的结构和动荷载采用适当判据进行分析判断,如果不能对各阶模态在系统响应中的贡献量进行较好的分析而任意截断高阶模态,可能会导致模态丢失,从而对模型造成影响。
“DC增益”法是以系统各
阶模态的“DC增益”作为模态截断的判断指标,对振动模态进行排序,以确定各阶模态对系统响应贡献量的大小,从而建立系统模态选取的判据。
我们将系统传递函数在
s=jo=o时的值称作其“DC增益”,对无阻尼系统和有阻尼系统来说,其传递函数均可分别用下面的方程来表示:
式中,第i阶模态的j行和k行项的乘积;
为第i阶模态相应的特征值。
式(2、式(3表明,系统传递函数由单个自由度系统迭加而成,其比值由系统留数和特
征频率
来决定。
将s=jf=jO=O代人可以得到第i阶模态的DC增益,对于有阻尼系统和无阻尼系统来说都具有如下形式:
/J
5基于Matlab对自振频率和振型的求解
此式称为频率方程,求此方程就可求得结构体系的自振频率和振型,当体系的自由度数较多时,行列式的展开相当麻烦,进行手算过于繁琐。
在实际工程计算时,一般采用计算机程序求解,在Matlab语言中,其求解过程是相当简便’的。
可以直接利用Matlab数值工具箱中库函
数命令eig来实现。
[X,d]=eig(ik,im;
%ik和im分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵
d:
sqrt(d
fori=1:
cn%cn为结构的层数,即质点数
[dl(i,j]=min(d;
Xgd(:
i=X(:
j
d(j=max(d+1
end%以此循环对所求频率和振型进行排序
w=dl;
%所求自振频率
x=xgd;
%所求结构主振型
工程实例
某三层钢筋混凝土结构,结构的各层特性参数为I第一层到第三层质量m分别为2762
kg,2760kg,2300kg,第一层到第三层刚度k分别为2.485X10'
N/m1•921XN/m1.522xN/m地震波采用200galElCentro波,采样周期为0.02s。
经程序求解,该结构的自振频率为:
W=4.104110.490614.9514。
结构的振型矩阵为:
X=一O.00560.0121—0.0136
—0.01150.00860.0125
—0.0154—0.0130—0.0052
6结论
本文通过对振型叠加法基本原理、特点、基本步骤进行介绍,并通过该方法与其他求解
方法进行比较。
对模态截断的概念及其具体方法进行阐述,具体介绍了能量法进行模态截断。
并基于Matlab对自振频率和振型进行求解。
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