偏微分一维热传导问题Word文档格式.docx
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.U(x,)(x)
其中,
0,x0或x1
(x)"
L100,x(0,1)
首先令:
U(x,t)X(x)T(t)⑵
将
(2)式带入
(1)式得:
\X(x)T(t)T(t)X(x)0
于是可得:
l(t)
T(t)
X(x)
可以得到两个微分方程:
L|
T(t)0
X(x)0
先求解空间项:
当0时,X(x)
Aex
Bex
由于u(0,t)U(1,t)0,t.
可知:
由于解的收敛性,B0
X(0)=X
(1)AAe0A0则此时是平庸解。
当0时,X(x)ABx
X(0)=X
(1)AAB0A0,B0
则此时是平庸解。
当0时,X(x)AcoskxBsinkx,其中k。
X(0)A0A0\
X
(1)Bsink0kn,n1,2,3…
所以,X(x)
Bnsin(n
x),
n1,2,3…
因为
22n
所以,T(t)
n22t
Cne,
n
1,2,3…
则,
u(x,t)
Dne
1
sin(n
x)
初始条件:
u(x,)(x)
u(x,)Dnsin(nx)(x)
n1
Dn20(x)sin(nx)dx
i
2100sin(nx)dx
\1
200()cosn
(1)cosn
当0时,mDn=200(1cosn)
\n/最终,
u(x,t)■200(1「1)n)entsin(nx),n1,2,3…
n1n
2数值解——隐式格式
目前,研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。
这里使用隐式格式1。
代入隐式格式得:
u1Ju
t2t2
将
(2)与原微分方程相减,得到截断误差
=1
=2
所以此隐式格式与原微分方程相容。
(2)稳定性
G叮u:
故得放大因子是:
1+2r(1cos)
所以根据Fourier方法,隐式格式恒稳定。
4数值解一一分析与Matlab实现
(1)边值与初值离散化
将边值与初值离散化,与式(3)联立得差分线性方程组:
rrukld
2r)Ujk1rU:
11U:
,j(0,1,2」
k(0,1,2,||
||,M
|,N-
-1)
■1)
U0=
(Xj),
j
(0,1,2,||
|,M)
U:
U0
0,
k
(0,1,2,(j
|,N)
<
u:
0,
(0,1,2,|
|,N)
再将方程组改写成
AU
B的形式:
1+2rr
r12rr
r12r
Uik1Uik+rU0T
u;
1u:
?
编写矩阵A
核心代码:
对角线:
A(i,i)=1+2r
\对角线的右方和下方:
A(i,i+1)=-r;
//
\A(i+1,i)=-r;
/
下面就要运用A*u(k1,j)u(k,j)进行迭代。
当k=1时,A*U(2,j)=U(1,j)
当k=2时,A*U(3,j)=U(2,j)
当k=3时,A*U(4,j)=U(3,j)
以此迭代下去直到k=M2。
就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵
U。
u:
2
CT-
图1(b)着色平稳过渡的数值解的温度分布图
5数值解与解析解的比较
首先,我们需要将解析解离散化,解析解中有一项ent,当n越来越大时,会快速趋于0,故我们可以取n=8000。
现在来证明可行性,在matlab里的工作空间运算。
图2解析解的温度分布图
将解析解的温度分布画出来,数值解画图2,如图2所示。
—维热传导方程••解折解••温度分布图
30
50
40
20
O2
将数值解与解析解相减,得到误差图。
如图3(a)和图3(b),我们从图3(a)
上可以看出空间上的误差,在边界处误差比较大
—维热传导方程.误差“温度分布圉
位亂
图3(a)数值解与解析解空间误差
我们从图3(a)上可以看出时间的误差,在时间的最开始,处误差最大,然后又有一个小的波动,最后就误差渐渐变小,最后趋于0
-维熱伟导方程“误差■温度分布图
——JLibJLjJJ
00.20.40.60.S11.21.41.6132
时间t
图3(b)数值解与解析解时间误差
6随时间变化的细杆上的温度分布情况
从数值解的温度分布三维图,如图4(a)和图4(b)可以看出随着时间的增加,细杆温度下降最后趋于0°
C。
从物理角度来说:
细杆的温度会不断地向两端扩散,热量会慢慢散失,最终随着时间的增加,细杆的温度会趋于0C。
—錐熬传导方程••数值解--温度分布團
00.20.4D60.811.21.41.6132
图4(a)细杆温度随时间的变化图
现取细杆中心处一点,观看它随时间的温度变化情况。
图4(b)细杆中央(x=)温度随时间的变化图
7稳定后细杆上的温度分布情况
从图像上可以看出,最后稳定的情况下,细杆的温度是0C
参考文献
[1]冯立伟•热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法的比较[J]•沈阳化
工大学,辽宁沈阳.2011(6).
[2]一维热传导方程数值解法及Matlab实现[EB/OL].2014-11-20
'
\附录
代码:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%此程序用于解决一维热传导方程
:
ut-aA2uxx=0
%
%边界条件:
u(0,t)=u(L,t)=0
%初始条件:
u(x,0)=100,x!
=0
\和L
%u(0,0)=0
%u(L,0)=0
%其中,aA2=1,L=1
clc;
clearall;
%区域及划分网格
L=1;
%单位长度的细杆?
T=2;
%时间
h=;
%%%%空间的划分%%%%
t=;
%%%%时间的划分%%%%
r=t/(h*h);
%网格比%设计步长
M1=L/h;
M2=T/t;
构造的矩阵:
U(时间,空间)
%编程包含边值,如U(k,1)=u(0,t)
%时间划分了M2份,有M2+1个节点
%两个边界处温度恒为零
%位置划分了M1份,有M1+1个节点
%构造边界条件%
U=zeros(M2+1,M1+1);
fork=1:
M2+1
U(k,1)=0;
U(k,M1+1)=0;
end;
%构造初始条件
forj=2:
M1
U(1,j)=100;
end;
U(1,1)=0;
U(1,M1+1)=0;
%差分格式的矩阵形式A*U(k+1,j)=U(k,j)
%构造矩阵A
A=zeros(M1-1);
fori=1:
M1-1
A(i,i)=1+2*r;
M1-2
\
A(i+1,i)=-r;
%构造AU=B中的B%本题边值的特殊,矩阵B大大简化了
B=zeros(M1-1,1);
M2
j=2:
M1;
B(j-1,1)=U(k,j);
x=A\B;
、丿
U(k+1,j)=x(j-1);
%k+1时刻的不同位置的温度分布
%乍图
x=0:
h:
1;
y=0:
t:
2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure
(1);
surf(xx,yy,U);
shadingflat
title('
一维热传导方程--数值解--温度分布图’);
xlabel('
位置x'
);
ylabel('
时间t'
zlabel('
温度T'
figure
(2)
s=0;
fori=1:
8000
s=s+(200*(1-(-1)Ai))/(i*pi)*sin(i*pi*xx).*exp(-22*piA2*yy);
surf(xx,yy,s);
一维热传导方程--解析解--温度分布图’);
figure(3)
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
dd=U-s;
surf(xx,yy,dd);
一维热传导方程--误差--温度分布图’);
zlabel('
误差(数值解减解析解)’);
figure(4)
z=zeros(M2+1,1);
ifmod((M1+1),2)~=0
i=1:
M2+1;
z(i,1)=U(i,M1/2);
else
z(i,1)=U(i,(M1+1)/2);
plot(z);
温度随时间增加的趋势图’);
xlabel('
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- 微分 热传导 问题