1
a
。
d
④微分运算:
()
ft
dt
信号经微分运算后会突出其变化部分。
2.系统的分类
根据其数学模型的差异,可将系统划分为不同的类型:
连续时间系统与离散时间系统;线性系
统与非线性系统;时变系统与时不变系统;
重难点3.系统的特性
(1)线性性
若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性。
当激励为C1f1(t)C2f2(t)(C1、C2分别为常数时),系统的响应为C1y1(t)C2y2(t)。
线性系统具有分解特性:
y(t)y(t)y(t)
zizs
零输入响应是初始值的线性函数,零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输
入信号也不是初始值的线性函数。
(2)时不变性:
对于时不变系统,当激励为
f(tt)时,响应为f(tt0)。
0
(3)因果性
线性非时变系统具有微分特性、积分特性。
重难点4.系统的全响应可按三种方式分解:
全响应y(t)y(t)y(t)
零输入响应零状态响应;
zizs
全响应y(t)y(t)y(t)
自由响应强迫响应;
hp
各响应分量的关系:
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nnn
atatat
y(t)AeB(t)AeAeB(t)
kkk
kzikzskk1k1k1
强迫响应
自由响应零输入响应零状态响应
重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程,形式由特征根确定,待定系数由0初始状态确定。
零输入响应必然是自由响应的一部分。
重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和:
f(t)f()(t)d
那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分,即y(t)f(t)h(t)
zs。
零状态
响应可分解为自由响应和强迫响应两部分。
重难点7.单位冲激响应的求解。
冲激响应h(t)是冲激信号作用系统的零状态响应。
重难点8.卷积积分
(1)定义f(t)*f(t)f()f(t)df(t)f()d
121212
(2)卷积代数
①交换律(()*()()*()
f1tftftft
221
②分配率()*[()()]()*()()*()
f1tftftftftftft
231213
③结合律[()*()]*()()*[()*()]
f1tftftftftft
23123
重难点9.卷积的图解法(求某一时刻卷积值)
f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d
卷积过程可分解为四步:
(1)换元:
t换为τ→得f1(τ),f2(τ)
(2)反转平移:
由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)
(3)乘积:
f
1(τ)f
2(t-τ)
(4)积分:
τ从–∞到∞对乘积项积分。
(3)性质
1)f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)()*()()
fttt0ftt
0
f(tt1)*(tt2)f(tt1t2)(t0,t1,t2为常数)
2)f(t)*δ’(t)=f’(t)
t
3)f(t)*u(t)()()d()d
futf
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u(t)*u(t)=tu(t)
nnn
ddf(t)df(t)
4)12
f(t)*f(t)*f(t)f(t)*
n12n21n
dtdtdt
5)
ttt
[f()*f()]d[f()d]*f(t)f(t)*[f()d]
121212
6)f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)
7)两个因果信号的卷积,其积分限是从0到t。
8)系统全响应的求解方法过程归纳如下:
a.根据系统建立微分方程;
b.由特征根求系统的零输入响应y(t)
zi;
c.求冲激响应h(t);
d.求系统的零状态响应y(t)f(t)h(t)
zs;
e.求系统的全响应y(t)y(t)y(t)
zizs。
重难点10.周期信号的傅里叶级数
任一满足狄利克雷条件的周期信号f(t)(
T为其周期)可展开为傅里叶级数。
1
(1)三角函数形式的傅里叶级数
f(t)a[ancos(nt)bnsin(nt)]式中1
011
n1
2
T
1
,n为正整数。
直流分量
1
tT
01
af(t)dt
0
T
t
0
1
余弦分量的幅度
2
tT
01
af(t)cos(nt)dt
nt1
T
0
1
正弦分量的幅度
2tT
01
bf(t)sin(nt)dt
n1
Tt
0
1
三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为f(t)a0Ancos(n1tn)
n1
(2)指数形式的傅里叶级数
jnt
ftFe式中,n为从到的整数。
()
1
n
n
复数频谱
1
tT
01
jnt
Ff(t)e1dt
nt
T
0
1
利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。
从而可知周期信号所包含的频率成分。
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有些周期信号的对称性是隐藏的,删除直流分量后就可以显示其对称性。
①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项。
f(t)f(t),纵轴对称(偶函数)
T
4
t
0
b0af(t)cosntdt
,
2
nn
T
t
0
②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项,只可能包含正弦项。
f(t)f(t),原点对称(奇函数)
T
4
t
0
abftntdt
0,()sin
2
nnt
T
0
T
()()
2
ftft,半周重叠(偶谐函数)无奇次谐波,只有直流和偶次谐波
③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项。
T
ftft,半周镜像(奇谐函数)无偶次谐波,只有奇次谐波分量
()()
2
重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知:
(1)信号的持续时间与频带宽度成反比;
(2)周期T越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱;
(3)周期信号频谱的三大特点:
离散性、谐波性、收敛性。
重难点12.傅里叶变换
傅里叶变换定义为
jt正变换()[()]()
Ffftftedt
逆变换
11
jt
f(t)f[F()]F()ed
2
频谱密度函数F()一般是复函数,可以写作
j
F()F()e
()
其中F()是F()的模,它代表信号中个频谱分量的相对大小,是的偶函数。
()是F()
的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是的奇函数。
常用函数F变换对:
δ(t)1
12πδ(ω)
1
u(t)()
j
e
-tu(t)1
j
gτ(t)Sa
2
2
sgn(t)
j
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e
–|t|
2
22
e
jt
c
2()
c
cost[()()]
ccc
sintj[()()]
ccc
重难点13.傅里叶变换的基本性质
1)线性特性af1(t)bf2(t)aF1(j)bF2(j)
2)对称特性F(jt)2f()
3)展缩特性
1
f(at)F(j)
aa
4)时移特性
-jt
f(tt)F(j)e
0
0
5)频移特性
jt
f(t)e0F[j()]
0
6)时域卷积特性
f1(t)f2(t)F1(j)F2(j)
7)频域卷积特性
1
f(t)f(t)[F(j)F(j)]
1212
2
n
df
n
8)时域微分特性()()
jFjn
dt
9)积分特性
t
1
f()dF(j)F(0)()
j
10).频域微分特性
nn
tf(t)j
n
dF(j)
n
d
11)奇偶虚实性
若F()R()jX(),则
①f(t)是实偶函数f()R(),即f()为的实偶函数。
②f(t)是实奇函数f()jX(),即f()为的虚奇函数。
重难点14.周期信号的傅里叶变换
周期信号f(t)的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频
(0,,2,)处,每个冲激的强度等于f(t)的傅里叶级数的相应系数Fn的2倍。
即
11
F[f(t)]2Fn(n)
1n
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重难点15.冲激抽样信号的频谱