教育学习文章幂函数教学设计Word下载.docx
- 文档编号:21974893
- 上传时间:2023-02-02
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:21.85KB
教育学习文章幂函数教学设计Word下载.docx
《教育学习文章幂函数教学设计Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《教育学习文章幂函数教学设计Word下载.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
课时
教学过程
导入新课
思路1
.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p和购买的水果量w之间有何关系?
根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=,这里a是S的函数.
5.如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?
.
.
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:
二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:
幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
给出下列函数:
y=x,y=,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?
根据,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?
请给出一个一般性的结论.
我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?
研究幂函数的性质呢?
画出y=x,y=,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?
哪个象限一定没有幂函数的图象?
哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?
通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
活动:
考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果:
通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y=,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
我们研究指数、对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;
一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;
有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
2
3
y=x
y=
.41
.73
y=x2
9
4
y=x3
-27
-8
8
27
y=x-1
-13
-12
描点、连线.画出以上五个函数的图象如图1.
图1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
第一象限一定有幂函数的图象;
第四象限一定没有幂函数的图象;
而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断.
幂函数y=xα的性质.
①所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点;
②当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数.
特别地,当α>1时,x∈,y=xα的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0<α<1时,x∈,y=xα的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
③当α<0时,幂函数的图象在区间上是减函数.
应用示例
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;
②y=x-3;
③y=x-2;
④y=.
学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解:
①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评:
判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数?
①;
②y=2x2;
③;
④y=x2+x;
⑤y=-x3.
①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;
②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
;
;
y=x-2.
学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:
列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
要使函数有意义,只需y=3x2有意义,即x∈R.所以函数的定义域是x∈R.又f=f,所以函数是偶函数,它在上是增函数.
要使函数有意义,只需y=12x3有意义,即x∈R+,所以函数的定义域是R+,由于函数的定义域不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数,它在上是减函数.
要使函数y=x-2有意义,只需y=1x2有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f=f,所以函数y=x-2是偶函数,它在上是增函数,在上是减函数.
在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;
当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3证明幂函数f=x在[0,+∞)上是增函数.
学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f-f=x1-x2=x1+x2=x1-x2x1+x2,因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以x1-x2x1+x2<0.所以f<f,即f=x在[0,+∞)上是增函数.
证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f与f的符号要一致.
思路2
例1函数y=的定义域是
A.{x|x≠0,或x≠2}
B.∪
c.
D.
解析:
函数y=化为y=1x2-2x,要使函数有意义需x2-2x>0,即x>2或x<0,所以函数的定义域为{x|x>2,或x<0}.
答案:
B
函数y=的值域是
A.[0,+∞)
B.
D.[0,1]
学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
分析:
令t=1-x2,则y=t,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
D
注意换元法在解题中的应用.
例2比较下列各组数的大小:
1.10.1,1.20.1;
0.24-0.2,0.25-0.2;
0.20.3,0.30.3,0.30.2.
学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对可直接利用幂函数的单调性.对只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;
底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
.下列函数中,是幂函数的是
A.y=2x
B.y=2x3
c.y=1x
D.y=2x
2.下列结论正确的是
A.幂函数的图象一定过原点
B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
c.当α>0时,幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在是增函数的是
A.y=x3
B.y=x2
4.已知某幂函数的图象经过点,则这个函数的解析式为__________.
1.c 2.D 3.A 4.
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y=x-1,y=x-2,y=x-3;
②,;
③y=x,y=x2,y=x3;
④,.
学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2、图3,图4、图5.
图2
图3
图4
图5
①观察图2得到:
函数y=x-1、y=x-2、y=x-3的图象都过点,且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图3得到:
函数、的图象都过点,且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点、,且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,从第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离x轴近.
④观察图5得到:
函数、的图象过点、,且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越小图象上凸越大,从第一象限来看,图象在点的左边离y轴近,在点的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本习题2.3 1,2,3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
备课资料
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗?
这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
6世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:
“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 教育 学习 文章 函数 教学 设计