自招竞赛 数学讲义柯西不等式学生版.docx
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自招竞赛数学讲义柯西不等式学生版
自招竞赛数学讲义
柯西不等式
学生姓名
授课日期
教师姓名
授课时长
知识定位
不等式问题在高考考察的范围内相对比较简单基础,然而自招竞赛中占了很大的比例,而且对于没有系统知识储备与训练的人来说,较难的不等式问题是让人束手无策的。
因而,掌握一些基本不等式及其推论是十分必要的。
本节我们将学习柯西不等式,在各校自招中,柯西不等式作为经典不等式经常需要配合使用来帮助求证(求解),而竞赛中虽然没有直接使用柯西不等式即可证毕的不等式问题,柯西不等式也常常作为一个关键环节在解答中出现。
知识梳理
柯西不等式
1.柯西不等式
对两组实数:
和,则成立不等式:
即,“=”成立当且仅当
2.柯西不等式常用的变形
(1)
(2)
(3)
(4)均为正数,则
(5)参数柯西不等式:
对于任意的一组实数,.......均有:
例题精讲
【试题来源】
【题目】
设,试求的最大值与最小值。
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
设,试求之最小值。
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
设x,y,zR,2x2yz80,则(x1)2(y2)2(z3)2之最小值为.
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
已知,求证:
.
【难度系数】2
【试题来源】2008西安交大
【题目】设实数a,b,c满足
【难度系数】2
【试题来源】2010浙大
【题目】
有小于1的正数且,求证:
【难度系数】2
【试题来源】2008南开
【题目】
设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求的最小值。
【难度系数】2
【试题来源】2009浙大
【题目】
已知,求证:
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
对正数,证明:
注:
表示对循环求和,即
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
设正整数,正整数满足,求证:
【难度系数】3
【试题来源】2007罗马尼亚奥林匹克
【题目】
对正数满足,求证:
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】2007复旦
【题目】
给定正整数和正常数,对于满足不等式的所有等差数列,和式的最大值=.
【选项】A.B.C.D.
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
已知是不全相等的正数,证明:
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】求函数的最小值。
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】设,,求证:
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
设(i=1,2,…,n),且,求的最大值与最小值。
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
设为正实数,求证:
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
,,求证:
【难度系数】3
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